1、1第1课时 向量的概念及线性运算1对于非零向量 a， b，“ a b0”是“ a b”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 a b0，则 a b，所以 a b；若 a b，则 a b， a b0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件2设 a是任一向量， e是单位向量，且 a e，则下列表示形式中正确的是( )A e B a| a|ea|a|C a| a|e D a| a|e答案 D解析 对于A，当 a0时， 没有意义，错误；a|a|对于B，C，D当 a0时，选项B，C，D都对；当 a0时，由 a e可知， a与 e同向或反向，选D.
2、3如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 ( )OP OQ A. B.OH OG C. D.EO FO 答案 D解析 在方格纸上作出 ，如图所示，则容易看出 ，故选D.OP OQ OP OQ FO 4(2014课标全国，文)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则 ( )EB FC A. B.AD 12AD 2C. D.BC 12BC 答案 A解析 ( ) ( ) ( ) ，故选A.EB FC 12AB CB 12AC BC 12AB AC AD 5(2018安徽示范性高中二模)ABC内一点O满足 2 3 0，直线AO交BC于点D，则( )OA OB OC A2
3、 3 0 B3 2 0DB DC DB DC C. 5 0 D5 0OA OD OA OD 答案 A解析 ABC内一点O满足 2 3 0，直线AO交BC于点D， 0.令 ，则OA OB OC 15OA 25OB 35OC OE 25OB 35OC 0，B，C，E三点共线，A，O，E三点共线，D，E重合 5 0，2 3 2 215OA OE OA OD DB DC OB OD 3 3 5 0.故选A.OC OD OA OD 6(2018吉林大学附属中学摸底)在梯形ABCD中， 3 ，则 ( )AB DC BC A B 13AB 23AD 23AB 43AD C. D 23AB AD 23AB A
4、D 答案 D解析 在线段AB上取点E，使BEDC，连接DE，则四边形BCDE为平行四边形，则 .故选D.BC ED AD AE AD 23AB 7(2018江西赣吉抚七校监测)在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近点B)，那么 ( )EF A. B. 12AB 13AD 14AB 12AD C. D. 13AB 12AD 12AB 23AD 答案 D解析 在CEF中， .因为点E为DC的中点，所以 .因为点F为BC的一个三等分点(靠近点B)，所以EF EC CF EC 12DC CF .所以 .故选D.23CB EF EC CF 12DC 23CB 12AB 23
5、AD 38(2018安徽毛坦厂中学期中)如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则 ( )AG A. B. 23AB 13AD 13AB 23AD C. D. 34AB 34AD 23AB 23AD 答案 C解析 连接AF，AE，由G为EF的中点，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (AG 12AF AE 12AD DF 12AB BE 12AD 12DC 12AB 12BC 12AD ) ( ) .故选C.12AB 12AB 12AD 34AB 34AD 9已知向量 i与 j不共线，且 im j， n i j，若A，B，D三点共线，则实数m，
6、n应该满足的条件是( AB AD )Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1答案 C解析 由A，B，D共线可设 ，于是有 im j(n i j)n i j.又 i， j不共线，因此 即有mnAB AD n 1， m， )1.10(2018北京西城一模)在ABC中，点D满足 3 ，则( )BC BD A. B. AD 13AB 23AC AD 13AB 23AC C. D. AD 23AB 13AC AD 23AB 13AC 答案 D解析 因为 3 ，所以 3( )，即 .故选D.BC BD AC AB AD AB AD 23AB 13AC 11(2018河北衡水中学三调)在ABC中， ，P是直线B
7、N上的一点若 m ，则实数m的值AN 14NC AP AB 25AC 为( )A4 B1C1 D4答案 B4解析 方法一：因为 k k( )(1k) ，且 m ，所以1km， AP AB BP AB BN AB AN AB AB k5AC AP AB 25AC k5，解得k2，m1.故选B.25方法二：由 ，得 5 ，AN 14NC AC AN m m 2 ，m21，得m1.AP AB 25AC AB AN 12.(2018河南中原名校质检)如图，已知在ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点若 m n ，则mn( )CE AB AC A B13 12C D.14
8、 12答案 B解析 方法一：依题意得 ( ) ， (AD AB BD AB 13BC AB 13AC AB 23AB 13AC CE CA AE CA 12AD AC 1223 ) . m n ，m ，n ，mn .故选B.AB 13AC AC 13AB 16AC 13AB 56AC CE AB AC 13 56 13 56 12方法二：在ADC中，E为AD中点， ( ) ( ) ( ) ，CE 12CA CD 12 AC 23CB 12 AC 23AB AC 13AB 56AC m ，n ，mn .13 56 1213(2018四川成都七中一诊)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面
9、上一点，且2 2 ，OP OA BA 则( )A点P在线段AB上 B点P在线段AB的反向延长线上C点P在线段AB的延长线上 D点P不在直线AB上答案 B解析 2 2 ，2 2 ，OP OA BA OP OA BA 即2 ，点P在线段AB的反向延长线上故选B.AP BA 14已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足 ( 2 )，则P一定为OP 1312OA 12OB OC ABC的( )AAB边中线的三等分点(非重心) BAB边的中点CAB边中线的中点 D重心5答案 A解析 如图所示，设AB的中点是E，则 ( 2 ) ( 2 )O是ABC的重心，OP 1312OA 12O
10、B OC 13OE OC 2 ， ( 4 ) ，点P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重EO OC OP 13OE EO EO 心，故选A.15(2018北京东城)在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2 ，BC2，点E在线段CD上，若3 ，则的取值范围是( )AE AD AB A0，1 B0， 3C0， D ，212 12答案 C解析 如图所示，过点C作CFAB，垂足为F.在RtBCF中，B30，BC2，CF1，BF .AB2 ，AF .由四边形AFCD是平行四边形，可得CDAF AB3 3 3 312. ， . ， ，0 .故选C.AE AD DE AD AB DE AB DE
11、DC DC 12AB 1216如图所示，下列结论不正确的是_ a b； a b； a b； a b.PQ 32 32 PT 32 32 PS 32 12 PR 32答案 解析 由 a b ，知 a b，正确；由 a b，从而错误； b，故 a b，正确；23PQ PQ 32 32 PT 32 32 PS PT PS 32 12 2 b a b，错误故正确的为.PR PT 32 1217设 a和 b是两个不共线的向量，若 2 ak b， a b， 2 a b，且A，B，D三点共线，则实数k的值AB CB CD 等于_答案 4解析 A，B，D三点共线， . 2 ak b， a2 b，k4.故填4.
12、AB BD AB BD BC CD 18.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，6N，若 m ， n ，则mn的值为_AB AM AC AN 答案 2解析 ( ) .AO 12AB AC m2AM n2AN M，O，N三点共线， 1.m2 n2mn2，故填2.1(2017唐山统考)在等腰梯形ABCD中， 2 ，M为BC的中点，则 ( )AB CD AM A. B. 12AB 12AD 34AB 12AD C. D. 34AB 14AD 12AB 34AD 答案 B解析 因为 2 ，所以 2 .又M是BC的中点，所以 ( ) ( ) ( )AB C
13、D AB DC AM 12AB AC 12AB AD DC 12AB AD 12AB 34AB ，故选B.12AD 2(2017山东胶州期中)如图，在梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，对角线AC，DB相交于点O.若 a， b，则 ( )AD AB OC A B. a3 b3 a3 b6C. D. 2a3 b3 2a3 b3答案 B解析 ABCD，AB2CD，DOCBOA且AO2OC，则 2 ， ，而 AO OC 23AC OC 13AC AC AD DC AD 12 a b， (a b) a b.AB 12 OC 13AC 13 12 13 163在四边形ABCD中， a2 b， 4 a
14、 b， 5 a3 b，则四边形ABCD的形状是( )AB BC CD A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对答案 C解析 由已知 8 a2 b2(4 a b)2 .AD AB BC CD BC .又 与 不平行，四边形ABCD是梯形AD BC AB CD 74在ABC所在的平面内有一点P，如果2 ，那么PBC的面积与ABC的面积之比是( )PA PC AB PB A. B.34 12C. D.13 23答案 A解析 由已知的向量关系式2 ，得2 ，即 3 ，所以点P在AC上，且PC3AP，由相似的PA PC AB PB PA PC AP PC AP 性质知，PBC与ABC在边BC上的高的比为
15、34，则PBC与ABC的面积比为34，选A.5(2017衡水中学调研卷)在ABC中，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c a bAC PA 0，则ABC的形状为( )PB A等边三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等腰三角形但不是等边三角形答案 A解析 如图，由c a b 0知，c( )a b (ac) (cb) 0，而AC PA PB PC PA PA PC PA PC PA 与 为不共线向量，accb0，abc.故选A.PC 6(2017沧州七校联考)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点， a， b，则 ( )AB AC AD A a b B
16、. a b12 12C a b D. a b12 12答案 D解析 连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且 a，所以 b a.CD 12AB 12 AD AC CD 127已知向量 e1， e2是两个不共线的向量，若 a2 e1 e2与 b e1 e2共线，则_答案 12解析 因为 a与 b共线，所以 ax b， 故 .x 2， x 1， ) 128(2017山东栖霞高中)如图所示，已知AOB，点C是点B关于点A的对称点， 2 ，DC和OD DB OA交于点E，若 ，则实数的值为_OE OA 8答案 45解析 设 a， b.由题意知A是BC的中点，且 ，由平行四边形法则知 2 .
17、 2 OA OB OD 23OB OB OC OA OC OA 2 a b， (2 a b) b2 a b.又 (2 a b) a(2) a b， ，OB DC OC OD 23 53 EC OC OE EC DC ， .2 2 153 459.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且 a， b，则 _AB AD BE 答案 b a12解析 a b a b a.BE BA AD 12DC 12 1210(2015北京)在ABC中，点M，N满足 2 ， .若 x y ，则x_；y_AM MC BN NC MN AB AC 答案 12 16解析 由题中条件得 ( ) x y ，所以x ，y .MN MC CN 13AC 12CB 13AC 12AB AC 12AB 16AC AB AC 12 1611(2013江苏)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD AB，BE BC.若 1 2 ( 1， 212 23 DE AB AC 为实数)，则 1 2的值为_答案 12解析 ( ) ， 1 2 ， 1 ， 2 ，故 1DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23AC AB 16AB 23AC DE AB AC 16 23 2 .12
