1、1第二讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用考点一 指数函数、对数函数及幂函数1指数与对数式的运算公式(1)aman am n，(2)(am)n amn，(3)(ab)m ambm.其中， a0， b0.(4)loga(MN)log aMlog aN，(5)loga log aMlog aN，MN(6)logaMn nlogaM，(7)alogaN N，(8)logaN .其中， a0且 a1， b0且 b1， M0， N0.logbNlogba2指数函数、对数函数的图象和性质指数函数 y ax(a0， a1)与对数函数 ylog ax(a0， a1)的图象和性质，分01两种情况：当 a1时
2、，两函数在定义域内都为增函数，当 0bc B bacC cba D cab解析 由已知得 clog 23，log 23log2e1， bln2ab，故选 D.答案 D3(2018山东潍坊一模)若函数 f(x) ax a x(a0且 a1)在 R上为减函数，则函数 ylog a(|x|1)的图象可以是( )解析 因函数 f(x) ax a x(a0且 a1)在 R上为减函数，故 01或 x1时函数ylog a(|x|1)的图象可以通过函数 ylog ax的图象向右平移 1个单位得到，故选 D.答案 D4(2018江西九江七校联考)若函数 f(x)log 2(x2 ax3 a)在区间(，2上是减函
3、数，则实数 a的取值范围是_解析 由题意得 x2 ax3 a0在区间(，2上恒成立且函数 y x2 ax3 a在(，2上递减，则 2 且(2) 2(2) a3 a0，解得实数 a的取值范围是a24,4)答案 4,4)3快速审题 看到指数式、对数式，想到指数、对数的运算性质；看到指数函数、对数函数、幂函数，想到它们的图象和性质基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数 a的值不确定时，要注意分 a1和 01时，两函数在定义域内都为增函数；当 00和 0时，设 g(x) x2， h(x)ln x，如图，分别作出两个函数的图象，4由图可知，两函数图
4、象有两个交点，所以函数 f(x)在 x0时有两个零点综上，函数 f(x)有 3个零点，故选 C.答案 C快速审题 看到函数的零点，想到求方程的根或转化为函数图象的交点角度 2：应用零点求参数的值(范围)解析 在平面直角坐标系中作出函数 y f(x)的图象，如图，而函数 y mx 恒过12定点 ，设过点 与函数 yln x的图象相切的直线为 l1，切点坐标为(0， 12) (0， 12)(x0，ln x0)因为 yln x的导函数 y ，所以图中 yln x的切线 l1的斜率为 k ，1x 1x0则 ，解得 x0 ，所以 k .又图中 l2的斜率为 ，故当方程 f(x) mx 恰1x0 lnx0
5、 12x0 0 e 1e 12 125有四个不相等的实数根时，实数 m的取值范围是 .(12， ee)答案 (12， ee)探究追问 将例 2中“方程 f(x) mx 恰有四个不相等的实数根”改为“方程 f(x)12 m 恰有三个不相等的实数根” ，结果如何？(x54)解析 在平面直角坐标系中作出函数 y f(x)的图象，如图函数 y m 恒过(x54)定点 ，设过点 与函数 y1 x2的图象相切的直线为 l1，设切点坐标为( x0,1 x(54， 0) (54， 0)，因为 y1 x2(x1)的导函数 y2 x0，所以切线 l1斜率 k2 x0，则2 x020，解得 x0 或 x02(舍)所
6、以直线 l1的斜率为1，结合图可知，当方程 f(x) m1 x20x0 54 12恰有三个不相等的实根时，实数 m的取值范围是(1,0)(x54)答案 (1,0)(1)判断函数零点个数的 3种方法6(2)利用函数零点的情况求参数值(或范围)的 3种方法对点训练1角度 1已知函数 f(x) log 2x.在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )6xA(0,1) B(1,2)C(2,4) D(4，)解析 易知 f(x)是单调递减函数 f(1)6log 2160， f(2)3log 2220， f(3)2log 230， f(4) log 24 20，函数 f(x)Error!若关于 x的方程
7、 f(x) ax恰有 2个互异的实数解，则 a的取值范围是_解析 设 g(x) f(x) axError!方程 f(x) ax恰有 2个互异的实数解即函数 y g(x)有两个零点，即 y g(x)的图象与 x轴有 2个交点，满足条件的 y g(x)的图象有以下两种情况：情况一：则Error!40，则|ln t|3，解得 te 3或 te 3 ，12若 x0，则 2x1e 3或 2x1e 3 ，解得 x (舍)或 x ；e3 12 e 3 12若 x0，则|ln x|e 3或|ln x|e 3 ，解得 xee 3或 ee 3或 ee3 或 ee 3 ，故一共有 5个根，选 C.答案 C2(201
8、8安徽马鞍山一模)已知函数 f(x)Error!若关于 x的方程 f(x)2( a1)f(x) a0 有 7个不等的实数根，则实数 a的取值范围是( )A1,2 B(1,2)C(2，1) D2，1解析 函数 f(x)Error!的图象如图：关于 x的方程 f(x)2( a1) f(x) a0 有 7个不等的实数根，即 f(x) af(x)10 有 7个不等的实数根，易知 f(x)1 有 3个不等的实数根， f(x) a必须有 4个不相等的实数根，由函数 f(x)的图象可知 a(1,2)， a(2，1)故选 C.答案 C专题跟踪训练(十一)一、选择题解析 13答案 C解析 根据零点存在性定理可得
9、函数零点所在区间为 ，(13， 12)即所求交点横坐标所在区间为 ，故选 B.(13， 12)答案 B3(2018孝感一模)若函数 f(x)( m2) x2 mx(2 m1)的两个零点分别在区间14(1,0)和区间(1,2)内，则实数 m的取值范围是( )A. B.(12， 14) ( 14， 12)C. D.(14， 12) 14， 12解析 依题意并结合函数 f(x)的图象可知，Error!即Error!解得 0时， F(x) xx( a1)，函数 F(x)有 2个零点，1 a0， a0时， 0时， f(2)4 a4 a18 a1， f(3)3 a1. f(2)f(3)，即 f(x)max
10、 f(2)8 a14， a ；当 a3000)元，则租赁公司月收益为y (x150) 50，整理得(100x 300050 ) x 300050y 162 x21000 (x4050) 2307050.x250 150所以当 x4050 时， y取最大值为 307050，即当每辆车的月租金定为 4050元时，租赁公司的月收益最大为 307050元答案 4050三、解答题10(2018唐山一中期末)已知函数 f(x)e xe x(xR，且 e为自然对数的底数)(1)判断函数 f(x)的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数 t，使不等式 f(x t) f(x2 t2)0 对一切 xR 都成立？若存在
11、，求出 t；若不存在，请说明理由解 (1) f(x)e x x，(1e) f( x)e x x，(1e) f( x)0对任意 xR 都成立， f(x)在 R上是增函数又 f(x)的定义域为 R，且 f( x)e xe x f(x)， f(x)是奇函数(2)存在由(1)知 f(x)在 R上是增函数和奇函数，则f(x t) f(x2 t2)0 对一切 xR 都成立，f(x2 t2) f(t x)对一切 xR 都成立，x2 t2 t x对一切 xR 都成立，t2 t x2 x 2 对一切 xR 都成立，(x12) 1417t2 t( x2 x)min t2 t14 14 20，(t12)又 20，
12、20，(t12) (t 12) t .12存在 t ，使不等式 f(x t) f(x2 t2)0 对一切 xR 都成立1211(2018江西三校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P(单位：万元)、种黄瓜的年收入 Q(单位：万元)与投入 a(单位：万元)满足 P804 ， Q a120，设2a14甲大棚的投入为 x(单位：万元)，每年两个大棚的总收
13、益为 f(x)(单位：万元)(1)求 f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益 f(x)最大？解 (1)依题意 f(x)804 (200 x)120 x4 250，其中Error!2x14 14 2x所以 20 x180.故 f(50) 504 250277.5.14 250(2)由(1)知 f(x) x4 250(20 x180)，14 2x令 t，则 2 t6 ，x 5 5y t24 t250 (t8 )2282，14 2 14 2因此当 t8 时，函数取得最大值 282，此时 x128，2故投入甲大棚 128万元，乙大棚 72万元时，总收益最大，最大总收益是
14、282万元12(2018江西吉安一中摸底)已知函数 f(x)Error!若关于 x的方程 f(x)2 f(x) t0 有三个不同的实数根，求实数 t的取值范围解 原问题等价于 f(x)2 f(x) t有三个不同的实数根，即直线 y t与 y f(x)2 f(x)的图象有三个不同的交点当 x0 时， y f(x)2 f(x)e 2xe x为增函数，在 x0 处取得最小值 2，其图象与直线 y t最多只有一个交点18当 x0时， y f(x)2 f(x)lg( x)2lg( x)，根据复合函数的单调性，其在(，0)上先减后增，最小值为 .14所以要使函数的图象有三个不同的交点，只需 t2，解得 t2.
