1、1单科标准练(一)(满分：150 分 时间：120 分钟)第卷一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 A xZ| x23 x40， B x|12 x8，则 A B 的真子集的个数为( )A3 B4 C7 D8C A xZ| x23 x40 xZ|1 x41,0,1,2,3,4，B x|12 x8 x|0 x3，所以 A B1,2,3，所以 A B 的真子集有 2317 个2若复数 z11i， z21i，则下列结论错误的是( )A z1z2是实数 B. 是纯虚数z1z2C| z |2| z2|2 D z z
2、4i41 21 2D z1z2(1i)(1i)1i 22，是实数，故 A 项正确， i，是纯虚数，故 B 项正确，z1z2 1 i1 i 1 2i i22|z |(1i) 4|(1i) 2|2|(2i) 2|4，412|z |2|(1i) 2|2|2i|4，故 C 项正确， z z (1i) 2(1i)2 21 222i2i0，所以 D 项不正确，故选 D.3设向量 a 与 b 的夹角为 ，且 a(2,1)， a2 b(2,3)，则 cos ( )A B. C. D35 35 55 255A 因为( a2 b) a2 b(4,2)，所以 b(2,1)，所以 cos ，故选 A.ab|a|b|
3、4 155 354.如图 1， 是以正方形的边 AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落 AD在阴影区域内的概率为( )2图 1A. B. C. D.16 316 4 14D 连接 AE，由圆的对称性得阴影部分的面积等于 ABE 的面积，易知 ，由几何概型的概率公式，得该点落在阴影区域S ABES正 方 形 ABCD 14内的概率为 P .故选 D.145等比数列 an中各项均为正数， Sn是其前 n 项和，满足2S38 a13 a2， a416，则 S4( )A9 B15 C18 D30D 设等比数列 an的公比为 q(q0)2 S38 a13 a2，2( a1 a2 a3)8
4、a13 a2，即 2a3 a26 a10.2 q2 q60， q2 或 q (舍去)32 a416， a1 2，a4q3 S4 30.a1 1 q41 q 2 1 241 2故选 D.6已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条x2a2 y2b2渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x28 y28 x216 y216C. 1 D. 1 或 1y28 x28 x28 y28 y28 x28A 因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即 a b，又双曲线 C： 1 的一个焦点坐标为(4,0)，所以 2a216，即 a2
5、b28，即该双曲线x2a2 y2b2的方程为 1.故选 A.x28 y287已知某几何体的三视图如图 2 所示，则该几何体的表面积为( )3图 2A86 B66C812 D612B 由三视图可得该几何体是由圆柱的一半(沿轴截面截得，底面半径为 1，母线长为3)和一个半径为 1 的半球组合而成(部分底面重合)，则该几何体的表面积为S223 2366.故选 B.128已知实数 x， y 满足Error!，如果目标函数 z x y 的最小值为1，则实数 m 等于( )A3 B4 C5 D7C 作出不等式组对应的平面区域如图，由目标函数 z x y 的最小值是1，得 y x z，即当 z1 时，函数为
6、 y x1，此时对应的平面区域在直线 y x1的下方，由Error! ，解得Error! ，即 A(2,3)，同时 A 也在直线 x y m 上，即 m235，故选 C.9若 (nN *)的展开式中含有常数项，且 n 的最小值为 a，则(3x 1xx)n dx( ) a2 x24A36 B. 812C. D25252C (nN *)展开式的通项为 Tr1 C (3x)(3x 1xx)n rnn r 3 n rC x ， r0,1， n，因为展开式中含有常数项，所以 n r0，即(1xx)r rn r 52r n 为整数，故 n 的最小值为 5.2510已知| a|2| b|0，且关于 x 的函
7、数 f(x) x3 |a|x2 abx 在 R 上有极值，13 12则向量 a 与 b 的夹角的范围是( )A. B.0， 6) ( 6， C. D.( 3， ( 3， 23)C 设 a 与 b 的夹角为 ， f(x) x3 |a|x2 abx， f( x)13 12 x2| a|x ab.函数 f(x)在 R 上有极值，方程 x2| a|x ab0 有两个不同的实数根，即 | a|24 ab0， ab ，又| a|2| b|0，cos a24 ab|a|b|a24a22，12即 cos ，又 0，12 ，故选 C( 3， 11已知菱形 ABCD 的边长为 2 ， BAD60，沿对角线 BD
8、将菱形 ABCD 折起，使3得二面角 ABDC 的余弦值为 ，则该四面体 ABCD 外接球的体积为( )13A. B8 2873 6C. D362053B 取 BD 中点 M，连接 AM， CM(图略)根据二面角的平面角的概念，可知 AMC 是二5面角 ABDC 的平面角，根据图形的特征，结合余弦定理，可以求得AM CM2 3，此时满足 AC299233 24，从而求得332 ( 13)AC2 ， AB2 BC2 AD2 CD2 AC2，所以 ABC， ADC 是共斜边的两个直角三角形，所以6该四面体的外接球的球心落在 AC 中点，半径 R ，所以其体积为 V R3 6AC2 6 43 43
9、8 ，故选 B.6 612设 x1， x2分别是函数 f(x) x a x和 g(x) xloga x1 的零点(其中 a1)，则x14 x2的取值范围是( )A4，) B(4，)C5，) D(5，)D 因为 x1是函数 f(x) x a x的零点，所以 x1 a x10，化简得 ax1 ，则由1x1函数 y ax(a1)和 y 的图象易得 0 x11.因为 x2是函数 g(x) xloga x1 的零点，1x所以 x2loga x210，化简得 a x2.由函数 y ax(a 1)和 y 的图象易得两函数图象1x2 1x只有一个交点，所以 x2 ，则 x14 x2 x1 .设 h(x) x
10、(0 x1)，则 h( x)1x1 4x1 4x1 ，当 0 x1 时， h( x)1 0 恒成立，所以函数 h(x) x 在(0,1)上单调4x2 4x2 4x递减，又因为当 x0 时， h(x)，当 x1 时， h(x)5，所以函数 h(x) x 在4x(0,1)上的值域为(5，)，则 x14 x2的取值范围为(5，)，故选 D.第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13将函数 f(x)2sin(2 x )( 0)的图象向左
11、平移 个单位长度，得到偶函数 3g(x)的图象，则 的最大值是_ 函数 f(x)2sin(2 x )( 0)的图象向左平移 个单位长度，得到 6 3y2sin 2sin ，即 g(x)2sin ，又 g(x)为偶函2(x 3) (2x 23 ) (2x 23 )数，所以 k， kZ，即 k， kZ.又因为 0，23 2 66所以 的最大值为 . 614已知等差数列 an， bn的前 n 项和分别为 Sn， Tn(nN *)，若 ，则实数SnTn 2n 1n 1_.a12b6由于 an， bn都是等差数列，且等差数列的前 n 项和都是 an2 bn，所以不妨154设 Sn n(2n1)， Tn
12、n(n1)， b6 T6 T56(61)5(51)423012.a12 S12 S111223112145.所以 .a12b6 4512 15415某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为_19 法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有 C C 9(种)；在物理、政治、历1323史中选两科的选法有 C C 9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有 1 种所以学生2313甲的选考方法共有 99119(种)法二：从六科中选考三
13、科的选法有 C 种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一36科，这种选法有 1 种，因此学生甲的选考方法共有 C 119(种)3616设过抛物线 y22 px(p0)上任意一点 P(异于原点 O)的直线与抛物线y28 px(p0)交于 A， B 两点，直线 OP 与抛物线 y28 px(p0)的另一个交点为 Q，则_.S ABQS ABO3 画出对应的图(图略)就可以发现， 1，S ABQS ABO PQOP xQ xPxP yQyP设 P ，则直线 OP： y x，即 y x，与 y28 px 联立，可求得 yQ4 y1，从(y212p， y1) y1y212p 2py1而得到面积比为 1
14、3.4y1y1三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 12 分)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，满足2acos C bcos C ccos B0.(1)求角 C 的大小；7(2)若 a2， ABC 的面积为 ，求 c 的大小32解 (1)在 ABC 中，2 acos C bcos C ccos B0，由正弦定理可得：2sin Acos Csin Bcos Csin Ccos B0，2sin Acos Csin( B C)0，又 ABC 中，sin( B C)sin A0，cos C .120 C， C .23(2)由 S ab
15、sin C ， a2， C ，得 b1.12 32 23由余弦定理得 c241221 7，(12) c .718(本小题满分 12 分)如图 3，在五面体 ABCDEF 中，四边形 EDCF 是正方形，AD DE， ADE90， ADC DCB120.图 3(1)证明：平面 ABCD平面 EDCF；(2)求直线 AF 与平面 BDF 所成角的正弦值解 (1)证明：因为 AD DE， DC DE， AD， CD平面 ABCD，且 AD CD D，所以 DE平面 ABCD.又 DE平面 EDCF，故平面 ABCD平面 EDCF.8(2)由已知 DC EF，所以 DC平面 ABFE.又平面 ABCD
16、平面 ABFE AB，故 AB CD.所以四边形 ABCD 为等腰梯形又 AD DE，所以 AD CD，易得 AD BD，令 AD1，如图，以 D 为原点，以 的方向为DA x 轴正方向，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0,0,0)， A(1,0,0)， F ， B(0， ，0)，(12， 32， 1) 3所以 ， (0， ，0)，FA (32， 32， 1) DB 3 .DF ( 12， 32， 1)设平面 BDF 的法向量为 n( x， y， z)，由Error!所以Error! 取 x2，则 y0， z1，得 n(2,0,1)，cos ， n .FA FA n|FA |n| 225
17、 55设直线与平面 BDF 所成的角为 ，则 sin .55所以直线 AF 与平面 BDF 所成角的正弦值为 .5519(本小题满分 12 分)某学校高三有 1 000 名学生，按性别分层抽样从高三学生中抽取 30 名男生，20 名女生期末某学科的考试成绩，得到如图 4 所示男生成绩的频率分布直方图和如图 5 所示的女生成绩的茎叶图图 49图 5(1)试计算男生考试成绩的平均分 x 与女生考试成绩的中位数(每组数据取区间的中点值)；(2)根据频率分布直方图可以认为，男生这次考试的成绩服从正态分布 Z N( ，6.5 2)，x试计算男生成绩落在区间(65.5,78.5)内的概率及全校考试成绩在(
18、65.5,78.5)内的男生的人数(结果保留整数)；(3)若从抽取的 50 名学生中考试成绩优势(90 分以上包括 90 分)的学生中再选取 3 名学生，作学习经验交流，记抽取的男生人数为 ，求 的分布列与数学期望参考数据，若 Z N( ， 2)，则 P( Z )0.682 6， P( 2 Z 2 )0.954 4， P( 3 Z 3 )0.997 4.解 (1)男生的平均分为(450.01550.01650.02750.03850.02950.01)1072.女生成绩的中位数为 81.5.81 822(2)由(1)知 72，可知 Z N(72,6.52)x可知成绩落在(65.5,78.5)内
19、的概率为 P(65.5 Z78.5) P(726.5 Z726.5)0.682 6，所求考试成绩在(65.5,78.5)内的男生的人数大约为 1 0000.682 356410(人)(3)根据频率分布直方图可知男生的考试成绩在90,100的人数为 300.13，女生的人数为 4，可知随机变量 0,1,2,3.P( 0) ，C34C37 435P( 1) ，C13C24C37 1835P( 2) ，C23C14C37 1235P( 3) ，C3C37 135随机变量的分布列为10 0 1 2 3P 435 1835 1235 135E( )0 1 2 3 .435 1835 1235 135 9
20、720(本小题满分 12 分)已知椭圆 C1： 1( b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，x28 y2b2点 F2也为抛物线 C1： y28 x 的焦点(1)若 M， N 为椭圆 C1上两点，且线段 MN 的中点为(1,1)，求直线 MN 的斜率；(2)若过椭圆 C1的右焦点 F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 A， B 和 C， D，设线段 AB， CD 的长分别为 m， n，证明 是定值1m 1n解 因为抛物线 C2： y28 x 的焦点为(2,0)，所以 8 b24，故 b2.所以椭圆C1： 1.x28 y24(1)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则Error!两式相
21、减得 0， x1 x2 x1 x28 y1 y2 y1 y24又 MN 的中点为(1,1)，所以 x1 x22， y1 y22.所以 .y2 y1x2 x1 12显然，点(1,1)在椭圆内部，所以直线 MN 的斜率为 .12(2)椭圆右焦点 F2(2,0)当直线 AB 的斜率不存在或者为 0 时， .1m 1n 142 122 328当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y k(x2)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立方程Error!消去 y 并化简得(12 k2)x28 k2x8 k280，因为 (8 k2)24(12 k2)(8k28)32( k
22、21)0，所以 x1 x2 ， x1x2 .8k21 2k2 8 k2 11 2k2所以 m ，1 k2 x1 x2 2 4x1x242 1 k21 2k2同理可得 n .42 1 k2k2 2所以 为定值1m 1n 142(1 2k21 k2 k2 21 k2) 3281121(本小题满分 12 分)已知 f( x)为函数 f(x)的导函数， f(x)e 2x2 f(0)ex f(0) x.(1)求 f(x)的单调区间；(2)当 x0 时， af(x)e x x 恒成立，求 a 的取值范围解 (1)由 f(0)12 f(0)，得 f(0)1.因为 f( x)2e 2x2e x f(0)，所以
23、 f(0)22 f(0)，解得 f(0)0.所以 f(x)e 2x2e x，f( x)2e 2x2e x2e x(ex1)，当 x(，0)时， f( x)0，则函数 f(x)在(，0)上单调递减；当 x(0，)时， f( x)0，则函数 f(x)在(0，)上单调递增(2)令 g(x) af(x)e x x ae2x(2 a1)e x x，根据题意，当 x(0，)时，g(x)0 恒成立g( x)2 ae2x(2 a1)e x1(2 aex1)(e x1)当 0 a ， x(ln 2 a，)时， g( x)0 恒成立，12所以 g(x)在(ln 2a，)上是增函数，且 g(x)( g(ln 2a)
24、，)，所以不符合题意；当 a ， x(0，)时， g( x)0 恒成立，12所以 g(x)在(0，)上是增函数，且 g(x)( g(0)，)，所以不符合题意；当 a0 时，因为 x(0，)，所有恒有 g( x)0，故 g(x)在(0，)上是减函数，于是“ g(x)0 对任意 x(0，)都成立”的充要条件是 g(0)0，即 a(2 a1)0，解得 a1，故1 a0.综上， a 的取值范围是1,0请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数，0
25、 )在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C： 4cos .(1)当 时，求 C 与 l 的交点的极坐标； 4(2)直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，且两点对应的参数 t1， t2互为相反数，求| AB|的值解 (1)依题意可知，直线 l 的极坐标方程为 ( R)，当 0 时，联立 412Error!，解得交点 ，(22， 4)当 0 时，经检验(0,0)满足两方程，当 0 时，无交点；综上，曲线 C 与直线 l 的交点极坐标为(0,0)， .(22， 4)(2)把直线 l 的参数方程代入曲线 C，得 t22(sin cos )t20，可知 t1 t20， t1t
26、22，所以| AB| t1 t2| 2 . t1 t2 2 4t1t2 223(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知 f(x)| ax1|，若实数 a0，不等式 f(x)3 的解集是 x|1 x2(1)求 a 的值；(2)若 | k|存在实数解，求实数 k 的取值范围f x f x3解 (1)由| ax1|3，得3 ax13，解得：2 ax4, a0 时， x2a，而 f(x)3 的解集是 x|1 x2，故Error! ，解得 a2.4a(2) f x f x3 |2x 1| |2x 1|3 ，|2x 1 2x 1|3 23故要使 | k|存在实数解，只需| k| ，解得 k 或 k ，f x f x3 23 23 23实数 k 的取值范围是 .( ， 23) (23， )
