1、1中档大题分类练(二) 数列(建议用时：60 分钟)1(2018海南省二模)已知数列 an是公差为 1 的等差数列，且 a4， a6， a9成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn(2) an(1) nan，求数列 bn的前 2n 项和解 (1)因为 a4， a6， a9成等比数列，所以 a a4a9，又因为数列 an是公差为 126的等差数列， a6 a15， a4 a13， a9 a18，所以( a15) 2( a13)( a18)，解得 a11，所以 an a1( n1) d n.(2)由(1)可知 an n，因为 bn(2) an(1) nan，所以 bn(2) n(1)
2、 nn.所以 S2n2(2) 2(2) 2n(123452 n) n n . 2 22n21 2 22n 1 23【教师备选】(2017全国卷)设数列 an满足 a13 a2(2 n1) an2 n.(1)求 an的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和an2n 1解 (1)因为 a13 a2(2 n1) an2 n，故当 n2 时，a13 a2(2 n3) an1 2( n1)，两式相减得(2 n1) an2，所以 an (n2)22n 1又由题设可得 a12，满足上式，所以 an的通项公式为 an .22n 1(2)记 的前 n 项和为 Sn.an2n 1由(1)知 ，an2n 1 2 2
3、n 1 2n 1 12n 1 12n 1则 Sn .(11 13) (13 15) 12n 1 12n 1 2n2n 12设 Sn为数列 an的前 n 项和，已知 a37， an2 an1 a22( n2)(1)证明： an1为等比数列；(2)求 an的通项公式，并判断 n， an， Sn是否成等差数列？解 (1)证明： a37， a33 a22， a23，2 an2 an1 1， a11， 2( n2)，an 1an 1 1 2an 1 2an 1 1 an1是首项为 2，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知， an12 n， an2 n1， Sn n2 n1 n2，2 2n 11 2 n
4、 Sn2 an n2 n1 n22(2 n1)0， n Sn2 an，即 n， an， Sn成等差数列【教师备选】已知数列 an满足： a11， an1 an .n 1n n 12n(1)设 bn ，求数列 bn的通项公式；ann(2)求数列 an的前 n 项和 Sn.解 (1)由 an1 an 可得 .n 1n n 12n an 1n 1 ann 12n又 bn ， bn1 bn ，由 a11，得 b11，ann 12n累加法可得：( b2 b1)( b3 b2)( bn bn1 ) ，121 122 12n 1化简并代入 b11 得： bn2 .12n 1(2)由(1)可知 an2 n ，
5、设数列 的前 n 项和为 Tn，n2n 1 n2n 1则 Tn ，120 221 322 n2n 1Tn ，12 121 222 323 n2nTn 12 120 121 122 12n 1 n2n120 12n1 12 n2n2 ，n 22n Tn4 .n 22n 1 Sn n(n1) 4.n 22n 13设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 4Sn a 4 n1， nN *，且2n 13a2， a5， a14构成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)证明：对一切正整数 n，有 .1a1a2 1a2a3 1anan 1 12解 (1)当 n2 时，4 Sn1 a 4(
6、 n1)1，2n4an4 Sn4 Sn1 a a 4，2n 1 2na a 4 an4( an2) 2，2n 1 2n an0， an1 an2，当 n2 时， an是公差 d2 的等差数列 a2， a5， a14构成等比数列， a a2a14，( a26) 2 a2(a224)，解得 a23，当25n1 时，4 a1 a 54， a11， a2 a1312，2 an是首项 a11，公差 d2 的等差数列数列 an的通项公式为 an2 n1.(2) 1a1a2 1a2a3 1anan 1 113 135 157 1 2n 1 2n 1 12 (1 13) (13 15) (15 17) ( 1
7、2n 1 12n 1) .12 (1 12n 1) 124已知数列 an为等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 Sn 4n3 1( R)(1)求 an的通项公式；(2)设 bnlog 2 1，求数列 的前 n 项和 Tn.(Sn12) 3bn4an解 (1)由 Sn 4n3 1，得 Sn1 4n1 3 1( x2) an Sn Sn1 3 4n1当 n1 时， a1 S1 1， 4. an是以 1 为首项，4 为公比的等比数列an 1an 16， ， .a3a1 163 1 12 an 4n1 ，32当 n1 时， a1 ，符合上式32 an 4n1 .32(2)由(1)知 bnlog 2 1(Sn12)4log 2 12 n.(124n 12 12) .3bn4an 32n324n n4n 1Tn ，140 241 342 n4n 1Tn ，14 141 242 n4n得：Tn1 1 34 14 14n 1 n4n n4n ，43(1 14n) n4n Tn .169(1 14n) 43 n4n 49 4n 1 3n 44n 4n 2 12n 1694n
