1、1第2课时 不等式的证明与柯西不等式1设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A(a3) 2b时，恒成立，当a0，y0，aR，bR.求证：( )2 .ax byx y a2x b2yx y答案 略证明 因为x0，y0，所以xy0.所以要证( )2 ，ax byx y a2x b2yx y即证(axby) 2(xy)(a 2xb 2y)，即证xy(a 22abb 2)0，即证(ab) 20，而(ab) 20显然成立故( )2 .ax byx y a2x b2yx y7(2014江苏)已知x0，y0，证明：(1xy 2)(1x 2y)9xy.答案 略证明 因为x0，y0，所以
2、1xy 23 0，1x 2y3 0.故(1xy 2)(1x 2y)3 33xy2 3x2y 3xy29xy.3x2y8(2018福建质量检查)若a，b，cR ，且满足abc2.(1)求abc的最大值；(2)证明： .1a 1b 1c 92答案 (1) (2)略827解析 (1)因为a，b，cR ，所以2abc3 ，故abc .3abc827当且仅当abc 时等号成立23所以abc的最大值为 .827(2)证明：因为a，b，cR ，且abc2，所以根据柯西不等式，可得 (abc)( )1a 1b 1c 12 1a 1b 1c ( )2( )2( )2( )2( )2( )2 ( )2 .12 a
3、 b c 1a 1b 1c 12 a 1a b 1b c 1c 92所以 .1a 1b 1c 929(2016课标全国，理)已知函数f(x)|x |x |，M为不等式f(x)1；12当 0，b0，且ab .证明：1a 1b(1)ab2；(2)a2a0，b0，得ab1.1a 1b a bab(1)由基本不等式及ab1，有ab2 2，即ab2.ab(2)假设a 2a0得0 ，所以 2，所以00，n0，且mn1，求证： 2 .2m 1 2n 1 f（ x）答案 (1)1，3 (2)略解析 (1)方法一：依题意，f(x)4x， x12，2， 12 x 12， 4x， x 12 )f(x) min2.不
4、等式f(x)a 22a1恒成立，a 22a30，解得1a3，实数a的取值范围是1，3方法二：f(x)|2x1|2x1|(2x1)(2x1)|2，f(x) min2.不等式f(x)a 22a1恒成立，a 22a30，解得1a3，实数a的取值范围是1，3(2)由(1)知f(x)2，2 2 .f（ x） 2( )22(mn)22 4(2m1)(2n1)8，当且仅当mn2m 1 2n 1 （ 2m 1） （ 2n 1） 时等号成立12 2 ，2m 1 2n 1 2 2 .2m 1 2n 1 f（ x）1(2017武汉4月调研)(1)求不等式|x5|2x3|1的解集；(2)若正实数a，b满足ab ，求证
5、： 1.12 a b答案 (1)x|7x (2)略13解析 (1)当x 时，x52x31，32解得x7，7x ；32当 x5时，x52x31，解得x ，32 13 x ；32 13当x5时，x5(2x3)1，解得x9，舍去综上，7x .135故原不等式的解集为x|7x 13(2)要证 1，只需证ab2 1，a b ab即证2 ，即证 .ab12 ab 14而ab 2 ， 成立，12 ab ab 14原不等式成立2已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1，1(1)求m的值；(2)若a，b，cR ，且 m，求证：a2b3c9.1a 12b 13c答案 (1)1 (2)略解析 (1)因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1，1，故m1.(2)证明：由(1)知 1，又a，b，cR ，1a 12b 13c由柯西不等式，得a2b3c(a2b3c)( )1a 12b 13c( )29.a1a 2b 12b 3c 13c
