1、1第3课时 平面向量的数量积1已知 a(1，2)，2 a b(3，1)，则 ab( )A2 B3C4 D5答案 D解析 a(1，2)，2 a b(3，1)， b2 a(3，1)2(1，2)(3，1)(1，3) ab(1，2)(1，3)1235.2已知| a|6，| b|3， ab12，则向量 a在向量 b方向上的投影是( )A4 B4C2 D2答案 A解析 ab| a|b|cos a， b18cos a， b12，cos a， b . a在 b方向上的投影是| a|cos23a， b4.3(2018上海杨浦区一模)若 a与 b c都是非零向量，则“ ab ac”是“ a( b c)”的( )A
2、充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 a与 b c都是非零向量， ab acab ac 0a(b c)0 a( b c)，故“ ab ac”是“ a( b c)”的充要条件故选C.4(2018黑龙江大庆第一次质检)已知向量 a(1，2)， b(2，m)，若 a b，则|2 a3 b|( )A. B470 5C3 D25 5答案 B解析 a(1，2)， b(2，m)，且 a b，1m2(2)，m4. a(1，2)， b(2，4)，2 a3b(4，8)，|2 a3 b| 4 .故选B.（ 4） 2 （ 8） 2 55已知向量 a(1，2)， ab5，| a
3、 b|2 ，则| b|等于( )5A. B25 5C5 D25答案 C解析 由 a(1，2)，可得 a2| a|21 22 25.2| a b|2 ， a22 ab b220.5525 b220. b225.| b|5，故选C.6(2018甘肃武威十八中月考)已知非零向量 a， b满足| b|4| a|，且 a(2 a b)，则 a与 b的夹角为( )A. B.3 2C. D.23 56答案 C解析 设两个非零向量 a， b的夹角为.因为 a(2 a b)，所以 a(2a b)0，即2 a2| a|b|cos0.因为| b|4|a|，| a|0，所以cos .因为0，所以 .故选C. 12 2
4、37如图所示，已知正六边形P 1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是( )A. B. P1P2 P1P3 P1P2 P1P4 C. D. P1P2 P1P5 P1P2 P1P6 答案 A解析 由于 ，故其数量积是0，可排除C； 与 的夹角为 ，故其数量积小于0，可排除D；设正六P1P2 P1P5 P1P2 P1P6 23边形的边长是a，则 | | |cos30 a2， | | |cos60a 2.故选P1P2 P1P3 P1P2 P1P3 32 P1P2 P1P4 P1P2 P1P4 A.8(2018河南高中毕业年级考前预测)ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2 ，且| | |
5、，AO AB AC OA AB 则向量 在向量 方向上的投影为( )CA CB A. B12 32C D.12 32答案 D解析 因为2 ，所以 ( )0，即 ，即外接圆的圆心O为BC的中点，所以ABC是以BAO AB AC AB AO AC AO OB OC C为斜边的直角三角形又因为| | |1，所以ACB ，|CA| ，则向量 在向量 方向上的投OA AB 6 3 CA CB 3影为| |cos .故选D.CA 6 3 32 329已知平面向量 a， b，| a|1，| b| ，且|2 a b| ，则向量 a与向量 a b的夹角为( )3 7A. B.2 3C. D6答案 B解析 由题意
6、，得|2 a b|244 ab37，所以 ab0，所以 a(a b)1，且| a b| 2，故（ a b） 2cos a， a b ，所以 a， a b ，故选B.a（ a b）|a|a b| 12 310(2018沧州七校联考)已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则 ( )( )AP AB AC A有最大值为8 B是定值6C有最小值为2 D与点的位置有关答案 B解析 因为点P在边BC上，所以存在实数，使 (1) ，所以 ( ) (1)AP AB AC AP AB AC AB ( )4 6.故选B.AC AB AC AB AC 11(2018河南鹤壁高级中学段考)如图，BC，DE
7、是半径为1的圆O的两条直径， 2 ，则 等于( BF FO FD FE )A B34 89C D14 49答案 B解析 2 ，圆O的半径为1，| | ， ( )( )| |2 ( ) BF FO FO 13 FD FE FO OD FO OE FO FO OE OD OD OE ( )201 .故选B.13 8912(2018河南豫北名校联盟对抗赛)已知ABC的外接圆的半径为1，圆心为点O，且3 4 5 0，则OA OB OC ( )OC AB 4A. B.85 75C D.15 45答案 C解析 因为| | | |1，由3 4 5 0得3 5 4 和4 5 3 ，两个式子分别平方OA OB
8、OC OA OB OC OA OC OB OB OC OA 可得 和 .所以 ( ) .故选C.OA OC 35 OB OC 45 OC AB OC OB OA OC OB OC OA 1513(2017课标全国，理)已知向量 a， b的夹角为60，| a|2，| b|1，则| a2 b|_答案 2 3解析 本题考查向量的运算| a2 b| （ a 2b） 2 a2 4b2 4ab2 .22 4 421cos60 314(2018江西上饶一模)在边长为1的正方形ABCD中，2 ，BC的中点为F， 2 ，则 _AE EB EF FG EG BD _答案 14解析 以A为坐标原点，建立如图所示的直
9、角坐标系正方形ABCD的边长为1，B(1，0)，D(0，1)，E( ，0)，F(1， )13 12设G(a，b)，由 2 ，得( ， )2(a1，b )，EF FG 23 12 12解得 G( ， ) (1， ) (1，1)， 1 .a 43，b 34， ) 43 34 EG 34 BD EG BD 34 1415(2018河北衡水四调)在ABC中，AB3，AC5.若O为ABC的外接圆的圆心，则 _AO BC 答案 8解析 设BC的中点为D，连接OD，AD，则 ，所以 ( ) OD BC AO BC AD DO BC (AD BC 12AC )( ) ( 2 2) (523 2)8.AB AC
10、 AB 12AC AB 1216(2018上海静安区一模)在RtABC中，AB3，AC4，BC5，点M是ABC外接圆上任意一点，则 的最大值为_AB AM _答案 125解析 如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，C(0，4)，ABC外接圆的方程为(x )2(y2) 2 .32 254设M( cos，2 sin)，32 52 52则 ( cos，2 sin)，AM 32 52 52(3，0)， cos12，当且仅当cos1时，等号成立AB AB AM 92 152 17.(2018上海闵行区一模)如图，已知半径为1的扇形OAB，AOB60，P为弧 上的AB 一个动点，则 的取
11、值范围是_OP AB 答案 ， 12 12解析 ( ) cosBOPcosAOPcos(60AOP)cosAOP cosAOPOP AB OP OB OA OP OB OP OA 12 sinAOPcosAOP sinAOP cosAOPsin(AOP30)0AOP60，3032 32 12AOP3030， sin(AOP30) . 的取值范围为 ， 12 12 OP AB 12 1218设两个向量 e1， e2满足| e1|2，| e2|1， e1与 e2的夹角为 ，若向量2t e17 e2与 e1t e2的夹角为钝角，3求实数t的取值范围答案 (7， )( ， )142 142 12解析
12、由向量2t e17 e2与 e1t e2的夹角为钝角，得 .当 a， b共线且反向时，20，得2.所以的取值范围是(12 12，2)(2，)故选A.8(2016山东，文)已知向量 a(1，1)， b(6，4)若 a(t a b)，则实数t的值为_答案 5解析 根据已知， a22， ab10.由 a(t a b)，得 a(ta b)t a2 ab2t100，解得t5.9(2015浙江)已知 e1， e2是平面单位向量，且 e1e2 .若平面向量 b满足 be1 be21，则| b|_12_答案 2 33解析 因为 be1 be21，| e1| e2|1，由数量积的几何意义，知 b在 e1， e2方向上的投影相等，且都为1，所以 b与 e1， e2所成的角相等由 e1e2 ，知 e1与 e2的夹角为60，所以 b与 e1， e2所成的角均为30，即| b|c12os301，所以| b| .1cos302 3310若平面向量 a， b满足|2 a b|3，则 ab的最小值是_8答案 98解析 由|2 a b|3可知，4 a2 b24 ab9，所以4 a2 b294 ab.而4 a2 b2|2 a|2| b|22|2 a|b|4ab，所以 ab ，当且仅当2 a b时取等号98
