1、1第6课时 直接证明与间接证明1分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证： 0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0(ac)(2ac)0 (ac)(ab)0.2要证a 2b 21a 2b20只要证明( )A2ab1a 2b20 Ba 2b 21 0a4 b42C. 1a 2b20 D(a 21)(b 21)0（ a b） 22答案 D3下列不等式不成立的是( )A. 212 3 2C2 33cos1答案 B4若实数a，b满足abQ BPQCP0，b0，ab1，则下列不等式不成立的是( )Aa 2b 2 Bab12 14C. 4 D. 11a 1b a b
2、答案 D解析 a 2b 2(ab) 22ab12ab12( )2 ，A成立；a b2 12ab( )2 ，B成立；a b2 14 4，C成立；1a 1b a bab 1ab 1（ a b2） 2( )2ab2 12 1， 1，故D不成立a b ab ab a b8(2018广东模拟)设x，y，zR ，ax ，by ，cz ，则a，b，c三个数( )1y 1z 1xA至少有一个不大于2 B都小于2C至少有一个不小于2 D都大于2答案 C解析 假设a，b，c三个数都小于2.则6abcx y z 2 2 2 6，1y 1z 1x x1x y1y z1z即66，矛盾所以a，b，c三个数中至少有一个不小
3、于2.9设a0，b0，求证：lg(1 ) lg(1a)lg(1b)ab12答案 略证明 要证lg(1 ) lg(1a)lg(1b)，ab12只需证1 ，ab （ 1 a） （ 1 b）即证：(1 )2(1a)(1b)，ab即证：2 ab，ab而2 ab成立，ab3lg(1 ) lg(1a)lg(1b)ab1210(2017江苏盐城一模)已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1x 2x 31，求证： 1.x22x1 x32x2 x12x3答案 略解析 x 1 x 2 x 32 2 2 2(x 1x 2x 3)2， 1.x22x1 x32x2 x12x3 x22 x32 x12 x22x1 x
4、32x2 x12x311(1)设x是正实数，求证：(x1)(x 21)(x 31)8x 3.(2)若xR，不等式(x1)(x 21)(x 31)8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值答案 (1)略 (2)成立，证明略解析 (1)证明：x是正实数，由均值不等式，得x12 ，x 212x，x 312 .x x3故(x1)(x 21)(x 31)2 2x2 8x 3(当且仅当x1时等号成立)x x3(2)解：若xR，不等式(x1)(x 21)(x 31)8x 3仍然成立由(1)知，当x0时，不等式成立；当x0时，8x 30，而(x1)(x 21)(x 3
5、1)(x1) 2(x21)(x 2x1)(x1) 2(x21)(x )2 0，12 34此时不等式仍然成立12(2017湖北武汉调研)已知等差数列a n的前n项和为S n，a 35，S 864.(1)求数列a n的通项公式；(2)求证： (n2，nN *)1Sn 1 1Sn 12Sn答案 (1)a n2n1 (2)略解析 (1)设等差数列a n的公差为d，则 解得a 11，d2.a3 a1 2d 5，S8 8a1 28d 64， )故所求的通项公式为a n2n1.(2)证明：由(1)可知S nn 2，要证原不等式成立，只需证 ，1（ n 1） 2 1（ n 1） 22n2只需证(n1) 2(n
6、1) 2n22(n21) 2.只需证(n 21)n 2(n21) 2.只需证3n 21.而3n 21在n1时恒成立，从而不等式 (n2，nN *)恒成立1Sn 1 1Sn 12Sn413(2015湖南，理)设a0，b0，且ab .证明：1a 1b(1)ab2；(2)a2a0，b0，得ab1.1a 1b a bab(1)由基本不等式及ab1，有ab2 2，即ab2.ab(2)假设a 2a0得00，且x1时，f(x) .lnxx 1答案 (1)a1，b1 (2)略解析 (1)f(x) .a（ x 1x lnx）（ x 1） 2 bx2由于直线x2y30的斜率为 ，且过点(1，1)，12故 即f（
7、1） 1，f （ 1） 12， ) b 1，a2 b 12.)解得a1，b1.(2)由(1)知f(x) ，所以lnxx 1 1xf(x) (2lnx )lnxx 1 11 x2 x2 1x考虑函数h(x)2lnx (x0)，则x2 1xh(x) .2x 2x2 （ x2 1）x2 （ x 1） 2x2所以当x1时，h(x)0，可得 h(x)0；11 x2当x(1，)时，h(x)0.11 x2从而当x0，且x1时，f(x) 0，lnxx 1即f(x) .lnxx 151(2017安徽毛坦厂中学月考)若a，b，c是不全相等的实数，求证：a 2b 2c 2abbcca.证明过程如下：因为a，b，cR
8、，所以a 2b 22ab，b 2c 22bc，c 2a 22ac，又因为a，b，c不全相等，所以以上三式至少有一个等号不成立，所以将以上三式相加得2(a 2b 2c 2)2(abbcac)，所以a 2b 2c 2abbcca.此证法是( )A分析法 B综合法C分析法与综合法并用 D反证法答案 B解析 由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义故选B.2已知M(1，1)，求证：当a，bM时，|ab|0即证(1a 2)(1b 2)0，10，1b 20，(1a 2)(1b 2)0原不等式成立3设数列a n满足a 10且 1.11 an 1 11 an(1)求a n的通项公式；(2)设b n ，记S n k，证明：S n1.1 an 1n nk 1b答案 (1)a n1 (2)略1n解析 (1)由题设 1，11 an 1 11 an得 是公差为1的等差数列11 an又 1，故 n.所以a n1 .11 a1 11 an 1n(2)由(1)得bn ，1 an 1n n 1 nn 1n 1n 1n 16
