1、1第10课时 函数与方程1函数f(x)x 的零点个数是( )4xA0 B1C2 D无数个答案 C解析 令f(x)0，解x 0，即x 240，且x0，则x2.4x2(2017郑州质检)函数f(x)lnx 的零点的个数是( )1x 1A0 B1C2 D3答案 C解析 y 与ylnx的图像有两个交点1x 13函数f(x)1xlog 2x的零点所在的区间是( )A( ， ) B( ，1)14 12 12C(1，2) D(2，3)答案 C解析 因为y 与ylog 2x的图像只有一个交点，所以f(x)只有一个零点又因为f(1)1，f(2)1，所以函数f1x(x)1xlog 2x的零点所在的区间是(1，2)
2、故选C.4(2018湖南株洲质检一)设数列a n是等比数列，函数yx 2x2的两个零点是a 2，a 3，则a 1a4( )A2 B1C1 D2答案 D解析 因为函数yx 2x2的两个零点是a 2，a 3，所以a 2a32，由等比数列性质可知a 1a4a 2a32.故选D.5若函数f(x)2 x a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )2xA(1，3) B(1，2)C(0，3) D(0，2)答案 C解析 由条件可知f(1)f(2)0，即lnx1，可解得x ，所以，当0 时，函数g(x)单调递增，由此可知当x 时，g(x) min .在同一坐标系中作出函1e 1e 1e数g(x)
3、和h(x)的简图如图所示，据图可得 0)的解的个数是( )A1 B2C3 D4答案 B解析 (数形结合法)a0，a 211.而y|x 22x|的图像如图，y|x 22x|的图像与ya 21的图像总有两个交点8(2017东城区期末)已知x 0是函数f(x)2 x 的一个零点若x 1(1，x 0)，x 2(x 0，)，则( 11 x)Af(x 1)0Cf(x 1)0，f(x 2)0，f(x 2)0答案 B解析 设g(x) ，由于函数g(x) 在(1，)上单调递增，函数h(x)2 x在(1，)上单调递11 x 11 x 1x 1增，故函数f(x)h(x)g(x)在(1，)上单调递增，所以函数f(x)
4、在(1，)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f(x 1)0，故选B.9设方程10 x|lg(x)|的两个根分别为x 1，x 2，则( )Ax 1x21 D00 Df(x 0)的符号不确定答案 A解析 因为函数f(x)2 xlog x在(0，)上是增函数，a是函数f(x)2 xlog x的零点，即f(a)0，所以当00，01，故选A.12若函数yf(x)(xR)满足f(x2)f(x)且x1，1时，f(x)1x 2，函数g(x) 则函数h(x)f(x)g(x)在区间5，5内的零点的lgx， x0， 1x， x1.其中的真命题是( )Ap 1，p 3 Bp 2，p 3Cp 1，p 4 Dp
5、 3，p 4答案 D解析 由( )xsinx10，得sinx1( )x，令f(x)sinx，g(x)1( )x，在同一坐12 12 12标系中画出两函数的图像如图，由图像知：p 1错，p 3，p 4对，而由于g(x)1( )x递12增，小于1，且以直线y1为渐近线，f(x)sinx在1到1之间振荡，故在区间(0，)上，两者的图像有无穷多个交点，所以p 2错，故选D.15若函数f(x) 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_2x a， x 0，lnx， x0， )答案 (0，1解析 当x0时，由f(x)lnx0，得x1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x0时，函数f(x)2 xa有一个零
6、点令f(x)0，得a2 x.因为00， )答案 3， ， ， 12 14 25解析 由题意知f(f(x)1，所以f(x)2或f(x) ，则函数yf(f(x)1的零点就是使f(x)2或f(x)12 12的x值解f(x)2，得x3或x ；解f(x) ，得x 或x .14 12 12 2从而函数yf(f(x)1的零点构成的集合为3， ， ， 12 14 217判断函数f(x)4xx 2 x3在区间1，1上零点的个数，并说明理由23答案 有一个零点解析 f(1)41 0，23 133f(x)在区间1，1上有零点又f(x)42x2x 2 2(x )2，92 12当1x1时，0f(x) ，92f(x)在1
7、，1上是单调递增函数f(x)在1，1上有且只有一个零点18已知函数f(x)4 xm2 x1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点答案 m2，零点是x0解析 方法一：令2 xt，则t0，则g(t)t 2mt10仅有一正根或两个相等的正根，而g(0)10，故 m2 4 0， m20. )m2.方法二：令2 xt，则t0.原函数的零点，即方程t 2mt10的根t 21mt.m t (t0)t2 1t 1t有一个零点，即方程只有一根t 2(当且仅当t 即t1时取等号)，1t 1t又yt 在(0，1)上递减，在(1，)上递增1tm2即m2时，只有一根注：方法一侧重二次函数，方法二侧重于分离参数61(2
8、018郑州质检)x表示不超过x的最大整数，例如2.92，4.15，已知f(x)xx(xR)，g(x)log 4(x1)，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是( )A1 B2C3 D4答案 B解析 作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选B.2函数f(x)xcos2x在区间0，2上的零点的个数为( )A2 B3C4 D5答案 D解析 借助余弦函数的图像求解f(x)xcos2x0x0或cos2x0，又cos2x0在0，2上有 ， ， ， 4 34 54，共4个根，故原函数有5个零点743方程2 x x 23的实数解的个数为( )A2 B3C1 D4答案 A解析 构
9、造函数y2 x 与y3x 2，在同一坐标系中作出它们的图像，可知有两个交点，故方程2 x x 23的实数解的个数为2.故选A.4函数f(x)e x3x的零点个数是( )A0 B1C2 D3答案 B解析 由已知得f(x)e x30，所以f(x)在R上单调递增，又f(1)e 1 30，因此f(x)的零点个数是1，故选B.5设函数f(x) xlnx，则函数yf(x)( )13A在区间( ，1)，(1，e)内均有零点1eB在区间( ，1)，(1，e)内均无零点1e7C在区间( ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点1eD在区间( ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点1e答案 D解析 方法一：令f
10、(x)0得 xlnx.作出函数y x和ylnx的图像，如图，显然yf(x)在(13 13 1e，1)内无零点，在(1，e)内有零点，故选D.方法二：当x( ，e)时，函数图像是连续的，且f(x) 0，f(1) 0，f(e) e10，f(2)3log 2220，f(4) log 24 0） ，2x 1 （ x 0） )A0 B1C2 D3答案 D解析 依题意，在考虑x0时可以画出ylnx与yx 22x的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当x0时，函数f(x)2x1与x轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点故选D.8如果函数f(x)axb(a0)有一个零点是2，那么函数g(x)bx 2ax的
11、零点是_答案 0，12解析 由已知条件2ab0，即b2a.g(x)2ax 2ax2ax(x )，12则g(x)的零点是x0，x .129(2018东营模拟)已知x表示不超过实数x的最大整数，如1.81，1.22.x 0是函数f(x)lnx8 的零点，则x 0等于_2x答案 210(2016山东)已知函数f(x) 其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b|x|， x m，x2 2mx 4m， xm， )有三个不同的根，则m的取值范围是_答案 (3，)解析 f(x) 当xm时，f(x)x 22mx4m(xm) 24mm 2，其顶点为(m，4mm 2)；当|x|， x m，x2 2mx 4m， xm， )xm时，函数f(x)的图像与直线xm的交点为Q(m，m)当 即00，4m m2 m， )如图1所示，易得直线yb与函数f(x) 的图像有一个或两个不同的交点，不符合题意；当 即m3时，函数f(x)的图像如图2所示，4m m20， )则存在实数b满足4mm 2bm，使得直线yb与函数f(x)的图像有三个不同的交点，符合题意综上，m的取值范围为(3，)
