1、1第十五章 坐标系与参数方程命题探究解答过程(1)曲线C的普通方程为+y 2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离d=.当a-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8;当a0),M的极坐标为( 1,)( 10).由题设知|OP|=,|OM|= 1=.由|OM|OP|=16得C 2的极坐标方程=4cos (0).因此C 2的直角坐标方程为(x-2) 2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为( B,)( B0).由题设知|OA|=2, B=4
2、cos ,于是OAB面积S=|OA| BsinAOB=4cos =22+.当=-时,S取得最大值2+.所以OAB面积的最大值为2+.4.(2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6) 2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.解析 (1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程 2+12cos +11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R).(4分)设A,B所对应的极径分别为 1, 2,将l
3、的极坐标方程代入C的极坐标方程得 2+12cos +11=0.于是 1+ 2=-12cos , 1 2=11.(6分)|AB|=| 1- 2|=.(8分)由|AB|=得cos 2=,tan =.(9分)所以l的斜率为或-.(10分)5.(2015课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 1,C2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为=(R),设C 2与C 3的交点为M,N,求C 2MN的面积.解析 (1)因为x=cos ,y=sin ,
4、所以C 1的极坐标方程为cos =-2,C 2的极坐标方程为 2-2cos -4sin +4=0.(5分)(2)将=代入 2-2cos -4sin +4=0,得 2-3+4=0,解得 1=2, 2=.故 1- 2=,即|MN|=.由于C 2的半径为1,所以C 2MN的面积为.(10分)教师用书专用(621)36.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是=4cos ,则直线l被圆C截得的弦长为( )A. B.2C. D.2答案 D7.(2014江西,11(2),5
5、分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0x1)的极坐标方程为( )A.=,0 B.=,0C.=cos +sin ,0 D.=cos +sin ,0答案 A8.(2013安徽,7,5分)在极坐标系中,圆=2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A.=0(R)和cos =2 B.=(R)和cos =2C.=(R)和cos =1 D.=0(R)和cos =1答案 B9.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线cos -sin -1=0与圆=2cos 交于A,B两点,则|AB|= . 答案 210.(2015湖南,1
6、2,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为=2sin ,则曲线C的直角坐标方程为 . 答案 x 2+y2-2y=011.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为(cos +sin )=-2,曲线C 2的参数方程为(t为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为 . 答案 (2,-4)12.(2014湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(为参数)交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x
7、轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 . 答案 cos=113.(2014重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin 2-4cos =0(0,0b0),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为sin=m(m为非零常数)与=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为 . 答案 18.(2013广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为
8、l.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为 . 答案 cos +sin =219.(2014辽宁,23,10分)选修44:坐标系与参数方程将圆x 2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P 1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解析 (1)设(x 1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得由+=1得x 2+=1,即曲线C的方程为x 2+=1.故C的参数方程为(t为参数).
9、(2)由解得或不妨设P 1(1,0),P2(0,2),则线段P 1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2cos -4sin =-3,即=.20.(2013课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为=2sin .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(0,00),直线l:cos=4,C与l有且只有一个公共点.(1)求a的值;(2)若O为极点,A,B为曲线C上的两点,且AOB=,求|OA|
10、+|OB|的最大值.解析 (1)曲线C的直角坐标方程为(x-2a) 2+y2=4a2(a0),曲线C表示以(2a,0)为圆心,2a为半径的圆.l的直角坐标方程为x+y-8=0.由题意知直线l与圆C相切,则=2a,解得a=(舍负).8(2)不妨设A的极角为,B的极角为+,则|OA|+|OB|=cos +cos=8cos -sin =cos,所以当=-时,|OA|+|OB|取得最大值,为.考点二 参数方程5.(2018四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:(t为参数),曲线C的极坐标方程是 2-6cos +1=0,l与C相交于A、
11、B两点.(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;(2)已知M(0,-1),求|MA|MB|的值.解析 (1)直线l的参数方程为(t为参数),转化为直角坐标方程为x-y-1=0.曲线C的极坐标方程是 2-6cos +1=0,转化为直角坐标方程为x 2+y2-6x+1=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x 2+y2-6x+1=0,得到t 2-4t+2=0,A点对应的参数为t 1,B点对应的参数为t 2,则|MA|MB|=|t 1t2|=2.6.(2018广东茂名模拟,22)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为
12、=asin (a0).(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍,求a的值.解析 (1)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t,可得4x+3y-8=0.由圆C的极坐标方程为=asin (a0),可得 2=asin ,根据sin =y, 2=x2+y2,可得圆C的直角坐标方程为x 2+y2-ay=0,即x 2+=.(2)由(1)可知圆C的圆心为,半径r=,直线方程为4x+3y-8=0,圆心到直线l的距离d=,直线l截圆C的弦长为=2,解得a=32或a=,故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时,a的值为32或.7.(2017河北石家庄二中
13、3月模拟,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C 1和C 2的参数方程分别是(t是参数)和(为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程;(2)射线OM:=与曲线C 1的交点为O,P,与曲线C 2的交点为O,Q,求|OP|OQ|的最大值.解析 (1)C 1的普通方程为y 2=4x,C2的极坐标方程为=2sin .(2)由(1)可得C 1的极坐标方程为sin 2=4cos ,与直线=联立可得:=,即OP=,同理可得OQ=2sin .所以|OP|OQ|=,令f()=,易知f()在上单调递减,所以(|OP|OQ|) max=8.B组
14、20162018年模拟提升题组(满分:40分 时间:35分钟)解答题(共40分)1.(2018辽宁鞍山一模,22)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C 1:+=1,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线l:(2cos -sin )=6.(1)试写出直线l的直角坐标方程和曲线C 1的参数方程;(2)在曲线C 1上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值.解析 (1)曲线C 1:+=1,9设为参数,令x=cos ,y=2sin ,则曲线C 1的参数方程为(为参数).又直线l:(2cos -sin )=6,即2cos -sin -6=
15、0,化为直角坐标方程是2x-y-6=0.(2)设P(cos ,2sin ),则P到直线l的距离d=,cos=-1,即P时,点P到直线l的距离最大,最大值为=2.2.(2018四川绵阳模拟,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)设l 1:=,l 2:=,若l 1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求AOB的面积.解析 (1)曲线C的参数方程是(为参数),将C的参数方程化为普通方程为(x-3) 2+(y-4)2=25,即x 2+y2-6x-8y=0.(2分)C的极坐标方程为=6cos +
16、8sin .(4分)(2)把=代入=6cos +8sin ,得 1=4+3,A.(6分)把=代入=6cos +8sin ,得 2=3+4,B.(8分)S AOB = 1 2sinAOB=(4+3)(3+4)sin=12+.(10分)3.(2017福建泉州二模,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的方程为=4cos .(1)求l的普通方程和圆C的直角坐标方程;(2)当(0,)时,l与C相交于P,Q两点,求|PQ|的最小值.解析 (1)由直线l的参数方程(t为参数),消去参数t,得(x-3)sin -(y-1)co
17、s =0,即直线l的普通方程为xsin -ycos +cos -3sin =0.由圆C的极坐标方程=4cos ,得 2-4cos =0(*).将代入(*)得,x 2+y2-4x=0.即圆C的直角坐标方程为(x-2) 2+y2=4.(2)将直线l的参数方程代入(x-2) 2+y2=4,得t 2+2(cos +sin )t-2=0.设P,Q两点对应的参数分别为t 1,t2,则t 1+t2=-2(cos +sin ),t 1t2=-2.所以|PQ|=|t 1-t2|=2=2,因为(0,),所以2(0,2),所以当=,即sin 2=-1时,|PQ|取得最小值2.4.(2017河南洛阳一模,22)在直角
18、坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的普通方程;10(2)直线l的极坐标方程是2sin =5,射线OM:=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解析 (1)因为圆C的参数方程为(为参数),所以圆心C的坐标为(0,2),半径为2,圆C的普通方程为x 2+(y-2)2=4.(2)将x=cos ,y=sin 代入x 2+(y-2)2=4,得圆C的极坐标方程为=4sin .设P( 1, 1),则由解得 1=2, 1=.设Q( 2, 2),则由解得 2=5, 2=.所以|PQ|=3.C组 20162018年模拟方法题组
19、方法1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2018四川德阳模拟,22)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C的参数方程为(为参数),直线l过点(-1,0),且斜率为,射线OM的极坐标方程为=.(1)求曲线C和直线l的极坐标方程;(2)已知射线OM与曲线C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解析 (1)曲线C的参数方程为(为参数),曲线C的普通方程为(x+1) 2+(y-1)2=2,将x=cos ,y=sin 代入整理得+2cos -2sin =0,即曲线C的极坐标方程为=2sin.直线l过点(-1,0),且斜
20、率为,直线l的方程为y=(x+1),直线l的极坐标方程为cos -2sin +1=0.(2)当=时,|OP|=2sin=2,|OQ|=,故线段PQ的长为2-=.2.(2018四川凉山州模拟,22)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为=6sin .(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A,B,求证:|PA|PB|为定值.解析 (1)圆C的方程为=6sin ,转化为直角坐标方程为x 2+y2-6y=0.(2)证明:点P(1,2),圆C与直线l交
21、于点A,B,把直线l的参数方程(t为参数)代入x 2+y2-6y=0中,整理得t 2+2(cos -sin )t-7=0,设t 1和t 2分别为A和B对应的参数,则t 1t2=-7(定值),故|PA|PB|=|t 1t2|=7为定值.3.(2017山西太原一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C 1的参数方程为其中为参数,曲线C 2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:=(0)与曲线C 1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C 1,C2的极坐标方程;(2)当00.设A,B两点对应的参数分别为t 1,t2,则t 1+t2=-0,所以t 1
22、0,t20,所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t2|=.6.(2017湖南长郡中学六模,22)已知曲线C 1:(t为参数),C 2:(为参数).(1)化C 1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C 1上的点P对应的参数为t=,Q为C 2上的动点,求PQ的中点M到直线C 3:(t为参数)距离的最小值.解析 (1)C 1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:+=1,C1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆,C 2表示中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)当t=时,P(-4,4),又Q(8cos ,3sin ),故M,又C 3的普通方程为x-2y-7=0,则M到C 3的距离d=|4cos -3sin -13|=|3sin -4cos +13|=|5(sin -)+13| 其中满足tan = ,所以d的最小值为.
