1、16.4 数列的综合应用考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.数列的通项公式及前n项和的求法掌握数列的通项公式及求和方法2017课标全国,17;2017北京,15;2016天津,18;2015山东,19解答题 2.数列的综合应用能综合应用等差、等比数列解决相应问题2017天津,18;2016浙江,17;2016四川,19选择题、解答题分析解读综合运用数列,特别是等差数列、等比数列的有关知识,解答数列综合问题和实际问题,培养学生的理解能力、数学建模能力和运算能力.数列是特殊的函数,是高考的常选考点.历年高考考题中低、中、高档试题均有出现,需引起充分的重视.本节内容在高考中
2、分值为12分左右,属于中档题.五年高考考点一 数列的通项公式及前n项和的求法1.(2017山东,19,12分)已知a n是各项均为正数的等比数列,且a 1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列a n的通项公式;(2)bn为各项非零的等差数列,其前n项和为S n.已知S 2n+1=bnbn+1,求数列 的前n项和T n.解析 (1)设a n的公比为q,由题意知:a 1(1+q)=6, q=a1q2,21又a n0,解得a 1=2,q=2,所以a n=2n.(2)由题意知:S 2n+1= =(2n+1)bn+1,(2+1)(1+2+1)2又S 2n+1=bnbn+1,bn+10,所以b n=2n
3、+1.令c n= ,则c n= .2+122因此T n=c1+c2+cn= + + + + ,32 522723 2-12-1 2+12又 Tn= + + + + ,12 322523724 2-12 2+12+1两式相减得 Tn= + - ,12 32(12+122+ 12-1) 2+12+1所以T n=5- .2+522.(2017北京,15,13分)已知等差数列a n和等比数列b n满足a 1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求a n的通项公式;(2)求和:b 1+b3+b5+b2n-1.解析 (1)设等差数列a n的公差为d.因为a 2+a4=10,所以2a 1+4d
4、=10.解得d=2.所以a n=2n-1.(2)设等比数列b n的公比为q.因为b 2b4=a5,所以b 1qb1q3=9.解得q 2=3.所以b 2n-1=b1q2n-2=3n-1.从而b 1+b3+b5+b2n-1=1+3+32+3n-1= .3-123.(2016天津,18,13分)已知a n是等比数列,前n项和为S n(nN *),且 - = ,S6=63.111223(1)求a n的通项公式;(2)若对任意的nN *,bn是log 2an和log 2an+1的等差中项,求数列(-1) n 的前2n项和.2解析 (1)设数列a n的公比为q.由已知,有 - = ,解得q=2,或q=-1
5、.1111212又由S 6=a1 =63,知q-1,所以a 1 =63,得a 1=1.所以a n=2n-1.1-61- 1-261-2(2)由题意,得b n= (log2an+log2an+1)= (log22n-1+log22n)=n- ,12 12 12即b n是首项为 ,公差为1的等差数列.12设数列(-1) n 的前n项和为 Tn,则23T2n=(- + )+(- + )+(- + )2122 2324 22-122=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n= =2n2.2(1+2)24.(2014课标,17,12分)已知a n是递增的等差数列,a 2,a4是方程x 2-5x+6=0
6、的根.(1)求a n的通项公式;(2)求数列 的前n项和.2解析 (1)方程x 2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a 2=2,a4=3.设数列a n的公差为d,则a 4-a2=2d,故d= ,从而a 1= .12 32所以a n的通项公式为a n= n+1.12(2)设 的前n项和为S n,由(1)知 = ,则22+22+1Sn= + + + ,322423+12+22+1Sn= + + + .12 323424 +12+1+22+2两式相减得 Sn= + -12 34(123+ 12+1) +22+2= + - .3414(1- 12-1) +22+2所以S n=2- .+42+1教师
7、用书专用(513)5.(2015湖北,19,12分)设等差数列a n的公差为d,前n项和为S n,等比数列b n的公比为q.已知b 1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列a n,bn的通项公式;(2)当d1时,记c n= ,求数列c n的前n项和T n.解析 (1)由题意有, 即101+45=100,1=2, 21+9=20,1=2, 4解得 或 故 或1=1,=2, 1=9,=29. =2-1,=2-1, =19(2+79),=9(29)-1. (2)由d1,知a n=2n-1,bn=2n-1,故c n= ,2-12-1于是T n=1+ + + + + ,32 522723
8、924 2-12-1Tn= + + + + + .12 12 322523724925 2-12-可得Tn=2+ + + - =3- ,12 12 122 12-22-12 2+32故T n=6- .2+32-16.(2015安徽,18,12分)已知数列a n是递增的等比数列,且a 1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列a n的通项公式;(2)设S n为数列a n的前n项和,b n= ,求数列b n的前n项和T n.+1+1解析 (1)由题设知a 1a4=a2a3=8,又a 1+a4=9,可解得 或 (舍去).1=1,4=8 1=8,4=1由a 4=a1q3得公比为q=2,故a n=a1qn
9、-1=2n-1.(2)Sn= =2n-1,又b n= = = - ,1(1-)1-+1+1+1-+1 1 1+1所以T n=b1+b2+bn= + + = -(11-12) (12-13) (1- 1+1)111+1=1- .12+1-17.(2015山东,19,12分)已知数列a n是首项为正数的等差数列,数列 的前n项和为 .1+1 2+1(1)求数列a n的通项公式;(2)设b n=(an+1) ,求数列b n的前n项和T n.25解析 (1)设数列a n的公差为d.令n=1,得 = ,11213所以a 1a2=3.令n=2,得 + = ,11212325所以a 2a3=15.解得a 1
10、=1,d=2,所以a n=2n-1.(2)由(1)知b n=2n22n-1=n4n,所以T n=141+242+n4n,所以4T n=142+243+n4n+1,两式相减,得-3T n=41+42+4n-n4n+1= -n4n+14(1-4)1-4= 4n+1- .1-33 43所以T n= 4n+1+ = .3-19 494+(3-1)4+198.(2014湖北,19,12分)已知等差数列a n满足:a 1=2,且a 1,a2,a5成等比数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)记S n为数列a n的前n项和,是否存在正整数n,使得S n60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理
11、由.解析 (1)设数列a n的公差为d,依题意,得2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d) 2=2(2+4d),化简得d 2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,a n=2;当d=4时,a n=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列a n的通项公式为a n=2或a n=4n-2.(2)当a n=2时,S n=2n.显然2n60n+800成立.当a n=4n-2时,S n= =2n2.2+(4-2)2令2n 260n+800,即n 2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当a n=2时,不存在满足题意的n;6当a n=4n-2时,存在满足题意的
12、n,其最小值为41.9.(2014安徽,18,12分)数列a n满足a 1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN *.(1)证明:数列 是等差数列;(2)设b n=3n ,求数列b n的前n项和S n.解析 (1)证明:由已知可得 = +1,即 - =1.+1+1+1+1所以 是以 =1为首项,1为公差的等差数列. 11(2)由(1)得 =1+(n-1)1=n,所以a n=n2.从而b n=n3n.S n=131+232+333+n3n,3Sn=132+233+(n-1)3n+n3n+1.-得-2S n=31+32+3n-n3n+1= -n3n+1= .3(1-3)1-3 (1-
13、2)3+1-32所以S n= .(2-1)3+1+3410.(2014山东,19,12分)在等差数列a n中,已知公差d=2,a 2是a 1与a 4的等比中项.(1)求数列a n的通项公式;(2)设b n= ,记T n=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求T n.(+1)2解析 (1)由题意知(a 1+d)2=a1(a1+3d),即(a 1+2)2=a1(a1+6),解得a 1=2,所以数列a n的通项公式为a n=2n.(2)由题意知b n= =n(n+1).(+1)2所以b n+1-bn=2(n+1),所以当n为偶数时,Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+(-bn-1+bn
14、)=4+8+12+2n=2(4+2)27= ,(+2)2当n为奇数时,若n=1,则T 1=-b1=-2,若n1,则T n=Tn-1+(-bn)= -n(n+1)(-1)(+1)2=- ,(+1)22n=1时,满足上式.所以T n=-(+1)22 ,为 奇数 ,(+2)2 ,为 偶数 .11.(2013重庆,16,13分)设数列a n满足:a 1=1,an+1=3an,nN +.(1)求a n的通项公式及前n项和S n;(2)已知b n是等差数列,T n为其前n项和,且b 1=a2,b3=a1+a2+a3,求T 20.解析 (1)由题设知a n是首项为1,公比为3的等比数列,所以a n=3n-1
15、,Sn= = (3n-1).1-31-3 12(2)b1=a2=3,b3=1+3+9=13,b3-b1=10=2d,所以公差d=5,故T 20=203+ 5=1 010.2019212.(2013安徽,19,13分)设数列a n满足a 1=2,a2+a4=8,且对任意nN *,函数f(x)=(a n-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x满足f =0.(2)(1)求数列a n的通项公式;(2)若b n=2 ,求数列b n的前n项和S n.(+12)解析 (1)由题设可得, f (x)=a n-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x.对任意nN *,f
16、 =an-an+1+an+2-an+1=0,(2)即a n+1-an=an+2-an+1,故a n为等差数列.由a 1=2,a2+a4=8,解得a n的公差d=1,所以a n=2+1(n-1)=n+1.(2)由b n=2 =2 =2n+ +2知,(+12) (+1+ 12+1) 128Sn=b1+b2+bn=2n+2 + =n2+3n+1- .(+1)2121-(12)1-12 1213.(2013湖南,19,13分)设S n为数列a n的前n项和,已知a 10,2a n-a1=S1Sn,nN *.(1)求a 1,a2,并求数列a n的通项公式;(2)求数列na n的前n项和.解析 (1)令n
17、=1,得2a 1-a1= ,即a 1= .21 21因为a 10,所以a 1=1.令n=2,得2a 2-1=S2=1+a2.解得a 2=2.当n2时,2a n-1=Sn,2an-1-1=Sn-1,两式相减得2a n-2an-1=an.即a n=2an-1.于是数列a n是首项为1,公比为2的等比数列.因此,a n=2n-1.所以数列a n的通项公式为a n=2n-1.(2)由(1)知na n=n2n-1.记数列n2 n-1的前n项和为B n,于是Bn=1+22+322+n2n-1,2Bn=12+222+323+n2n.-得-B n=1+2+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n.从而B n=
18、1+(n-1)2n.考点二 数列的综合应用1.(2017天津,18,13分)已知a n为等差数列,前n项和为S n(nN *),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求a n和b n的通项公式;(2)求数列a 2nbn的前n项和(nN *).解析 (1)设等差数列a n的公差为d,等比数列b n的公比为q.由已知b 2+b3=12,得b 1(q+q2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q0,解得q=2.所以,b n=2n.由b 3=a4-2a1,可得3d-a 1=8.由S 11=11b4,可得a 1+5d=16
19、,9联立,解得a 1=1,d=3,由此可得a n=3n-2.所以,a n的通项公式为a n=3n-2,bn的通项公式为b n=2n.(2)设数列a 2nbn的前n项和为T n,由a 2n=6n-2,有T n=42+1022+1623+(6n-2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1,上述两式相减,得-Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1= -4-(6n-2)2n+112(1-2)1-2=-(3n-4)2n+2-16.得T n=(3n-4)2n+2+16.所以,数列a 2nbn的前n项和为(3n-4)2 n+2+16.2.(2016
20、浙江,17,15分)设数列a n的前n项和为S n.已知S 2=4,an+1=2Sn+1,nN *.(1)求通项公式a n;(2)求数列|a n-n-2|的前n项和.解析 (1)由题意得 则1+2=4,2=21+1, 1=1,2=3.又当n2时,由a n+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得a n+1=3an.又因为a 2=3=3a1,所以数列a n是首项为1,公比为3的等比数列.所以,数列a n的通项公式为a n=3n-1,nN *.(2)设b n=|3n-1-n-2|,nN *,则b 1=2,b2=1.当n3时,由于3 n-1n+2,故b n=3n-1-n-2,n3.设
21、数列b n的前n项和为T n,则T 1=2,T2=3.当n3时,T n=3+ - = ,9(1-3-2)1-3 (+7)(-2)2 3-2-5+112经检验,n=2时也符合.所以T n=2, =1,3-2-5+112 ,2,*.3.(2016四川,19,12分)已知数列a n的首项为1,S n为数列a n的前n项和,S n+1=qSn+1,其中q0,nN *.(1)若a 2,a3,a2+a3成等差数列,求数列a n的通项公式;(2)设双曲线x 2- =1的离心率为e n,且e 2=2,求 + + .22 2122 210解析 (1)由已知,S n+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式
22、相减得到a n+2=qan+1,n1.又由S 2=qS1+1得到a 2=qa1,故a n+1=qan对所有n1都成立.所以,数列a n是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=qn-1.由a 2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a 3=a2+a2+a3,所以a 3=2a2,故q=2.所以a n=2n-1(nN *).(2)由(1)可知,a n=qn-1.所以双曲线x 2- =1的离心率e n= = .22 1+2 1+2(-1)由e 2= =2解得q= .1+2 3所以, + +2122 2=(1+1)+(1+q2)+1+q2(n-1)=n+1+q2+q2(n-1)=n+2-12-1=n+
23、 (3n-1).124.(2015天津,18,13分)已知a n是各项均为正数的等比数列,b n是等差数列,且a 1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求a n和b n的通项公式;(2)设c n=anbn,nN *,求数列c n的前n项和.解析 (1)设数列a n的公比为q,数列b n的公差为d,由题意知q0.由已知,有 消去d,整理得q 4-22-3=2,4-3=10,2q2-8=0.又因为q0,解得q=2,所以d=2.所以数列a n的通项公式为a n=2n-1,nN *;数列b n的通项公式为b n=2n-1,nN *.(2)由(1)有c n=(2n-1)2n-1,设c
24、 n的前n项和为S n,则Sn=120+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,上述两式相减,得-S n=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3,所以,S n=(2n-3)2n+3,nN *.11教师用书专用(59)5.(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列a n满足:a n-k+an-k+1+an-1+an+1+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(nk)总成立,则称数列a n是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列a
25、 n是“P(3)数列”;(2)若数列a n既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:a n是等差数列.证明 (1)证明:因为a n是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n4时,a n-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以a n-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差数列a n是“P(3)数列”.(2)数列a n既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n3时,a n-2+an-1+an+1+an+2=4an,当n4时,a n-3+an-2+a
26、n-1+an+1+an+2+an+3=6an.由知,a n-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).将代入,得a n-1+an+1=2an,其中n4,所以a 3,a4,a5,是等差数列,设其公差为d.在中,取n=4,则a 2+a3+a5+a6=4a4,所以a 2=a3-d,在中,取n=3,则a 1+a2+a4+a5=4a3,所以a 1=a3-2d,所以数列a n是等差数列.6.(2015浙江,17,15分)已知数列a n和b n满足a 1=2,b1=1,an+1=2an(nN *),b1+ b2+ b3+ bn=bn+1-1(nN *)
27、.12 13 1(1)求a n与b n;(2)记数列a nbn的前n项和为T n,求T n.解析 (1)由a 1=2,an+1=2an,得a n=2n(nN *).由题意知,当n=1时,b 1=b2-1,故b 2=2.当n2时, bn=bn+1-bn,整理得 = ,1 +1+1所以b n=n(nN *).(2)由(1)知a nbn=n2n,因此T n=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+324+n2n+1,所以T n-2Tn=2+22+23+2n-n2n+1.12故T n=(n-1)2n+1+2(nN *).7.(2014广东,19,14分)设各项均为正数的数列a n的前n项和为
28、S n,且S n满足 -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,nN *.2(1)求a 1的值;(2)求数列a n的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有 + + 0,a 1=2.(2)由 -(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,2得S n-(n2+n)(Sn+3)=0,又a n0,所以S n+30,所以S n=n2+n,所以当n2时,a n=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+n-1=2n,又由(1)知,a 1=2,符合上式,所以a n=2n.(3)证明:由(2)知, = ,1(+1) 12(2+1)所以 + +11(1+1)12(2+1)1(+1)= + +123 145 12
29、(2+1)a1+3,a4n)都成立的是( )|sin1|2 |sin2|22 |sin|2A.am-an1212C.am-an12 -2答案 A 二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2017江西南昌模拟,14)已知数列a n的通项为a n=(-1)n(4n-3),则数列a n的前50项和T 50= .答案 1004.(2016安徽皖江名校联考,16)数列a n满足:a 1= ,且a n+1= (nN *),则 + + + = .43 4(+1)3+ 11 22 33 2 0162 016答案 +6 0473 1342 016三、解答题(每小题15分,共60分)5.(2018福建福州八校联考
30、,17)已知公差不为0的等差数列a n的前三项和为6,且a 2,a4,a8成等比数列.(1)求数列a n的通项公式;(2)设b n= ,数列b n的前n项和为S n,求使S nan(nN *),a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,a n+2log2bn=-1.(1)分别求数列a n,bn的通项公式;(2)求数列a nbn的前n项和T n.解析 (1)设d为等差数列a n的公差,则d0,由a 1=1,a2=1+d,a3=1+2d分别加上1,1,3后成等比数列,得(2+d) 2=2(4+2d),解得d=2(舍负),所以a n=1+(n-1)2=2n-1,又因为a n+2log2bn=-1,所以log 2bn=-n,则b n= .12(2)由(1)知a nbn=(2n-1) ,12则T n= + + + ,1213225232-12Tn= + + + ,12 122323524 2-12+1-,得 Tn= +2 - .12 12 (122+123+124+12) 2-12+1 Tn= +2 - ,12 1214(1- 12-1)1-12 2-12+1T n=1+2- - =3- =3- .22-12-124+2-123+22
