1、1第一讲 函数图象与性质考点一 函数及其表示1函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则2分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数对点训练1(2018广东深圳一模)函数 y 的定义域为( ) x2 x 2lnxA(2,1) B2,1C(0,1) D(0,1解析 由题意得Error!解得 03，故31，排除 C、D 选项故选 Be2 1e24答案 B角度 2：利用函数的图象研究函数的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题
2、及解不等式、比较大小等【例 2】 设函数 f(x)e x(2x1) ax a，其中 a0)1fx4函数的对称性(1)若函数 y f(x)满足 f(a x) f(a x)，即 f(x) f(2a x)，则 f(x)的图象关于直线 x a 对称7(2)若函数 y f(x)满足 f(a x) f(a x)，即 f(x) f(2a x)，则 f(x)的图象关于点( a,0)对称(3)若函数 y f(x)满足 f(a x) f(b x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x 对a b2称角度 1：确认函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值【例 1】 (2017北京卷)已知函数 f(x)3 x x，则
3、f(x)( )(13)A是奇函数，且在 R 上是增函数B是偶函数，且在 R 上是增函数C是奇函数，且在 R 上是减函数D是偶函数，且在 R 上是减函数解析 易知函数 f(x)的定义域关于原点对称 f( x)3 x x x3 x f(x)，(13) (13) f(x)为奇函数又 y3 x在 R 上是增函数， y x在 R 上是增函数，(13) f(x)3 x x在 R 上是增函数故选 A(13)答案 A快速审题 看到奇偶性的判断，想到用 x 代 x；看到单调性的判断，想到函数的构成角度 2：综合应用函数的性质求值(取值范围)、比较大小等，常与不等式相结合解析 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且
4、在区间(，0上单调递增， f(x)在区8间0，)上单调递减根据函数的对称性，可得 f( ) f( )，2 2答案 B函数 3 个性质的应用要领(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径尤其注意偶函数 f(x)的性质： f(|x|) f(x)(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解对点训练1角度 1(2018湖北荆州一模)下列函数是奇函数且在定义域内是增
5、函数的是( )A ye x B ytan xC y x3 x D yln2 x2 x解析 函数 ye x不是奇函数，不满足题意；函数 ytan x 是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不满足题意；函数 y x3 x 是奇函数，当 x 时，(33， 33)y3 x210，解得 x ，此时， f(x)递减由此22 22 22可得 f(x)的大致图象故选 D答案 D3(2017天津卷)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数， g(x) xf(x)若a g(log 25.1)， b g(20.8)， c g(3)，则 a， b， c 的大小关系为( )A a0 时， f(x)f(0)0，当 x1x2
6、0 时，f(x1)f(x2)0， x1f(x1)x2f(x2)， g(x)在(0，)上单调递增，且 g(x) xf(x)是偶函数， a g(log 25.1) g(log25.1).21 的 x 的取值范围是(x12)_解析 当 x 时， f(x) f 2 x2 x 2x 1；12 (x 12) 12 2当 02x1；当 x0 时， f(x) f12 (x 12) (x 12) 1211 x1 12 x ， f(x) f 12x 1x ，即 f(b)f(c) B f(b)f(a)f(c)C f(c)f(a)f(b) D f(c)f(b)f(a)解析 由题意易知 f(x)在(0，)上是减函数，又
7、| a|ln1， b(ln) 2|a|,0f(|a|)f(b)又由题意知ln2f(a) f(|a|)， f(c)f(a)f(b)故选 C答案 C7(2018山西四校二次联考)“ a0”是“函数 f(x)|( ax1) x|在(0，)内单调递增”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件16解析 当 a0 时， f(x)| x|在(0，)上单调递增；当 a0 时，函数 f(x) ln x， f(2) ln22，故排除 A，选 B1x 12答案 B9(2018山东济宁一模)已知函数 f(x)是(，)上的奇函数，且 f(x)的图象关于 x1 对称，当 x0,1时
8、， f(x)2 x1.则 f(2017) f(2018)的值为( )A2 B1 C0 D1解析 函数 f(x)是(，)上的奇函数， f( x) f(x)，由 f(x)的图象关于 x1 对称，得 f(1 x) f(1 x)， f(x) f(2 x) f( x)， f(4 x) f(2 x) f( x)， f(x)的周期 T4.当 x0,1时， f(x)2 x1. f(2017)17 f(2018) f(1) f(2) f(1) f(0)21111.故选 D答案 D10如图，已知 l1 l2，圆心在 l1上、半径为 1 m 的圆 O 在 t0 时与 l2相切于点A，圆 O 沿 l1以 1 m/s
9、的速度匀速向上移动，圆被直线 l2所截上方圆弧长记为 x，令ycos x，则 y 与时间 t(0 t1，单位：s)的函数 y f(t)的图象大致为( )解析 如图，设 MON ，由弧长公式知 x .在 Rt AOM 中，| AO|1 t，cos 1 t，x2 |OA|OM| ycos x2cos 2 12(1 t)21.又 0 t1，故选 Bx答案 B11(2018安徽池州模拟)已知函数的定义域为 R，且满足下列三个条件：对任意的 x1， x24,8，当 x10；fx1 fx2x1 x218 f(x4) f(x)； y f(x4)是偶函数；若 a f(6)， b f(11)， c f(2017
10、)，则 a， b， c 的大小关系正确的是( )A a0，函数 f(x)在4,8上fx1 fx2x1 x2单调递增， b0 时单调递增，且 f(1)0，若f(x1)0，则 x 的取值范围为_解析 奇函数 f(x)在(0，)上单调递增，且 f(1)0，函数 f(x)在(，0)上单调递增，且 f(1)0，则11 时， f(x)0； x0 即11，解得 02.答案 (0,1)(2，)16(2018河南许昌二模)已知函数 f(x) 的最大值为 M，最小值为2|x| 1 x3 22|x| 1m，则 M m 等于_解析 f(x) 2 ，22|x| 1 x32|x| 1 x32|x| 1设 g(x) ，则 g( x) g(x)(xR)，x32|x| 1 g(x)为奇函数， g(x)max g(x)min0. M f(x)max2 g(x)max，m f(x)min2 g(x)min， M m2 g(x)max2 g(x)min4.答案 4
