1、1第五讲 导数的应用(一)年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养卷 函数的奇偶性应用及切线方程求法T 5卷 切线方程求法T 132018卷 切线方程求法T 14卷 利用导数求三棱锥的体积T 162017 卷 函数图象的极小值求法T11利用导数研究函数的图象和性质T 7卷 利用导数研究函数零点、不等式证明T21曲线的切线方程T 16卷 利用导数判断函数的单调性、证明不等式、求函数的最值问题T 21导数的几何意义、切线方程T 152016卷导数与函数、不等式的综合应用T 21命题分析(1)高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问(2)高考重点
2、考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等有时出现在解答题第一问学科素养导数的应用主要是通过利用导数研究单调性解决最值、不等式、函数零点等问题，着重考查逻辑推理与数学运算这两大核心素养与分析问题解决问题的能力.导数的运算及几何意义2授课提示：对应学生用书第11页悟通方法结论1导数的几何意义函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率，曲线 f(x)在点 P处的切线的斜率 k f( x0)，相应的切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0)2四个易误导数公式(1)(sin x)cos x；
3、(2)(cos x)sin x；(3)(ax) axln a(a0)；(4)(logax) (a0，且 a1)1xln a全练快速解答1若直线 y ax是曲线 y2ln x1的一条切线，则实数 a的值为( )A BC D解析：依题意，设直线 y ax与曲线 y2ln x1的切点的横坐标为 x0，则有 y| x x0 ，于是有Error!解得2x0答案：B2(2018高考全国卷)设函数 (x) x3( a1) x2 ax，若 (x)为奇函数，则曲线y (x)在点(0,0)处的切线方程为( )A y2 x B y xC y2 x D y x解析：法一： (x) x3( a1) x2 ax， ( x
4、)3 x22( a1) x a.又 (x)为奇函数， ( x) (x)恒成立，即 x3( a1) x2 ax x3( a1) x2 ax恒成立， a1， ( x)3 x21， (0)1，曲线 y (x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.故选D.法二： (x) x3( a1) x2 ax为奇函数，3 ( x)3 x22( a1) x a为偶函数， a1，即 ( x)3 x21， (0)1，曲线 y (x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.故选D.答案：D3(2018山东四市联考)已知函数 f(x) x2 ax1的部分图象如图所示，则函x33 b2数 g(x) aln x 在点( b， g
5、(b)处的切线的斜率的最小值是 _f xa解析：由题意， f( x) x2 bx a，根据 f(x)的图象的极大值点、极小值点均大于零，可得 b0， a0，又 g( x) ，则 g( b) 2，当且仅当 a b时ax 2x ba ab 2b ba ab ba取等号，所以切线斜率的最小值为2.答案：2求曲线 y f(x)的切线方程的3种类型及方法(1)已知切点 P(x0， y0)，求切线方程求出切线的斜率 f( x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率 k，求切线方程设切点 P(x0， y0)，通过方程 k f( x0)解得 x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求切线
6、方程设切点 P(x0， y0)，利用导数求得切线斜率 f( x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程利用导数研究函数的单调性4授课提示：对应学生用书第12页悟通方法结论导数与函数单调性的关系(1)f( x)0是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x) x3在(，)上单调递增，但 f( x)0.(2)f( x)0是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f( x)0时，则 f(x)为常数，函数不具有单调性(2017高考全国卷)(12分)已知函数 .fx exex a a2x(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 ，求 a
7、的取值范围fx 0学审题条件信息 想到方法 注意什么信息：已知 f(x)的解析式可求导函数 f( x)信息： f(x)0函数的最小值 f(x)min0(1)要讨论函数的单调性，必须先求出函数定义域(2)对于含参数的问题，要根据不同情况对参数进行分类讨论规范解答 (1)函数 f(x)的定义域为(，)，(1分)f( x)2e 2x aex a2(2e x a)(ex a)若 a0，则 f(x)e 2x在(，)上单调递增若 a0，则由 f( x)0，得 xln a.当 x(，ln a)时， f( x)0.故 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(3分)若 a0；(ln(a2
8、)， )故 f(x)在 上单调递减，( ， ln(a2)5在 上单调递增 (6分)(ln(a2)， )(2)若 a0，则 f(x)e 2x，所以 f(x)0. (7分)若 a0，则由(1)得，当 xln a时， f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a) a2ln a.从而当且仅当 a2ln a0，即00)上的单调性；(3)证明：当 a1时，对任意的 x0，都有 f(x) 成立1x 2e2 1ex 1解析：(1)由 f(x) x(ln x a)(x1)，得 f( x)ln x a1，因为对任意实数 b，直线 y x b与函数 f(x)的图象都不相切，所以 f( x)ln x a11，即 al
9、n x2.而函数 yln x2在1，)上单调递增，所以ln x2ln 122，故 a0，1e2 1e2 1e2因此 f(x)在t， )上单调递减，在( ，te上单调递增1e2 1e2当t 时，在t，te上， f( x)0恒成立，1e2所以 f(x)在t，te上单调递增综上所述，当0 对任意的 x0恒成立xex 1 2e2由(2)知当 a1时， f(x) xln x x在(0， )上单调递减，在( ，)上单调递增，1e2 1e2所以 f(x)min f( ) .1e2 1e27设 g(x) (x0)，则 g( x) ，xex 1 2e2 1 xex 1所以 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1
10、，)上单调递减，g(x)max g(1) .1e2从而当 a1时，对任意的 x0，都有 f(x) g(x)(等号不同时取到)，1e2所以 f(x) 成立，xex 1 2e2即对任意的 x0，都有 f(x) 成立1x 2e2 1ex 1利用导数研究函数的极值、最值授课提示：对应学生用书第12页悟通方法结论1若在 x0附近左侧 f( x)0，右侧 f( x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极大值；若在 x0附近左侧 f( x)0，右侧 f( x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值2设函数 y f(x)在 a， b上连续，在( a， b)内可导，则 f(x)在 a， b上必有最大值和最小
11、值且在极值点或端点处取得(2018高考全国卷)(12分)已知函数 f(x)(1) ；(2) ，证明：学审题条件信息 想到方法 注意什么信息：已知 f(x)的解 先求定义域，再求导函 (1)易忽视定义域求法及参8析式 数，变形信息：讨论单调性参数分类标准的确立及用导数判断单调性方法信息：两极值点 x1、 x2极值点的定义及应用信息：双变量不等式的证明双变量不等式证明，利用极值点消元、构造数对单调性的影响(2)与极值点有关的双变量不等式证明，要明确消元、构造法规范解答 (1) (x)的定义域为(0，)，( x) 1 . (2分)1x2 ax x2 ax 1x2若 a2，则 ( x)0，当且仅当 a
12、2， x1时， ( x)0，所以 (x)在(0，)上单调递减 (4分)若 a2，令 ( x)0，得x 或 x .a a2 42 a a2 42当 x 时， ( x)0 ；(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )当 x 时， ( x)0.(a a2 42 ， a a2 42 )所以 (x)在 ， 上单调递减，在(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， )上单调递增(a a2 42 ， a a2 42 )(6分)(2)证明：由(1)知， (x)存在两个极值点当且仅当 a2.由于 (x)的两个极值点 x1， x2满足 x2 ax10，所以 x1x21，不妨设 x1 x2，则 x21.
13、 (8分)由于 1 a 2 a 2 ax1 x2x1 x2 1x1x2 ln x1 ln x2x1 x2 ln x1 ln x2x1 x2， 2ln x21x2 x2所以 a2等价于 x22ln x20.x1 x2x1 x2 1x2(10分)设函数 g(x) x2ln x，由(1)知， g(x)在(0，)上单调递减1x又 g(1)0，从而当 x(1，)时， g(x)0.9所以 x22ln x20，即 a2.1x2 x1 x2x1 x2(12分)利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程 f( x)0的根，再检查 f( x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况
14、，则转化为已知方程 f( x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数 f(x)在闭区间 a， b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)， f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值练通即学即用1(2017高考全国卷)若 x2是函数 f(x)( x2 ax1)e x1 的极值点，则 f(x)的极小值为( )A1 B2e 3C5e 3 D1解析：因为 f(x)( x2 ax1)e x1 ，所以 f( x)(2 x a)ex1 ( x2 ax1)e x1 x2( a2) x a1e x1 .因为 x2是函数 f(x)( x2 ax1)e x1 的极值点，所以2是 x2(
15、 a2) x a10的根，所以 a1， f( x)( x2 x2)e x1 ( x2)( x1)e x1 .令 f( x)0，解得 x1，令 f( x)0)，故 f( x)在(0，)上有两个不同的零点，令 f( x)0，则2 a ，ln x 1x设 g(x) ，则 g( x) ，ln x 1x ln xx2 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当 x0时， g(x)，当 x时， g(x)0，而 g(x)max g(1)1，只需00， f(x)在(0，)上单调递增；当 m0时，令 f( x)0得0 ，m2m m2m f(x)在(0， )上单调递增，在( ，)上单调递减m2m
16、m2m(2)由(1)知，当 m0时， f(x)在(0， )上单调递增，在( ，)上单调递减m2m m2m f(x)max f( )ln 2 m nln 2 ln m nln 2，m2m m2m 14m 12 12 n ln m ， m n m ln m ，12 12 12 12令 h(x) x ln x (x0)，则 h( x)1 ，12 12 12x 2x 12x h(x)在(0， )上单调递减，在( ，)上单调递增，12 12 h(x)min h( ) ln 2，12 12 m n的最小值为 ln 2.1211授课提示：对应学生用书第119页一、选择题1曲线 ye x在点(2，e 2)处的
17、切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A. e2 B2e 2 Ce 2 D.94 e22解析：由题意可得 ye x，则所求切线的斜率 ke 2，则所求切线方程为 ye 2e 2(x2)即 ye 2xe 2， S 1e2 .12 e22答案：D2(2018西宁一检)设曲线 y 在点(3,2)处的切线与直线 ax y10垂直，则 ax 1x 1( )A2 B2C D.12 12解析：由 y 得曲线在点(3,2)处的切线斜率为 ，又切线与直线 ax y1 2x 12 120垂直，则 a2.答案：A3(2018北京模拟)曲线 f(x) xln x在点(1， f(1)处的切线的倾斜角为( )A. B.
18、 6 4C. D. 3 2解析：因为 f(x) xln x，所以 f( x)ln x x ln 1xx1，所以 f(1)1，所以曲线 f(x) xln x在点(1， f(1)处的切线的倾斜角为 . 4答案：B4已知函数 f(x) x25 x2ln x，则函数 f(x)的单调递增区间是( )A. 和(1，) B(0,1)和(2，)(0，12)12C. 和(2，) D(1,2)(0，12)解析：函数 f(x) x25 x2ln x的定义域是(0，)，令 f( x)2 x5 2x 0，解得02，故函数 f(x)的单调递增区间是 和(22x2 5x 2x x 22x 1x 12 (0， 12)，)答案
19、：C5函数 f(x)在定义域R内可导，若 f(x) f(2 x)，且当 x(，1)时，( x1) f(x)0，所以函数 f(x)在(，1)上是单调递增函数，所以 a f(0)0)设 g(x) ，则 g( xx2ex 2xexx4 ( 2x2 1x) x 2(exx k)x2 exx) ，则 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增x 1exx2 g(x)在(0，)上有最小值，为 g(1)e，结合 g(x) 与 y k的图象可知，要满exx足题意，只需 ke.答案：A8已知函数 f(x)ln x nx(n0)的最大值为 g(n)，则使 g(n) n20成立的 n的取值范围为( )A(
20、0,1) B(0，)C. D.(0，14) 12， )解析：易知 f(x)的定义域为(0，)，f( x) n(x0， n0)，1x当 x 时， f( x)0；(0，1n)当 x 时， f( x)h(1)0，故使 g(n) n20成立的 n的取值范围为(0,1)，故选A.14答案：A二、填空题9(2018高考全国卷)曲线 y2ln( x1)在点(0,0)处的切线方程为_解析： y2ln( x1)， y .令 x0，得 y2，由切线的几何意义得切线2x 1斜率为2，又切线过点(0,0)，切线方程为 y2 x.答案： y2 x10(2016高考全国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0时， f(x)e
21、 x1 x，则曲线 y f(x)在点(1,2)处的切线方程是_解析：设 x0，则 x0时， f( x)e x1 1， f(1)e 11 1112.曲线 y f(x)在点(1,2)处的切线方程为 y22( x1)，即2 x y0.答案：2 x y011(2018太原二模)若函数 f(x)sin x ax为R上的减函数，则实数 a的取值范围是_解析： f( x)cos x a，由题意可知， f( x)0对任意的 xR都成立， a1，故实数 a的取值范围是(，1答案：(，112(2018新乡一模)设 x1， x2是函数 f(x) x32 ax2 a2x的两个极值点，若 x10， f(x)为(，)上的
22、增函数，所以函数 f(x)无极值当 a0时，令 f( x)0，得e x a，即 xln a x(，ln a)时， f( x)0，所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a， )上单调递增，故 f(x)在 xln a处取得极小值，且极小值为 f(ln a)ln a，无极大值综上，当 a0时，函数 f(x)无极值；当 a0时， f(x)在 xln a处取得极小值ln a，无极大值14(2018福州质检)已知函数 f(x) aln x x2 ax(aR)(1)若 x3是 f(x)的极值点，求 f(x)的单调区间；(2)求 g(x) f(x)2 x在区间1，e上的最小值 h(a)解析：(1
23、) f(x)的定义域为(0，)，f( x) 2 x a ，ax 2x2 ax ax因为 x3是 f(x)的极值点，所以 f(3) 0，解得 a9，18 3a a3所以 f( x) ，2x2 9x 9x 2x 3x 3x所以当03时， f( x)0；32当 x3时， f( x)0.32所以 f(x)的单调递增区间为 ，(3，)，单调递减区间为 .(0，32) (32， 3)(2)g(x) aln x x2 ax2 x，则 g( x) 2 .2x2 ax ax 2x ax 1x令 g( x)0，得 x 或 x1.a2当 1，即 a2时， g(x)在1，e上为增函数，a2h(a)min g(1) a1；当1 e，即2 a2e时， g(x)在 上为减函数，在 上为增函数，a2 1， a2) (a2， e16h(a)min g aln a2 a；(a2) a2 14当 e，即 a2e时， g(x)在1，e上为减函数，a2h(a)min g(e)(1e) ae 22e.综上， h(a)minError!
