1、1规范练(三)(时间：45 分钟 满分：46 分)1(12 分)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足cos2Acos 2Ccos 2B1sin AsinC.(1)求角 B 的大小；(2)若 a3，点 D 在 AC 边上且 BD AC， BD ，求 c.15314规范解答及评分标准 (1)由 cos2Acos 2Ccos 2B1sin AsinC 得1sin 2A1sin 2C(1sin 2B)1sin AsinC.即 sin2Asin 2Csin 2Bsin AsinC.(3 分)由正弦定理得 a2 c2 b2 ac，由余弦定理得 cosB .a2 c2 b
2、22ac 12因为 B(0，)，所以 B .(6 分)23(2)由(1)及 a3 知， b2 a2 c2 ac c23 c9.因为 BD AC，所以 ABC 的面积 S acsin ABC bBD.(9 分)12 12所以 3c b ，解得 b c.12 32 12 15314 75所以 2 c23 c9，解得 c5(负值已舍去)(12 分)(7c5)2(12 分)如图，四棱锥 PABCD 中， PAD 为等边三角形，AB CD， AB2 CD， BAD90， PA CD， E 为棱 PB 的中点(1)求证：平面 PAB平面 CDE；(2)若直线 PC 与平面 PAD 所成角为 45，求二面角
3、 ADEC 的余弦值规范解答及评分标准 (1)证明：如图，取 AP 的中点为 F，连接 EF， DF.2 E 为 PB 的中点， EF 綊 AB.12又 CD 綊 AB， CD 綊 EF.12四边形 CDFE 为平行四边形 DF CE. PAD 为等边三角形， PA DF，从而 PA CE.(3 分)又 PA CD， CD CE C， PA平面 CDE.又 PA平面 PAB，平面 PAB平面 CDE.(6 分)(2) AB CD， PA CD， PA AB. BAD90， AB AD.又 PA AD A， AB平面 PAD. CD平面 PAD， CPD 为 PC 与平面 PAD 所成的角，即
4、CPD45， CD PD. PAD 为等边三角形， PD AD， CD AD.以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系设 AD4，则 A(0,0,0)， B(8,0,0)， P(0,2,2 )， D(0,4,0)， E(4,1， )，3 3 (4,1， )， (0,4,0)(8 分)AE 3 AD 3设平面 ADE 的法向量为 n( x， y， z)，则Error! 即Error!令 z4，则 x ， y0. n( ，0，4)(9 分)3 3由(1)知，平面 CDE 的一个法向量为 (0,2,2 )，(10 分)AP 3cos ， n .(11 分)AP AP n|AP |n| 25719
5、由图可知二面角 ADEC 的平面角为钝角，二面角 ADEC 的余弦值为 .(12 分)257193(12 分)某电商 2018 年计划与所在地区的樱桃果园合作进行樱桃的销售，为了了解该地区果园的樱桃销售情况，现从中随机抽取 60 个樱桃果园，统计各果园 2017 年的销售量(单位：万斤)，得到下面的频率分布直方图(1)从样本中销售量不低于 9 万斤的果园中随机选取 3 个，求销售量不低于 10 万斤的果园的个数 X 的分布列及其数学期望；(2)该电商经过 6 天的试运营，得到销售量(单位：万斤)的情况统计表如下：运营第 n 天 1 2 3 4 5 6第 n 天电商的销售量 yn 1.21 1.
6、31 1.45 1.71 2.02 2.54根据相关性分析，前 n 天累计总销量 Tn与 n 之间具有较强的线性相关关系，由最小二乘法得回归直线方程为 1.78 n ，用样本估计总体的思想，预测该电商至少运营多少天T a 可使总销量不低于该地区各果园 2017 年的平均销量的 2 倍注：1.前 n 天累计总销售量 Tn yi.ni 12在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作为代表431 斤0.5 千克规范解答及评分标准 (1)由频率分布直方图可得样本中 2017 年销售量不低于 9 万斤的果园有(0.100.05)609(个)，销售量不低于 10 万斤的果园有 0.05603(个)(
7、2 分)随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3.P(X0) ， P(X1) ，C36C39 521 C26C13C39 1528P(X2) ， P(X3) ，C16C23C39 314 C3C39 184随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 521 1528 314 184(4 分) E(X)0 1 2 3 1.(6 分)521 1528 314 184(2)由运营期间销售量的情况统计表可得前 n 天累计总销售量 Tn(单位：万斤)如下表：运营第 n 天 1 2 3 4 5 6前 n 天累计总销售量 Tn 1.21 2.52 3.97 5.68 7.70 10.24 3.5，n 1
8、 2 3 4 5 66 5.22(万斤)(8 分)T 1.21 2.52 3.97 5.68 7.70 10.246将样本的中心点(3.5,5.22)代入回归直线方程 1.78 n ，得T a 1.01， 1.78 n1.01.(9 分)a T 用频率分布直方图中各区间的中点值作为代表，估计该地区 2017 年的平均销量为4.50.055.50.156.50.207.50.308.50.159.50.1010.50.057.35(万斤)由题意，得 1.78n1.0114.7，解得 n8.83(11 分) nN *，该电商至少运营 9 天可使总销量不低于该地区各果园 2017 年的平均销量的 2
9、 倍(12 分)选考题：共 10 分请考生在第 4、5 题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分54选修 44：坐标系与参数方程(10 分)已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos 2.(1)写出直线 l 经过的定点的直角坐标，并求出曲线 C 的普通方程；(2)若 ，求直线 l 的极坐标方程，以及直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标 4规范解答及评分标准 (1)直线 l 经过定点(1,1)由 cos 2 得 2( cos 2) 2，所以曲线 C 的普通方程为 x2 y2( x2) 2，化
10、简，得 y24 x4.(4 分)(2)若 ，则Error! 4所以直线 l 的普通方程为 y x2，所以直线 l 的极坐标方程为 sin cos 2.(6 分)由Error! 得 sin .因为 0，所以 sin 1.取 ，得 2. 2所以直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为 .(10 分)(2， 2)5选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)| x1| x2|，记 f(x)的最小值为 k.(1)解不等式 f(x) x1；(2)是否存在正数 a， b 同时满足 2a b k， 4？说明理由1a 2b规范解答及评分标准 (1)不等式 f(x) x1 等价于| x1| x2| x10
11、.设函数 y| x1| x2| x1，则 yError!令 y0，解得 x4.23原不等式的解集是Error!.(4 分)(2)f(x)| x1| x2| x1 x2|1，当且仅当( x1)( x2)0，即1 x2 时取等号，所以 f(x)的最小值为 1，故 k1.(6 分)假设存在符合条件的正数 a， b，则 2a b1， (2a b)4 42 8，当且仅当 时取等号，又1a 2b (1a 2b) ba 4ab ba4ab ba 4ab2 a b1， a ， b .(8 分)14 126 的最小值为 8，即 4.1a 2b 1a 2b不存在正数 a， b，使得 2a b1， 4 同时成立(10 分)1a 2b
