1、16.1 数列的概念及其表示考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型预测热度1.数列的有关概念、规律及应用了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数2016课标全国,17;2014课标,16选择题 2.数列的通项及前n项和了解递推公式的概念及数列前n项和的定义2014湖南,16;2013课标,14填空题、解答题分析解读了解数列的概念和有关的表示方法,了解数列的通项公式、递推公式,了解数列的通项公式与前n项和之间的关系,了解数列是自变量为正整数的一类函数.考查数列的有关概念和性质,培养学生的创新能力、抽象概括能力.本节内容在高考中分
2、值约为5分,属于中低档题.五年高考考点一 数列的有关概念、规律及应用1.(2014课标,16,5分)数列a n满足a n+1= ,a8=2,则a 1= .11-答案 2.(2016课标全国,17,12分)已知各项都为正数的数列a n满足a 1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0.2(1)求a 2,a3;(2)求a n的通项公式.解析 (1)由题意得a 2= ,a3= .(5分)12 14(2)由 -(2an+1-1)an-2an+1=0得2a n+1(an+1)=an(an+1).2因为a n的各项都为正数,所以 = .+1 12故a n是首项为1,公比为 的等比数列,因此a n=
3、 .(12分)12 12-13.(2014大纲全国,17,10分)数列a n满足a 1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.2(1)设b n=an+1-an,证明b n是等差数列;(2)求a n的通项公式.解析 (1)证明:由a n+2=2an+1-an+2得,an+2-an+1=an+1-an+2,即b n+1=bn+2.又b 1=a2-a1=1.所以b n是首项为1,公差为2的等差数列.(2)由(1)得b n=1+2(n-1),即a n+1-an=2n-1.于是=1(+1-)=1(2-1),所以a n+1-a1=n2,即a n+1=n2+a1.又a 1=1,所以a n的通项公式为
4、a n=n2-2n+2.考点二 数列的通项及前n项和1.(2013课标,14,5分)若数列a n的前n项和S n= an+ ,则a n的通项公式是a n= .23 13答案 (-2) n-12.(2014江西,17,12分)已知数列a n的前n项和S n= ,nN *.32-2(1)求数列a n的通项公式;(2)证明:对任意的n1,都存在mN *,使得a 1,an,am成等比数列.解析 (1)由S n= ,得a 1=S1=1,当n2时,a n=Sn-Sn-1=3n-2.32-2经验证,a 1=1符合a n=3n-2,所以数列a n的通项公式为a n=3n-2.(2)证明:要使a 1,an,am
5、成等比数列,只需要 =a1am,2即(3n-2) 2=1(3m-2),即m=3n 2-4n+2,而此时mN *,且mn,所以对任意的n1,都存在mN *,使得a 1,an,am成等比数列.3.(2014湖南,16,12分)已知数列a n的前n项和S n= ,nN *.2+2(1)求数列a n的通项公式;(2)设b n= +(-1)nan,求数列b n的前2n项和.2解析 (1)当n=1时,a 1=S1=1;3当n2时,a n=Sn-Sn-1= - =n.2+2 (-1)2+(-1)2故数列a n的通项公式为a n=n.(2)由(1)知,b n=2n+(-1)nn,记数列b n的前2n项和为T
6、2n,则T 2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n).记A=2 1+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,则A= =22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.2(1-22)1-2故数列b n的前2n项和T 2n=A+B=22n+1+n-2.教师用书专用(4)4.(2013江西,16,12分)正项数列a n满足: -(2n-1)an-2n=0.2(1)求数列a n的通项公式a n;(2)令b n= ,求数列b n的前n项和T n.1(+1)解析 (1)由 -(2n-1)an-2n=0,得(a n-2n)(an+1)=0.2由于a n是正项数
7、列,所以a n=2n.(2)由于a n=2n,bn= ,1(+1)则b n= = ,12(+1) 12(1- 1+1)所以T n= （1- + - + - + - ）12 121213 1-111 1+1= = .12(1- 1+1) 2(+1)三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 数列的有关概念、规律及应用1.(2018湖北枣阳12月模拟,2)已知数列 , ,2 , ,则2 是这个数列的( )2 5 2 11 5A.第6项 B.第7项 C.第11项 D.第19项答案 B 2.(2018山西晋中五校联考,2)现在有一列数:2, , , , , , ,按照规律,横线中的数应为( )
8、325478 13321764A. B. C. D.916 1116 12 1118答案 B 3.(2018安徽铜陵12月模拟,7)大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.是中华传4统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50,则此数列第20项为( )A.180 B.200 C.128 D.162答案 B 4.(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考,4)已知数列a n满足:m,nN *,都有a nam=an+m,
9、且a 1= ,那么a 512=( )A. B. C. D.132 116 14 12答案 A 5.(2017湖北重点高中期中联考,12)已知数列a n是递增数列,且对于任意nN *,an=n2+2n+1,则实数的取值范围是( )A.-1 B.- D.0,解得2- b5b6bn.n=4时,b n取得最大值,b 4= .128.(2016福建四地六校第三次联考,17)已知正项数列a n的前n项和为S n,且S n,an, 成等差数列.12(1)求数列a n的通项公式;(2)若b n=log2an+2,设数列 的前n项和为T n,证明 T n1.1+1 12解析 (1)由S n,an, 成等差数列,得2a n=Sn+ ,12 12当n=1时,2a 1=S1+ ,又S 1=a1,a 1= ;12 12当n2时,由S n=2an- ,得S n-1=2an-1- ,12 12两式相减得a n=2an-2an-1,a n=2an-1(n2),由a n为正项数列得a n0, =2(n2),-1因此数列a n是以 为首项,2为公比的等比数列,12故a n=2n-2.(2)证明:由(1)知b n=log2an+2=log22n-2+2=n, = = - ,1+1 1(+1) 1 1+1故T n=1- + - + - =1- ,121213 1 1+1 1+1又nN *, T n1.12
