1、1第十二章 推理与证明考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.合情推理与演绎推理1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行简单的推理3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异2017课标全国,9;2017北京,14;2016课标全国,16;2016北京,8;2016山东,122.直接证明与间接证明1.了解直接证明的两种基本方法:分析法与综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点2.了解间接证明的一种基本方法:反证法;了解反证法的思考过程、特点2016江苏,20;
2、2014山东,4;2013湖北,20选择题、填空题、解答题分析解读本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.2五年高考考点一 合情推理与演绎推理1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个
3、阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远(单位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位:次)63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛答案 B 2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
4、(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.3若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ;该小组人数的最小值为 .答案 6 123.(2016课标全国,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .答案 1和34.(2016山东,12,5分)观察下列等式:+ = 12;(sin3)-2(sin23)-243+ + + = 23
5、;(sin5)-2(sin25)-2(sin35)-2(sin45)-243+ + + = 34;(sin7)-2(sin27)-2(sin37)-2 (sin67)-243+ + + = 45;(sin9)-2(sin29)-2(sin39)-2 (sin89)-243照此规律,+ + + = .(sin2+1)-2(sin22+1)-2(sin32+1)-2 (sin22+1)-2答案 4(+1)35.(2015陕西,16,5分)观察下列等式1- =12121- + - = +12131413141- + - + - = + +1213141516141516据此规律,第n个等式可为 .答
6、案 1- + - + - = + +121314 12-1 12 1+1 1+2 126.(2014课标,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 .4答案 A教师用书专用(711)7.(2014福建,16,4分)已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系:a2;b=2;c0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 .答案 2018.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形
7、的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是 ;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答).答案 (1)3,1,6 (2)799.(2013陕西,13,5分)观察下列等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此规律,第n个等式可为 .答案 (n+1)(n+2)(n+n)=2 n
8、13(2n-1)10.(2014江西,21,14分)将连续正整数1,2,n(nN *)从小到大排列构成一个数 ,F(n)为这个数的位数123(如n=12时,此数为123 456 789 101 112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n2 014时,求F(n)的表达式;(3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-5g(n),S=n|h(n)=1,n100,nN *,求当nS时p(n)的最大值.解析 (1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0
9、的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)= .11192(2)F(n)=1n9,2-,38,4 07,2 04. (3)当n=b(1b9,bN *)时,g(n)=0;当n=10k+b(1k9,0b9,kN *,bN)时,g(n)=k;当n=100时,g(n)=11,即g(n)= 0, 19,=10+,19,09,*,11,=100. 同理有f(n)=0, 18,=10+-1,18,09,*,-80,8998,20,=99,100. 由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以当n100时,S=9,19,29,39,49,59
10、,69,79,89,90.当n=9时,p(9)=0;当n=90时,p(90)= = = ;(90)(90) 9171119当n=10k+9(1k8,kN *)时,p(n)= = = ,由于y= 关于k单调递增,故当n=10k+9(1k8,()() 2-9 20+9 20+9kN *)时,p(n)的最大值为p(89)= .8169又 0.12 (+1)(-1)2+(1-2-)(-2+1)2或令g(a)=a 3-2a2-2a+2,g(a)=3a2-4a-2=3 ,(-2- 103 )(-2+ 103 )因a(0,1),g(a)0,13,12 (12)58故对于任意a ,g(a)=a3-2a2-2a
11、+20,13,12S(a)= 0.12 (3-22-2+2)(-2+1)2则S(a)在区间 上单调递增,13,12故S(a)在区间 上的最小值为S = ,最大值为S = .13,12 (13) 133 (12) 120考点二 直接证明与间接证明1.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x 3+ax+b=0没有实根B.方程x 3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x 3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x 3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A 2.(2013四川,10,5分)设函数f(x)= (aR
12、,e为自然对数的底数).若存在b0,1使f(f(b)=b成立,+-则a的取值范围是( )8A.1,e B.1,1+eC.e,1+e D.0,1答案 A 3.(2016江苏,20,16分)记U=1,2,100.对数列a n(nN *)和U的子集T,若T=,定义S T=0;若T=t 1,t2,tk,定义S T= + + .例如:T=1,3,66时,S T=a1+a3+a66.现设a n(nN *)是公比为3的等比数列,且当T=2,12 4时,S T=30.(1)求数列a n的通项公式;(2)对任意正整数k(1k100),若T1,2,k,求证:S T0,nN *,所以S Ta 1+a2+ak=1+3
13、+3k-1= (3k-1)0,d3-d10,故V 估 2时,(x+1)(x-1)0,f (x)=-3(x+1)(x-1)0(i=1,2,3,n),观察下列不等式: ;1+22 12 ;1+2+33 3123 ;1+2+3+44 41234照此规律,当nN *,n2时, .1+2+答案 12三、解答题(共15分)144.(2017湖北华中师大一附中期中模拟,21)已知函数f(x)=ln x+ .(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=2时,函数f(x)满足f(x 1)=f(x2)(x1x 2),求证x 1+x24.(参考公式 :ln(-)= 1-,为 常数 )解析 (1)f(x)=ln x+
14、 ,f (x)= - = ,x0, 12-2当a0时, f (x)0总成立;当a0时,令f (x)=0,得x=a.当x(0,a)时, f (x)0.综上所述,当a0时, f(x)在(0,+)上单调递增;当a0时, f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增.(2)当a=2时, f(x)=ln x+ .不妨令 x1x10,2要证明x 1+x24,即证x 24-x1.由(1)知f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,则02,只需证f(x 2)f(4-x1),又f(x 1)=f(x2),即证f(x 1)f(4-x1).设g(x)=f(x)-f(4-x)(0g(2)=0,所
15、以f(x)f(4-x)(0f(4-x1).所以x 1+x24.C组 20162018年模拟方法题组方法1 合情推理与演绎推理1.(2018广东肇庆一模,14)观察下列不等式:1+ ,1+ + ,1+ + + ,照此规律,第五个不等式为 122321221325312213214274.答案 1+ + + + + 1221321421521621162.(2017上海浦东期中联考,12)在RtABC中,两直角边长分别为a、b,设h为斜边上的高,则 = + ,由此类比121212:三棱锥P-ABC中的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,且长度分别为a、b、c,设棱锥底面ABC上的高为h,则 15.答
16、案 = + +12121212方法2 直接证明的方法3.(2017皖南八校联考,17)已知等差数列a n的前n项和为S n,bn= ,且a 2b2= ,S5= .1 58 352(1)求数列a n,bn的通项公式;(2)求证:b 1+b2+bn .32解析 (1)设a n的公差为d.b n= ,a2b2= ,S5= ,1 58 352 解得(1+) 121+=58,51+542 =352, 1=32,=1.a n=n+ ,Sn= ,b n= .12 (+2)2 2(+2)(2)证明:b 1+b2+bn= + + +213 224 235 2(+2)=1- + - + - + - + - = - - .1312141315 1-1 1+11 1+232 1+1 1+232
