1、1第2课时 平面向量基本定理及坐标运算1已知点A(1，1)，B(2，y)，向量 a(1，2)，若 a，则实数y的值为( )AB A5 B6C7 D8答案 C解析 (3，y1)， a(1，2)， a，则231(y1)，解得y7，故选C.AB AB 2已知M(3，2)，N(5，1)，且 ，则P点的坐标为( )MP 12MN A(8，1) B(1， )32C(1， ) D(8，1)32答案 B解析 设P(x，y)，则 (x3，y2)MP 而 (8，1)(4， )， 解得12MN 12 12 x 3 4，y 2 12. ) x 1，y 32.)P(1， )故选B.323如果 e1， e2是平面内一组不
2、共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A e1与 e1 e2 B e12 e2与 e12 e2C e1 e2与 e1 e2 D e13 e2与6 e22 e1答案 D解析 选项A中，设 e1 e2 e1，则 无解；选项B中，设 e12 e2( e12 e2)，则 无解；选1 ，1 0， ) 1， 2 2 ， )项C中，设 e1 e2( e1 e2)，则 无解；选项D中， e13 e2 (6e22 e1)，所以两向量是共线向 1，1 ， ) 12量4设向量 a(1，3)， b(2，4)，若表示向量4 a，3 b2 a， c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量
3、 c为( )A(1，1) B(1，1)C(4，6) D(4，6)答案 D解析 由题知4 a(4，12)，3 b2 a(6，12)(2，6)(8，18)，由4 a(3 b2 a) c0，知 c(4，62)，选D.5(2018河北唐山一模)在ABC中，B90， (1，2)， (3，)，则( )AB AC A1 B1C. D432答案 A解析 在ABC中， (1，2)， (3，)， (2，2)又B90， ，AB AC BC AC AB AB BC AB 0，即22(2)0，解得1.故选A.BC 6(2018湖北襄阳模拟)设向量 a(m，2)， b(1，m1)，且 a与 b的方向相反，则实数m的值为(
4、 )A2 B1C2或1 Dm的值不存在答案 A解析 向量 a(m，2)， b(1，m1)，因为 a b，所以m(m1)21，解得m2或1.当m1时， a(1，2)， b(1，2)， a与 b的方向相同，舍去；当m2时， a(2，2)， b(1，1)， a与 b的方向相反，符合题意故选A.7在ABCD中，若 (3，7)， (2，3)，对角线交点为O，则 等于( )AD AB CO A( ，5) B( ，5)12 12C( ，5) D( ，5)12 12答案 B解析 ( ) (1，10)( ，5)CO 12AC 12AD AB 12 128(2018湖北襄樊一模)已知 (1，3)， (2，1)，
5、(k1，k2)，若A，B，C三点不能构成OA OB OC 三角形，则实数k应满足的条件是( )Ak2 Bk12Ck1 Dk1答案 C解析 若点A，B，C不能构成三角形，则向量 与 共线. 因为 (2，1)(1，3)(1，2)，AB AC AB OB OA (k1，k2)(1，3)(k，k1)所以1(k1)2k0，解得k1，故选C.AC OC OA 9在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量 a， b，其中 a(3，1)， b(1，3)若 aOA OB OC 3b，且01，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A解析 由题意知 (3，3)，取特殊值，0，0，知所求区域包含原点，取
6、0，1，知OC 所求区域包含(1，3)，从而选A.10(2017安徽合肥一模)已知 a(1，3)， b(2，k)，且( a2 b)(3 a b)，则实数k_答案 6解析 a(1，3)， b(2，k)， a2 b(3，32k)，3 a b(5，9k)( a2 b)(3 a b)，3(9k)5(32k)0，解得k6.11已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_答案 (2，4)解析 在梯形ABCD中，DC2AB， 2 .DC AB 设点D的坐标为(x，y)，则 (4，2)(x，y)(4x，2y)， (2，1)(1，2)(1，1)
7、，DC AB (4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)， 解得4 x 2，2 y 2， ) x 2，y 4， )故点D的坐标为(2，4)12已知A(3，0)，B(0， )，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30， ，则实数的3 OC OA OB 值为_答案 1解析 由题意知 (3，0)， (0， )，则 (3， )OA OB 3 OC 3由AOC30知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150，tan150 ，即 ，1.3 3 33 33413(2018河北联盟二模)已知点A(1，0)，B(1， )，点C在第二象限，且AOC150， 4 3 OC OA ，则_OB 答案
8、 1解析 点A(1，0)，B(1， )，点C在第二象限， 4 ，C(4， )AOC150，3 OC OA OB 3COx150，tan150 ，解得1.3 4 3314已知| |1，| | ， 0，点C在AOB内，且AOC30.设 m n (m，nR)，则OA OB 3 OA OB OC OA OB mn_答案 3解析 方法一：如图所示， 0， .OA OB OB OA 不妨设| |2，过C作 于D， 于E，则四边形ODCE是矩形OC CD OA CE OB .OC OD DC OD OE | |2，COD30，| |1，| | .OC DC OD 3又| | ，| |1，OB 3 OA 故
9、， .OD 3OA OE 33OB ，此时m ，n .OC 3OA 33OB 3 33 3.mn 333方法二：由 0知AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐OA OB 标系，则可知 (1，0)， (0， )又由 m n ，可知 (m， n)，故由tanOA OB 3 OC OA OB OC 330 ，可知 3.3nm 33 mn15(2018湖南长沙一模)在矩形ABCD中，AB3，AD2，P是矩形内部一点(不含边界)，且AP1.若 xAP 5y ，则3x2y的取值范围是_AB AD 答案 (1， 2解析 在矩形ABCD中，AB3，AD2，如图，以A为原点，AB所
10、在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，D(0，2)， x y x(3，0AP AB AD )y(0，2)(3x，2y)| |1，(3x) 2(2y) 21.令3xcos，2ysin，(0， )，则3x2ycossin siAP 2 2n( )， ， sin( )1， 4 4 434 22 413x2y ，即3x2y的取值范围是(1， 2 216已知A，B，C三点的坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)，并且 ， .AE 13AC BF 13BC (1)求E，F的坐标；(2)求证： .EF AB 答案 (1)E( ， )，F( ，0) (2)略
11、13 23 73解析 (1)设E，F两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则依题意，得 (2，2)， (2，3)， (4，1)AC BC AB ( ， )， ( ，1)AE 13AC 23 23 BF 13BC 23 (x 1，y 1)(1，0)( ， )，AE 23 23(x 2，y 2)(3，1)( ，1)BF 23(x 1，y 1)( ， )(1，0)( ， )，23 23 13 23(x2，y 2)( ，1)(3，1)( ，0)23 73E的坐标为( ， )，F的坐标为( ，0)13 23 73(2)由(1)知(x 1，y 1)( ， )，(x 2，y 2)( ，0)
12、13 23 73 (x 2，y 2)(x 1，y 1)( ， )EF 83 23又 (4，1)，AB 64( )(1) 0，23 83 .EF AB 17已知向量 a(sin，cos2sin)， b(1，2)(1)若 ab ，求tan的值；(2)若| a| b|，0，求的值答案 (1) (2) 或14 2 34解析 (1)因为 ab ，所以2sincos2sin，于是4sincos，故tan .14(2)由| a| b|知，sin 2(cos2sin) 25，所以12sin24sin 25.从而2sin22(1cos2)4，即sin2cos21，于是sin(2 ) . 4 22又由0知， 2
13、，所以2 或2 . 4 494 4 54 4 74因此 或 . 2 3418(2018潍坊二模)已知向量 (6，1)， (x，y)， (2，3)AB BC CD (1)若 ，求x与y之间的关系式；BC DA (2)在(1)的条件下，若 ，求x，y的值及四边形ABCD的面积AC BD 答案 (1)x2y0(2)x6，y3，S 四边形ABCD 16解析 (1) (x4，y2)，AD AB BC CD (x4，2y)DA AD 又 且 (x，y)，BC DA BC x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)由于 (x6，y1)，AC AB BC (x2，y3)，BD BC CD 又 ，AC BD 0
14、，AC BD 即(x6)(x2)(y1)(y3)0.7联立，化简得y 22y30.解得y3或y1.故当y3时，x6，此时 (0，4)， (8，0)，AC BD 当y1时，x2.此时 (8，0)， (0，4)AC BD S 四边形ABCD | | |16.12AC BD 1(2018西安一模)已知向量 a(m1，2)， b(3，m4)，若 a b，且方向相反，则| b|( )A. B.5 10C3 D25 10答案 B思路 本题需要先利用向量共线定理(或利用向量的坐标运算)，求出参数m的值(注意向量 a， b方向相反)，再根据向量模的计算公式进行求解解析 方法一：依题意可设 at b(t0)，则
15、(m1，2)t(3，m4)，所以 解得m 1 3t，2 t（ m 4） ， ) t 2，m 5.)从而 b(3，1)，所以| b| .故选B.10方法二：因为 a b，所以(m1)(m4)60，解得m5或m2.根据向量 a， b方向相反可知，m5符合题意从而 b(3，1)，所以| b| .故选B.102在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量 绕点O按逆时针方向旋转 后得向量 ，则点Q的OP 34 OQ 坐标是( )A(7 ， ) B(7 ， )2 2 2 2C(4 ，2) D(4 ，2)6 6答案 A解析 设 与x轴正半轴的夹角为，则cos ，sin ，则由三角函数定义，可得
16、 (| |cos(OP 35 45 OQ OP )，| |sin( )34 OP 34| |cos( ) (coscos sinsin )10 ( ) 7 ，OP 34 62 82 34 34 35 22 45 22 28| |sin( ) (sincos cossin )10 ( ) ，OP 34 62 82 34 34 45 22 35 22 2 (7 ， )，OQ 2 2即点Q的坐标为(7 ， )2 23(2018吉林普通高中二模)在等腰直角三角形ABC中，ACBC，点D在AB边上且满足 t (1t) .若CD CA CB ACD60，则t的值为( )A. B. 13 12 3C. D.
17、3 22 3 12答案 A解析 t (1t) ，A，B，D三点共线CD CA CB 由题意建立如图所示的直角坐标系，设ACBC1，则C(0，0)，A(1，0)，B(0，1)直线AB的方程为xy1，直线CD的方程为y x，联立解得x ，y ，D33 12 3 32( ， )， ( ， ) (1，0)， (0，1)，t (13 12 3 32 CD 3 12 3 32 CA CB CA t) (t，1t)，( ， )(t，1t)，解得t .故选A.CB 3 12 3 32 3 124与直线3x4y50的方向向量共线的一个单位向量是( )A(3，4) B(4，3)C( ， ) D( ， )35 45 45 35答案 D5若平面向量 a， b满足| a b|1， a b平行于x轴， b(2，1)，则 a_答案 (1，1)或(3，1)解析 设 a(x，y)， b(2，1)，则 a b(x2，y1)， a b平行于x轴，y10，y1，故 a b(x2，0)，又| a b|1，|x2|1，x1或x3， a(1，1)或 a(3，1)
