1、13.2 导数的应用考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热 度1.利用导数研究函数的单调性1.了解函数单调性和导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2017课标全国,21;2017课标全国,21;2017课标全国,21;2016课标全国,212.利用导数研究函数的极值与最值1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)2017北京,20;2017江苏,20;2016山东,203.导数的综合应用 会利用导数
2、解决实际问题 2017天津,19;2016课标全国,21;2015课标,21选择题、解答题 分析解读函数的单调性是函数的一条重要性质,也是高中阶段研究的重点.一是直接用导数研究函数的单调性、求函数的最值与极值,以及实际问题中的优化问题等,这是新课标的一个新要求.二是把导数与函数、方程、不等式、数列等知识相联系,综合考查函数的最值与参数的取值,常以解答题的形式出现.本节内容在高考中分值为17分左右,属难度较大题.21)函数f(x)的定义域为(-,+), f (x)=2e 2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,则f(x)=e 2x,在(-,+)上单调递增.若a0,则由f (x)
3、=0得x=ln a.当x(-,ln a)时, f (x)0.故f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.若a0.(ln(-2),+)故f(x)在 上单调递减,在 上单调递增.(-,ln(-2) (ln(-2),+)(2)若a=0,则f(x)=e 2x,所以f(x)0.若a0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a 2ln a0,即a1时, f(x)0.若af(2x-1)成立的x的取值范围是( ) 11+2A. B. (1,+)(13,1) (-,13)C. D. (-13,13) (-,-13)
4、(13,+)答案 A 4.(2014课标,11,5分)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是( )A.(-,-2 B.(-,-1C.2,+) D.1,+)答案 D 5.(2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x 3-2x+ex- ,其中e是自然对数的底数 .若f(a-11)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是 . 答案 -1,126.(2017课标全国,21,12分)设函数f(x)=(1-x 2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;4(2)当x0时, f(x)ax+1,求a的取值范围.解析 (1)f (x)=(1-2x-x 2)ex.令f (x)=0,得
5、x=-1- 或x=-1+ .2 2当x(-,-1- )时, f (x)0;2 2当x(-1+ ,+)时, f (x)0),因此h(x)在0,+)上单调递减,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当00(x0),所以g(x)在0,+)上单调递增,而g(0)=0,故e xx+1.当0(1-x)(1+x) 2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x 0= ,5-4-12则x 0(0,1),(1-x 0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x 0)ax0+1.当a0时,取x 0= ,5-12则x 0(0,1), f(x 0)(1-x0)
6、(1+x0)2=1ax 0+1.综上,a的取值范围是1,+).7.(2017课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ln x+ax 2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a0,故f(x)在(0,+)上单调递增.若a0;(0,- 12)当x 时, f (x)0;当x(1,+)时,g(x)0时,g(x)0.从而当a1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xc x.解析 (1)由题设知, f(x)的定义域为(0,+), f (x)= -1,令f (x)=0,解得x=1.1当00, f(x)单调递增;当x1时, f (x)1,设g(x)=1+(c-1)x-c x,则g(x)=c-1
7、-c xln c,令g(x)=0,解得x 0= .ln-1lnln当x0,g(x)单调递增;当xx 0时,g(x)0.所以当x(0,1)时,1+(c-1)xc x.(12分)教师用书专用(924)9.(2013浙江,8,5分)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f (x)的图象如图所示,则该函数的图象是( )6答案 B 10.(2015四川,21,14分)已知函数f(x)=-2xln x+x 2-2ax+a2,其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.
8、解析 (1)由已知,得函数f(x)的定义域为(0,+),g(x)=f (x)=2(x-1-ln x-a),所以g(x)=2- = .22(-1)当x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递增.(2)证明:由f (x)=2(x-1-ln x-a)=0,解得a=x-1-ln x.令(x)=-2xln x+x 2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2=(1+ln x)2-2xln x,则(1)=10,(e)=2(2-e)f(x 0)=0;当x(x 0,+)时, f (x)0,从而f(x)f(x 0)=0;又当x(0,1时, f(x)=(x-a 0)2-2xln x0.故x(0,+)时,
9、f(x)0.综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.11.(2015天津,20,14分)已知函数f(x)=4x-x 4,xR.(1)求f(x)的单调区间;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的实数x,都有f(x)g(x);(3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x 1,x2,且x 10,即x1时,函数f(x)单调递减.7所以, f(x)的单调递增区间为(-,1),单调递减区间为(1,+).(2)证明:设点P的坐标为(x 0,0),则x 0= , f (x0)=-12.曲线
10、y=f(x)在点P处的切线方程为y=f (x0)(x-413x0),即g(x)=f (x 0)(x-x0).令函数F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f (x 0)(x-x0),则F(x)=f (x)-f (x 0).由于f (x)=-4x3+4在(-,+)上单调递减,故F(x)在(-,+)上单调递减.又因为F(x 0)=0,所以当x(-,x 0)时,F(x)0,当x(x 0,+)时,F(x)1时, f(x)1,当x(1,x 0)时,恒有f(x)k(x-1).解析 (1)f (x)= -x+1= ,x(0,+).1 -2+1由f (x)0得 解得00,-2+10. 1+ 52故
11、f(x)的单调递增区间是 .(0,1+ 52 )(2)证明:令F(x)=f(x)-(x-1),x(0,+).则有F(x)= .1-2当x(1,+)时,F(x)1时,F(x)1时, f(x)1满足题意.8当k1时,对于x1,有f(x)1满足题意.当k1.1- (1-)2+421-+ (1-)2+42当x(1,x 2)时,G(x)0,故G(x)在1,x 2)内单调递增.从而当x(1,x 2)时,G(x)G(1)=0,即f(x)k(x-1),综上,k的取值范围是(-,1).13.(2015重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax 3+x2(aR)在x=- 处取得极值.43(1)确定a的值;(2)若
12、g(x)=f(x)e x,讨论g(x)的单调性.解析 (1)对f(x)求导得f (x)=3ax 2+2x,因为f(x)在x=- 处取得极值,所以f =0,43 (-43)即3a +2 = - =0,解得a= .169 (-43)163 83 12(2)由(1)得g(x)= ex,(123+2)故g(x)= ex+ ex(322+2) (123+2)= ex(123+522+2)= x(x+1)(x+4)ex.12令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x0,故g(x)为增函数;当-10时,g(x)0,故g(x)为增函数.综上,知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4
13、,-1)和(0,+)内为增函数.14.(2014安徽,20,13分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x 2-x3,其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;(2)当x0,1时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.9解析 (1)f(x)的定义域为(-,+), f (x)=1+a-2x-3x 2.令f (x)=0,得x 1= ,x2= ,x1x 2时, f (x)0.故f(x)在(-,x 1)和(x 2,+)内单调递减,在x 1,x2内单调递增.(2)因为a0,所以x 10.(i)当a4时,x 21,由(1)知, f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小
14、值和最大值.(ii)当00,故f(x)在(5,+)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5.16.(2014湖北,21,14分)为圆周率,e=2.718 28为自然对数的底数.(1)求函数f(x)= 的单调区间 ;ln(2)求e 3,3e,e , e,3 , 3这6个数中的最大数与最小数.解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+).因为f(x)= ,所以f (x)= .ln 1-ln210当f (x)0,即0e时,函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+).(2)因为e 3;ln ln33由 0).(1)求f(x)的
15、单调区间;(2)记x i为f(x)的从小到大的第i(iN *)个零点,证明:对一切nN *,有 + + 0,此时f (x)0,故f(x)的单调递减区间为(2k,(2k+1)(kN),单调递增区间为(2k+1),(2k+2)(kN).(2) 由(1)知, f(x)在区间(0,)上单调递减,又f =0,故x 1= ,当nN *时,因为f(n)f(n+1)=(-(2) 21)nn+1(-1)n+1(n+1)n+10得x2(5-2)(-2) 25或x(2,+),(0,25)故函数f(x)的单调递增区间为 和(2,+).(0,25)(2)f (x)= ,a4,即a0;当x(-2,-ln 2)时, f (
16、x)0, f(x)在(-, -1)上是增函数;2 2当x( -1, +1)时, f (x)0, f(x)在( +1,+)上是增函数.(6分)2 2(2)由f(2)0得a- .(8分)54当a- ,x(2,+)时,54f (x)=3(x2+2ax+1)3 =3 (x-2)0,(2-52+1) (-12)所以f(x)在(2,+)上是增函数,于是当x2,+)时,f(x)f(2)0.综上,a的取值范围是 .(12分)-54,+)21.(2013山东,21,12分)已知函数f(x)=ax 2+bx-ln x(a,bR).(1)设a0,求f(x)的单调区间;(2)设a0,且对任意x0, f(x)f(1).
17、试比较ln a与-2b的大小.解析 (1)由f(x)=ax 2+bx-ln x,x(0,+),13得f (x)= .22+-1当a=0时, f (x)= .-1(i)若b0,当x0时, f (x)0,当0 时, f (x)0,函数f(x)单调递增.1所以函数f(x)的单调递减区间是 ,单调递增区间是 .(0,1) (1,+)当a0时,令f (x)=0,得2ax 2+bx-1=0.由=b 2+8a0得x 1= ,x2= .- 2+84-+ 2+84显然,x 10.当0x 2时, f (x)0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是 ,(0,-+ 2+84 )单调递增区间是 .(-
18、+ 2+84 ,+)综上所述,当a=0,b0时,函数f(x)的单调递减区间是(0,+);当a=0,b0时,函数f(x)的单调递减区间是 ,单调递增区间是 ;(0,1) (1,+)当a0时,函数f(x)的单调递减区间是 ,(0,-+ 2+84 )单调递增区间是 .(-+ 2+84 ,+)(2)由题意,函数f(x)在x=1处取得最小值,由(1)知 是f(x) 的唯一极小值点,-+ 2+84故 =1,整理得 2a+b=1,即b=1-2a.-+ 2+8414令g(x)=2-4x+ln x.则g(x)= .1-4令g(x)=0,得x= .14当00,g(x)单调递增;14当x 时,g(x)0.(1)证明
19、f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增;(2)设曲线y=f(x)在点P i(xi, f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x 1x2x30.证明x 1+x2+x3- .13证明 (1)设函数f 1(x)=x3-(a+5)x(x0),f 2(x)=x3- x2+ax(x0),+32 f 1(x)=3x2-(a+5),由a-2,0,从而当-11时, f 2(x)0.即函数f 2(x)在区间0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.综合,及f 1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.(2)由(1)知f
20、(x)在区间(-,0)内单调递减,在区间 内单调递减,(0,+36 )在区间 内单调递增.(+36 ,+)因为曲线y=f(x)在点P i(xi, f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x 1,x2,x3互不相等,且f (x1)=f (x2)=f (x3).不妨设x 1- + ,2+53 +33设t= ,则a= ,因为a-2,0,2+53 32-52所以t ,33, 153故x 1+x2+x3-t+ = (t-1)2- - ,即x 1+x2+x3- .32+16 12 13 13 1323.(2013湖北,21,13分)设a0,b0,已知函数f(x)= .+1(1)当ab时,讨论函数
21、f(x)的单调性;(2)当x0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数.(i)判断f(1),f ,f 是否成等比数列,并证明f f ;() () () ( )(ii)a、b的几何平均数记为G.称 为a、b的调和平均数,记为H.若Hf(x)G,求x的取值范围.2+解析 (1)f(x)的定义域为(-,-1)(-1,+),f (x)= = .(+1)-(+)(+1)2-(+1)2当ab时, f (x)0,函数f(x)在(-,-1),(-1,+)上单调递增;当a0, f = 0,f = 0,+2 () 2+ ( ) 故f(1)f = =ab= ,()+2 2+ ( )2即f(1)f = .()( )2
22、16所以f(1),f ,f 成等比数列.() ()因为 ,所以f(1)f .由得f f .+2 ( ) () ( )(ii)由(i)知f =H,f =G.故由Hf(x)G,得() ( )f f(x)f .() ( )当a=b时,f =f(x)=f =a.() ( )这时,x的取值范围为(0,+);当ab时,01,从而 ,由f(x)在(0,+)上单调递 减与式,得 x ,即x的取值范围为 . ,24.(2013江苏,20,16分)设函数f(x)=ln x-ax,g(x)=e x-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+)上是单调减函数,且g(x)在(1,+)上有最小值,求a的取值范围;(2
23、)若g(x)在(-1,+)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论.解析 (1)令f (x)= -a= 0,进而解得xa -1,即f(x)在(a -1 1-1,+)上是单调减函数.同理, f(x)在(0,a -1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+)上是单调减函数,故(1,+)(a -1,+),从而a -11,即a1.令g(x)=e x-a=0,得x=ln a.当xln a时,g(x)0.又g(x)在(1,+)上有最小值,所以ln a1,即ae.综上,有a(e,+).(2)当a0时,g(x)必为单调增函数;当a0时,令g(x)=e x-a0,解得aln a,因为g(x)在(-
24、1,+)上是单调增函数,类似(1)有ln a-1,即00,得f(x)存在唯一的零点.117(ii)当a0,且函数f(x)在e a,1上的图象不间断,所以f(x)在(e a,1)上存在零点.另外,当x0时, f ( x)= -a0,故f(x)在(0,+)上是单调增函数,所以f(x)只有一个零点.1(iii)当00,当xa -1时, f (x)0,即00,且函数f(x)在e -1,a-1上的图象不间断,所以f(x)在(e -1,a-1)上存在零点.另外,当x(0,a -1)时, f (x)= -a0,故f(x)在(0,a -1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a -1)上只有一个零点.1下面考
25、虑f(x)在(a -1,+)上的情况.先证f(e a-1)=a(a-2-ea-1)e时,e xx2.设h(x)=e x-x2,则h(x)=e x-2x,再设l(x)=h(x)=e x-2x,则l(x)=e x-2.当x1时,l(x)=e x-2e-20,所以l(x)=h(x)在(1,+)上是单调增函数.故当x2时,h(x)=e x-2xh(2)=e2-40,从而h(x)在(2,+)上是单调增函数,进而当xe时,h(x)=ex-x2h(e)=ee-e20.即当xe时,e xx2.当0e时, f(e a-1)=a-1-aea-1=a(a-2-ea-1)0,且函数f(x)在a -1,ea-1上的图象
26、不间断,所以f(x)在(a -1,ea-1)上存在零点.又当xa -1时, f (x)= -a0,bR)有极值,且导函数f (x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时 对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b 23a;(3)若f(x), f (x)这两个函数的所有极值之和不小于- ,求a的取值范围.72解析 (1)由f(x)=x 3+ax2+bx+1,得f (x)=3x 2+2ax+b=3 +b- .(+3)2 23当x=- 时, f (x)有极小值b- .3 23因为f (x)的极值点是f(x)的零点,所以f =- + - +1=0,又a0,
27、故b= + .(-3) 327393 229 3因为f(x)有极值,故f (x)=0有实根,从而b- = (27-a3)0,即a3.23 19当a=3时, f (x)0(x-1),故f(x)在R上是增函数, f(x)没有极值;当a3时, f (x)=0有两个相异的实根x 1= ,x2= .- 2-33-+ 2-3319列表如下:x (-,x1)x1 (x1,x2) x2 (x2,+)f (x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 故f(x)的极值点是x 1,x2.从而a3.因此b= + ,定义域为(3,+).229 3(2)证明:由(1)知, = + .29 3设g(t)= + ,则g
28、(t)= - = .29 3 293222-2792当t 时,g(t)0,从而g(t)在 上单调递增.(362,+) (362,+)因为a3,所以a 3 , 3故g(a )g(3 )= ,即 . 3 3 3因此b 23a.(3)由(1)知, f(x)的极值点是x 1,x2,且x 1+x2=- a, + = .23 212242-69从而f(x 1)+f(x2)= +a +bx1+1+ +a +bx2+131 21 32 22= (3 +2ax1+b)+ (3 +2ax2+b)+ a( + )+ b(x1+x2)+2= - +2=0.13 2123 22 13 2122 23 43-627 49
29、记f(x), f (x)所有极值之和为h(a),因为f (x)的极值为b- =- a2+ ,23 19 3所以h(a)=- a2+ ,a3.19 3因为h(a)=- a- 0,r0).(+)2(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若 =400,求 f(x)在(0,+)内的极值.解析 (1)由题意知x-r,所求的定义域为(-,-r)(-r,+).f(x)= = ,(+)22+2+2f (x)= = ,(2+2+2)-(2+2)(2+2+2)2(-)(+)(+)4所以当xr时,f (x)0,因此,f(x)的单调递减区间为(-,-r),(r,+);f(x)的单调递增区间为(-r,r
30、).(2)由(1)的解答可知f (r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+)上单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,+)内的极大值为f(r)= = = =100.(2)244004教师用书专用(715)7.(2013福建,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,x 0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( )A.xR, f(x)f(x 0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点 D.-x0是-f(-x)的极小值点答案 D 8.(2016天津,20,14分)设函数f(x)=x 3-ax-b,xR,其中a,bR.(1)
31、求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x 0,且f(x 1)=f(x0),其中x 1x 0,求证:x 1+2x0=0;(3)设a0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间-1,1上的最大值 .不小于 14解析 (1)由f(x)=x 3-ax-b,可得f (x)=3x 2-a.下面分两种情况讨论:当a0时,有f (x)=3x 2-a0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-,+).当a0时,令f (x)=0,解得x= ,或x=- .33 33当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:21x (-,-33)-33 (- 33, 33)33 ( 33,+)f (x)
32、+ 0 - 0 +f(x) 单调递增 极大 值 单调递减 极小 值 单调递增所以f(x)的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , .(- 33, 33) (-,- 33)( 33,+)(2)证明:因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a0,且x 00.由题意,得f (x0)=3 -a=0,即 = ,进而f(x 0)= -20 203 30ax0-b=- x0-b.23又f(-2x 0)=-8 +2ax0-b=- x0+2ax0-b=- x0-b=f(x0),30 83 23且-2x 0x 0,由题意及(1)知,存在唯一实数x 1满足 f(x 1)=f(x0),且x 1x 0,因此x 1=-2x0
33、.所以x 1+2x0=0.(3)证明:设g(x)在区间-1,1上的最大值为M,maxx,y表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:当a3时,- -1f =f ,34 233 233 (-233 ) ( 33) (233 ) (- 33)所以f(x)在区间-1,1上的取值范围为f(-1), f(1),因此M=max|f(-1)|,|f(1)|=max|-1+a-b|,|1-a-b|=max|1-a+b|,|1-a-b|=1-a+|b| .14综上所述,当a0时,g(x)在区间-1,1上的最大值不小于 .149.(2014天津,19,14分)已知函数f(x)=x 2- ax3(a0),xR.2
34、3(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)若对于任意的x 1(2,+),都存在x 2(1,+),使得f(x 1)f(x2)=1.求a的取值范围.解析 (1)由已知,有f (x)=2x-2ax 2(a0).令f (x)=0,解得x=0或x= .1当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:x (-,0) 0 (0,1) 1 (1,+)f (x) - 0 + 0 -f(x) 0 132 所以, f(x)的单调递增区间是 ;单调递减区间是(-,0), .(0,1) (1,+)当x=0时, f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;当x= 时,f(x)有极大值,且极大值f = .1 (1) 1
35、32(2)由f(0)=f =0及(1)知, 当x 时, f(x)0;当x 时, f(x)2,即0 时,有f(1)0).若f(x)在-1,1上的最小值记为g(a).(1)求g(a);(2)证明:当x-1,1时,恒有f(x)g(a)+4.解析 (1)因为a0,-1x1,所以(i)当00,故f(x)在(a,1)上是增函数.所以g(a)=f(a)=a 3.(ii)当a1时,有xa,则f(x)=x 3-3x+3a, f (x)=3x2-30,知t(a)在(0,1)上是增函数,所以,t(a)0,g(1)=e-2a-b0.由f(1)=0有a+b=e-10,g(1)=1-a0,解得e-2a0, 0, f(x)
36、在(e,+)上单调递增.当x=e时, f(x)取得极小值f(e)=ln e+ =2,f(x)的极小值为2.(2)由题设知,g(x)=f (x)- = - - (x0),3123令g(x)=0,得m=- x3+x(x0).13设(x)=- x3+x(x0),13则(x)=-x 2+1=-(x-1)(x+1),当x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,+)时,(x) 时,函数g(x)无零点;23当m= 时,函数g(x)有且只有一个零点;23当0 时,函数g(x)无零点;23当m= 或m0时,函数g(x)有且只有一个零点;23当0a0, 0),(*)等价于h(x)在(0,+
37、)上单调递减.由h(x)= - -10在(0,+)上恒成立,12得m-x 2+x=- + (x0)恒成立,(-12)214m ,14(对 =14,()=0仅 在 =12时 成立 )m的取值范围是 .14,+)13.(2013广东,21,14分)设函数f(x)=x 3-kx2+x(kR).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k0, f(x)在R上单调递增.(2)当k0,即k0,31 21 21f(x)的最小值m=f(k)=k.f(x 2)-f(-k)= -k +x2-(-k3-kk2-k)32 22=(x2+k)(x2-k)2+k2+11,求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值
38、.解析 (1)当a=1时, f (x)=6x 2-12x+6,所以f (2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.f (x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f (x)=0,得到x 1=1,x2=a.当a1时,x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2af (x) + 0 - 0 +f(x) 0 单调递增极大值3a-1单调递减极小值a2(3-a)单调递增 4a3比较f(0)=0和f(a)=a 2(3-a)的大小可得g(a)=0, 13. 当a3. 15.(2013重庆,20,12分)
39、某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.解析 (1)因为蓄水池侧面的建造成本为1002rh=200rh元,底面的建造成本为160r 2元,所以蓄水池的总建造成本为(200rh+160r 2)元.所以200rh+160r 2=12 000,所以h= (300-4r2)
40、,15从而V(r)=r 2h= (300r-4r3).5因为r0,h0,所以00,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,5 )时,V(r)0,b0,d0 B.a0,b0C.a0,d0 D.a0,b0,c0,d0,则a的取值范围是( )A.(2,+) B.(1,+) C.(-,-2) D.(-,-1)答案 C 293.(2017山东,20,13分)已知函数f(x)= x3- ax2,aR.13 12(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析
41、 (1)由题意得f (x)=x 2-ax,所以当a=2时, f(3)=0, f (x)=x 2-2x,所以f (3)=3,因此,当a=2时,曲线y=f(x)在点(3, f(3)处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g(x)=f (x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x),令h(x)=x-sin x,则h(x)=1-cos x0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x0时,h(x)0;当x0,g(x)单调递增;当x(a,0)
42、时,x-a0,g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=- a3-sin a,16当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.当a=0时,g(x)=x(x-sin x),当x(-,+)时,g(x)0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-,+)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x),当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增;当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a
43、)=- a3-sin a.16综上所述:当a0时,函数g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=- a3-sin a.16304.(2017天津,19,14分)设a,bR,|a|1.已知函数f(x)=x 3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x 0,y0)处有相同的切线,(i)求证:f(x)在x=x 0处的导数等于0;(ii)若关于x的不等式g(x)e x在区间x 0-1,x0+1上恒成立,求b的取值范围.解析 (1)由f(x)=x 3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f (x)=3x 2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a).令f (x)=0,解得x=a,或x=4-a.由|a|1,得a0,可得f(x)1.又因为f(x 0)=1, f (x0)=0,故x 0为f(x)的极大值点,由(1)知x 0=a.由于|a|1,故a+10时, f(x)2a+aln .2解析 (1)f(x)的定义域为(0,+), f (x)=2e 2x- (x0).当a0时, f (x)0, f (x)没有零点;
