1、1专题研究3 数列的综合应用第一次作业1设a n是首项为a 1，公差为1的等差数列，S n为其前n项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1( )A2 B2C. D12 12答案 D解析 S 1a 1，S 2a 1a 22a 11，S 44a 16.S 22S 1S4，(2a 11) 2a 1(4a16)4a 124a 114a 126a 1a1 .122(2017山西四校联考)已知等比数列a n中，各项都是正数，且a 1， a3，2a 2成等差数列，则 ( 12 a9 a10a7 a8)A1 B12 2C32 D322 2答案 C解析 因为a 1， a3，2a 2成等差数列，所以 a
2、32a 12a 2，即a 1q2a 12a 1q，所以q 212q，解得q112 12或q1 (舍)，所以 q 2(1 )232 .2 2a9 a10a7 a8 a1q8（ 1 q）a1q6（ 1 q） 2 23已知a n是等差数列，a 115，S 555，则过点P(3，a 2)，Q(4，a 4)的直线的斜率为( )A4 B.14C4 D14答案 C解析 S 55a 1 d，所以51510d55，即d2.所以k PQ 2d4.542 a4 a24 34(2016四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增
3、长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)( )A2018年 B2019年C2020年 D2021年答案 B解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列a n，其中，首项a 1130，公比q112%1.12，所以a n1301.12 n1 .由1301.12 n1 200，两2边同时取对数，得n1 ，又 3.8，则n4.8，即a 5开始超过200，所以2lg2 lg1.3lg1.12 lg2 lg1.3lg1.12 0.30 0.110.0
4、5019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.5已知各项均不为0的等差数列a n，满足2a 3a 722a 110，数列b n是等比数列，且b 7a 7，则b 6b8( )A2 B4C8 D16答案 D解析 因为a n为等差数列，所以a 3a 112a 7，所以已知等式可化为4a 7a 720，解得a 74或a 70(舍去)，又b n为等比数列，所以b 6b8b 72a 7216.6已知a n，b n均为等差数列，且a 28，a 616，b 24，b 6a 6，则由a n，b n的公共项组成的新数列cn的通项公式c n( )A3n4 B6n2C6n4 D2n2答案 C解析 设a n的公差
5、为d 1，b n的公差为d 2，则d 1 2，d 2 3.a6 a26 2 84 b6 b26 2 124a na 2(n2)22n4，b nb 2(n2)33n2.数列a n为6，8，10，12，14，16，18，20，22，数列b n为1，4，7，10，13，16，19，22，.c n是以10为首项，以6为公差的等差数列c n10(n1)66n4.7(2017重庆巴蜀中学二诊)中国古代数学名著九章算术中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎儿五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配
6、，问各得多少若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为( )A200 B300C. D4005003答案 B解析 由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1a 2a 3a 4a 5500.由等差数列的性质可得5a 3500，即a 3100，所以a 2a 3a 43a 3300.8(2017河南洛阳期末)已知等差数列a n的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则( )a1 a5 a9a2 a3A2 B33C5 D6答案 B解析 a 2，a 4，a 8成等比数列，a 42a 2a8，即(a 13d) 2
7、(a 1d)(a 17d)，a 1d， a1 a5 a9a2 a33.故选B.3a1 12d2a1 3d9(2017衡水中学调研卷)在1到10 4之间所有形如2 n与形如3 n(nN *)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg20.301 0)( )A1 631 B6 542C15 340 D17 424答案 B解析 由2 nb2 Ba 3b5 Da 6b6答案 A解析 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d，q，则由题意得 解得 则a 2b 234 3d 1，4q3 1， ) d 1，q 314， )3 0；故选A.316 32711数列a n是等差数列，若a 1，a 3，a 4是等比数列
8、b n中的连续三项，则数列b n的公比为_答案 或112解析 设数列a n的公差为d，由题可知，a 32a 1a4，可得(a 12d) 2a 1(a13d)，整理得(a 14d)d0，解得d0或a 14d.当d0时，等比数列b n的公比为1；当a 14d时，a 1，a 3，a 4分别为4d，2d，d，所以等比数列b n的公比为 .1212(2017广东潮州期末)从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.答案 4解析 4设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与
9、总溶液体积之比a 1 ，设操作n次后，纯12酒精体积与总溶液体积之比为a n，则a n1 a n ，a na 1qn1 ( )n，( )n0，nN *.(1)若a 2，a 3，a 2a 3成等差数列，求数列a n的通项公式；(2)设双曲线x 2 1的离心率为e n，且e 22，求e 12e 22e n2.y2an2答案 (1)a n2 n1 (nN *) (2)n (3n1)12解析 (1)由已知S n1 qS n1，得S n2 qS n1 1，两式相减得到a n2 qa n1 ，n1.又由S 2qS 11得到a 2qa 1，故a n1 qa n对所有n1都成立所以数列a n是首项为1，公比为
10、q的等比数列从而a nq n1 .由a 2，a 3，a 2a 3成等差数列，可得2a 3a 2a 2a 3，所以a 32a 2，故q2，所以a n2 n1 (nN *)(2)由(1)可知，a nq n1 .所以双曲线x 2 1的离心率e n .y2an2 1 an2 1 q2（ n 1）由e 2 2解得q .1 q2 35所以e 12e 22e n2(11)(1q 2)1q 2(n1) n1q 2q 2(n1) n n (3q2n 1q2 1 12n1)15(2018衡水中学调研卷)若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2
11、025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n年的人口总数a n的表达式(注：2016年为第一年)；(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2035年后是否需要调整政策？(说明：0.99 10(10.01) 100.9)答案 (1) (2)不需要0.5n 45， 1 n 10500.99n 10， 11 n 20)解析 (1)由题意知，当n10时，数列a n是以45.5为首项，0.5为公差的等差数列，所以a n45.5(n1)0.50.5n45.当11n20时，数列a
12、 n是公比为0.99的等比数列，而a 11500.99，所以a n500.99 n10 .所以新政策实施后第n年的人口总数a n(单位：万)的表达式为a n 0.5n 45， 1 n 10，500.99n 10， 11 n 20.)(2)设S n为数列a n的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S 20S 10(a11a 12a 20)477.54 950(10.99 10)972.5(万)，所以新政策实施到2035年人口均值为 48.630.因为S 39，所以a 1a 2a 33a 29，即a 23.因为2a 1，a 31，a 41构成等比数列，所以
13、(2d) 22(3d)(42d)，所以d2.所以a na 2(n2)d2n1.(2)证明：因为 2 n1 (nN *)，anbn所以b n (2n1)( )n1 ，2n 12n 1 12所以T n1( )03( )1(2n1)( )n1 ，12 12 126所以 Tn1( )13( )2(2n3)( )n1 (2n1)( )n，12 12 12 12 12由两式相减得Tn12( )12( )22( )n1 (2n1)( )n1 3 12 12 12 12 121 （ 12） n 11 12 2n 12n 12n 2 2n 12n，整理化简得Tn6 .2n 32n 1又因为nN *，所以T n6
14、 0，y0)，已知数列a n满足：a n (nN *)，F（ n， 2）F（ 2， n）若对任意正整数n，都有a na k(kN *)成立，则a k的值为( )A. B212C. D.89 98答案 C解析 由题意得a n 且a k(a n)min，由指数函数y2 x与二次函数yx 2图像的对比可得当x0时， 先F（ n， 2）F（ 2， n） 2nn2 2xx2减后增，故 有最小值因此a 12，a 21，a 3 ，a 41，所以a 2a3且a 30)的图像上若点B n的坐标为(n，0)(n2，nN *)，记矩形A nBnCnDn的周长为a n，则a 2a 3a 10等于( 8)A208 B2
15、16C212 D220答案 B解析 由B n(n，0)，得C n(n，n )，令x n ，即x 2(n )x10，得xn或x ，所以D n( ，n )，所1n 1x 1n 1n 1n 1n 1n以矩形A nBnCnDn的周长a n2(n )2(n )4n.所以a 2a 3a 104(2310)216.故选B.1n 1n7(2018江西九江一中月考)在等比数列a n中，a 7是a 8，a 9的等差中项，公比q满足如下条件：OAB(O为原点)中， (1，1)， (2，q)，A为锐角，则公比q_OA OB 答案 2解析 由a 7是a 8，a 9的等差中项，知2a 7a 8a 9a 7qa 7q2，得
16、q1或q2.又因为A为锐角，所以 AO AB AO ( )(1，1)(1，q1)q0，可知q0)的图像在点(a k，a k2)处的切线与x轴交点的横坐标为a k1 (kN *)，若a 116，则a 1a 3a 5_答案 21解析 由题意，得函数yx 2(x0)的图像在点(a k，a k2)处的切线方程是ya k22a k(xa k)令y0，得x ak，即a12k1 ak，因此数列a k是以16为首项， 为公比的等比数列，所以a k16( )k1 2 5k ，所以a 1a 3a 5112 12 1264121.9(2017合肥质检)一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟
17、自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过_分钟，该病毒占据64MB内存(1MB2 10KB)答案 45解析 依题意可知a 02，a 12 2，a 22 3，a n2 n1 .64MB642 102 16KB，令2 n1 2 16得n15.开机后45分钟该病毒占据64MB内存10一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是x，另一个是x3.设第n次生成的数的个数为a n，则数列a n的前n项和S n_；9若x1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T 4_答案 2 n1，10解析 由题意可知，依次生成的
18、数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故S n 2 n1.1 2n1 2当x1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为1，4，第3次生成的数为1，2；4，7，第4次生成的数为1，4；2，5；4，1；7，10.故T 410.11(2018湖北武汉武昌实验中学模拟)已知数列a n，b n中，a 1a，b n是比公为 的等比数列，记b n23(nN *)，若不等式a nan1 对一切nN *恒成立，则实数a的取值范围是_an 2an 1答案 (2，)解析 因为b n (nN *)，所以a n ，所以a n1 a n an 2an 1 bn 2bn 1 bn 1 2bn 1 1 bn 2bn 1 1
19、bn 1 1bn 1 1 0，解得b n 或0 ，bn 1 bn（ 1 bn 1） （ 1 bn） 13bn（ 1 23bn） （ 1 bn）bn（ 23bn 1） （ bn 1） 32 32则b 1( )n1 对一切正整数n成立，显然不可能；若02.a1 2a1 112(2018上海虹口区模拟)某市2017年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张为了节能减排和控制总量，从2017年开始，每年电动型汽车牌照的发放量按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型汽车的牌照的数量维持在这一年
20、的水平不变(1)记2017年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列a n，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列bn，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a110 a29.5 a3_ a4_ b12 b23 b3_ b4_ (2)从2017年算起，求二十年发放的汽车牌照总量答案 (1)a 39，a 48.5，b 34.5，b 46.75an bn n2 212， 1 n 20且 n N*，0， n 21且 n N* ) 2（ 32） n 1， 1 n 4且 n N*，6.75， n 5且 n N* )(2)229.25万张解析 (1)a110 a29.5 a39 a48.5 b12 b
21、23 b34.5 b46.75 当1n20且nN *，a n10(n1)(0.5) ；当n21且nN *，a n0，n2 21210a n n2 212， 1 n 20且 n N*，0， n 21且 n N*. )a 4b 415.2515，b n 2（ 32） n 1， 1 n 4且 n N*，6.75， n 5且 n N*. )(2)a1a 2a 201020 ( )105，20192 12b1b 2b 3b 4b 5b 20 6.7516124.25.21 （ 32） 41 32从2017年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张13(2017江西省宜春中学与新余一中联考)设函数
22、f(x) sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列x2为x n(1)求数列x n的通项公式；(2)令b n ，设数列 的前n项和为S n，求证S n02k 0.由题意得 所以3q 25q20.因为q0，所以q2，x 11.因此数列x n的通项公比为x n2x1 x1q 3，x1q2 x1q 2， )n1 .(2)过P 1，P 2，P n1 向x轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q n1 .由(1)得x n1 x n2 n2 n1 2 n1 ，记梯形P nPn1 Qn1 Qn的面积为b n，由题意得b n 2n1 (2n（ n n 1）21)2n2 ，所以T nb 1b 2b n32 1
23、52 072 1(2n1)2 n3 (2n1)2 n2 ，又2T n32 052 172 2(2n1)2 n2 (2n1)2 n1 .得T n32 1 (22 22 n1 )(2n1)2 n1 (2n1)2 n1 .32 2（ 1 2n 1）1 2所以T n .（ 2n 1） 2n 1215(2018浙江镇海中学模拟)已知数列a n是各项均为正数的等差数列，其中a 11，且a 2，a 4，a 62成等比数列；数列b n的前n项和为S n，满足2S nb n1.(1)求数列a n，b n的通项公式；(2)如果c na nbn，设数列c n的前n项和为T n，是否存在正整数n，使得T nSn成立？
24、若存在，求出n的最小值；若不存在，说明理由答案 (1)a n1 b n (2)存在 213n解析 (1)设等差数列a n的公差为d，依条件有a 42a 2(a62)，即(a 13d) 2(a 1d)(a 15d2)，解得d (因12数列各项均为正数，故舍去)或d1，所以a na 1(n1)d1(n1)n.由2S nb n1，得S n (1b n)12当n1时，2S 1b 11，解得b 1 ；13当n2时，b nS nS n1 (1b n) (1b n1 ) bn bn1 ，12 12 12 12所以b n bn1 ，所以数列b n是首项为 ，公比为 的等比数列，故b n .13 13 13 1
25、3n12(2)由(1)知，c na nbn ，n3n所以T n1 2 3 n 13 132 133 13n在式两边同乘 ，得 Tn1 2 3 n 13 13 132 133 134 13n 1由两式相减得 Tn n ，整理化简得T n .23 13 132 133 13n 13n 1 34 34 13n n2 13n 34 2n 34 13n又因为S n ，13（ 1 13n）1 13 12 123n所以T nS n .14 2n 14 13n当n1时，T 1S 1，当n2时， 3n(2n1)0，14 2n 14 13n 143n所以T nSn，故所求的正整数n存在，其最小值是2.1设某商品一
26、次性付款的金额为a元，若以分期付款的形式等额地分成n次付清，且每期利率r保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是( )A. (1r) n元 B. 元an ar（ 1 r） n（ 1 r） n 1C. (1r) n1 元 D. 元an ar（ 1 r） n 1（ 1 r） n 1答案 B解析 设每期期末所付款是x元，则各次付款的本利和为x(1r) n1 x(1r) n2 x(1r) n3 x(1r)xa(1r) n，即x a(1r) n，整理得x .故选B.（ 1 r） n 1r ar（ 1 r） n（ 1 r） n 12在平面直角坐标系上，有一点列：P 1，P 2，P n，(nN *)，设点P
27、 n的坐标为(n，a n)，其中a n (nN *)2n，过点P n，P n1 的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为b n，设S n表示数列b n的前n项和，则S 5_答案 1256解析 由题意得，过点P n，P n1 的直线为 ，即2xn(n1)y2(2n1)0.令y0，得x2n1y 2nx n2n 1 2n（ n 1） n13，令x0，得y ，所以b n (2n1) 4 4 ，所以S 542（ 2n 1）n（ n 1） 12 2（ 2n 1）n（ n 1） 1n（ n 1） 1n 1n 151 .12 12 13 15 16 12563设函数f(x) sinx的所有正的极小值点从小到大排
28、成的数列为x n，x n的前n项和为S n，则sinS n不可x2能取的值是( )A0 B.12C D.32 32答案 B解析 由f(x) sinx，得f(x) cosx，令f(x)0，得x2k (kZ)，当f(x)0时，2k 0且k1)，且数列f(a n)是首项为4，公差为2的等差数列(1)求证：数列a n是等比数列；(2)若b na nf(an)，当k 时，求数列b n的前n项和S n；2(3)若c na nlgan，问是否存在实数k，使得c n中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由答案 (1)略 (2)S nn2 n3 (3)(0， )(1，)63解析
29、(1)由题意知f(a n)4(n1)22n2，即log kan2n2，a nk 2n2 ， k 2.an 1an k2（ n 1） 2k2n 2常数k0且k1，k 2为非零常数数列a n是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列(2)由(1)知，b na nf(an)k 2n2 (2n2)，当k 时，b n(2n2)2 n1 (n1)2 n2 .2S n22 332 442 5(n1)2 n2 ，2Sn22 432 5n2 n2 (n1)2 n3 .，得S n22 32 42 52 n2 (n1)2 n32 3(2 32 42 52 n2 )(n1)2 n3 ，S n2 3 (n1)2 n3 n
30、2 n3 .23（ 1 2n）1 2(3)存在由(1)知，c na nlgan(2n2)k 2n2 lgk，要使c n1时，lgk0，n1(n2)k 2对一切nN *恒成立，只需k 2( )min，n 1n 2 1 单调递增，n 1n 2 1n 2当n1时，( )min .n 1n 2 2315k 2 ，且0k1，因此0k .23 63综上所述，存在实数k(0， )(1，)满足条件636(2017衡水中学调研卷)设各项均为正数的数列a n的前n项和为S n，且S n满足S n2(n 2n3)S n3(n 2n)0，nN *.(1)求a 1的值；(2)求数列a n的通项公式；(3)证明：对一切正
31、整数n，有 .1a1（ a1 1） 1a2（ a2 1） 1an（ an 1） 13答案 (1)a 12 (2)a n2n (3)略解析 (1)令n1代入得a 12(负值舍去)(2)由S n2(n 2n3)S n3(n 2n)0，nN *，得S n(n 2n)(S n3)0.又已知各项均为正数，故S nn 2n.当n2时，a nS nS n1 n 2n(n1) 2(n1)2n，当n1时，a 12也满足上式，所以a n2n，nN *.(3)证明：kN *，4k 22k(3k 2 3k)k 2kk(k1)0，4k 22k3k 23k. 1ak（ ak 1） 12k（ 2k 1） 14k2 2k 13k2 3k ( )131k 1k 1 1a1（ a1 1） 1a2（ a2 1） 1an（ an 1） ( )1311 12 12 13 1n 1n 1 (1 ) .13 1n 1 13不等式成立
