1、13 数列的创新考法与学科素养提分策略一 探究命题情景应用能力此类问题多以新定义、新运算或实际问题为背景考查数列的有关计算问题(2017高考全国卷)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是20，接下来的两项是2 0,21，再接下来的三项是2 0,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数 N： N100且该数列的前 N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是( )A440 B330C220 D110解
2、析：设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第 n组的项数为 n，前 n组的项数和为 .nn 12由题意可知， N100，令 100，nn 12得 n14， nN *，即 N出现在第13组之后易得第 n组的所有项的和为 2 n1，前 n组的所有项的和为 n2 n1 n1 2n1 2 21 2n1 22.设满足条件的 N在第 k1( kN *， k13)组，且第 N项为第 k1组的第t(tN *)个数，若要使前 N项和为2的整数幂，则第 k1组的前t项的和2 t1应与2 k互为相反数，即2 t1 k2，2 t k3，tlog 2(k3)，当t4， k13时，
3、N 495100，不满足题意；当 t5， k291313 12时， N 5440；当t5时， N440，故选 A.2929 12答案：A点评 本题以软件激活码为背景考查了学生利用逻辑推理分析问题解决新问题的能力，实质上考查了数列求和的应用2对点训练若数列 an满足 d(nN *， d为常数)，则称数列 an为“调和数列”，已知正项1an 1 1an数列 为“调和数列”，且 b1 b2 b2 01920 190，则 b2b2 1bn018的最大值是_解析：因为数列 是“调和数列”，所以 bn1 bn d，1bn即数列 bn是等差数列，所以 b1 b2 b2 019 20 190，2 019b1
4、b2 0192 2 019b2 b2 0182所以 b2 b2 01820.又 0，所以 b20， b2 0180，1bn所以 b2 b2 018202 ，b2b2 018即 b2b2 018100(当且仅当 b2 b2 018时等号成立)，因此 b2b2 018的最大值为100.答案：100提分策略二 引入数学文化考核心素养(2017高考全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A1盏 B3盏C5盏 D9盏解析：每层塔所
5、挂的灯数从上到下构成等比数列，记为 an，则前7项的和 S7381，公比 q2，依题意，得 S7 381，解得 a13.a11 271 2答案：B点评 本例以古代传统文化为背景，考查了与等差数列的通项及前 n项和有关的计算问题3对点训练1(2018衡水中学调研)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几日相逢？( )A12日 B16日C8日 D9日解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为 an10313( n1)13 n90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为
6、bn97 (n1) n12 12 ，二马相逢时所走路程之和为21 1252 250，所以 2 1952 na1 an2 nb1 bn2250，即 2 n103 13n 902 n97 12n 19522250，化简得 n231 n3600，解得 n9或 n40(舍去)，故选D.答案：D2传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列 an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn，可以推测：(1)b2 012是数列 an中的第_项；(2)b2k1 _(用 k表示)解析：由题意可得 an123
7、n ， nN *，故 b1 a4， b2 a5， b3 a9，nn 12b4 a10， b5 a14， b6 a15，由上述规律可知： b2k a5k (k为正整数)， b2k1 a5k5k5k 121 ，5k 15k 1 12 5k5k 12故 b2 012 b21 006 a51 006 a5 030，即 b2 012是数列 an中的第5 030项答案：(1)5 030 (2)5k5k 124提分策略三 引入临界知识考学科潜力高等数学背景型临界问题对于一切实数 x，令 x为不大于 x的最大整数，则函数 f(x) x称为高斯函数或取整函数若 an f( )， nN *， Sn为数列 an的前
8、 n项和，则 S3n( )n3A. n2 n B. n2 n32 12 32 12C3 n22 n D. n2 n92 32解析：由题意，当 n3 k， n3 k1， n3 k2时均有 an f( ) k，所以 S3n0n3 n3011 22 ( n1)( n1)( n1 n3 (n1)13个 2 3个 3个 1 n 12 n n2 n.32 12答案：A点评 本题以高斯函数为背景考查数列求和问题对点训练设无穷数列 an，如果存在常数 A，对于任意给定的正数 (无论多小)，总存在正整数 N，使得 n N时，恒有| an A| 成立，则称数列 an的极限为 A.给出下列四个无穷数列：(1) n2
9、； ；113 135 157 12n 12n 1；1222 232 3 n2n112 122 123 12n 1其中极限为2的数列的个数为( )A4 B3C2 D1解析：对于，| an2|(1) n22|2|(1) n1|，当 n是偶数时，| an2|0；当 n是奇数时，| an2|4，所以不符合数列 an的极限定义，即2不是数列(1) n2的极限对于，| an2| Error!Error!|113 135 157 12n 12n 1 2| 1251 1，所以对于任意给定的正数 (无论多小)，不存在正整数 N，使得 n N时，n 12n 1恒有| an2| ，即2不是数列 的极限113 135
10、 157 12n 12n 1对于，由| an2| ，得 n1|112 122 123 12n 1 2| |1(1 12n)1 12 2| 22nlog 2 ，即对于任意给定的正数 (无论多小)，总存在正整数 N，使得 n N时，恒有| an2| 成立，所以2是数列的极限对于，| an2|1222 232 3 n2n112 122 123 12n 12|22 232 3 n2n1，所以对于任意给定的正数 (无论多小)，不存在正整数 N，使得 n N时，恒有| an2| ，即2不是数列1222 232 3 n2n的极限综上所述，极限为2的数列只有1个答案：D授课提示：对应学生用书第133页一、选择
11、题1在数列 an中， nN *，若 k(k为常数)，则称 an为“等差比数列”an 2 an 1an 1 an，下列是对“等差比数列”的判断： k不可能为0；等差数列一定是“等差比数列”；等比数列一定是“等差比数列”；“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是( )A BC D解析：由等差比数列的定义可知， k不为0，所以正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以错误；当 an是等比数列，且公比 q61时， an不是等差比数列，所以错误；数列0,1,0,1，是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以正确答案：C2九章算术是我国古代的数学名著，书
12、中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A. 钱 B. 钱54 53C. 钱 D. 钱32 43解析：设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，依题意有Error!解得Error!故选D.答案：D3宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令落一形(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一
13、形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为( )A91 B105C120 D210解析：由题意得，从上往下第 n层茭草束数为123 n .nn 12136 680，nn 12即 n(n1) ( n2)680，1216nn 12n 1 12nn 1 16 n(n1)( n2)151617， n15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为 105.14152答案：B4(2018成都联考)等差数列 an中的 a3， a2 017是函数 f(x) x36 x24 x1的两个
14、不同的极值点，则 a1 010的值为( )7A2 B12C2 D12解析：由题易得 f( x)3 x212 x4，因为 a3， a2 017是函数 f(x) x36 x24 x1的两个不同的极值点，所以 a3， a2 017是方程3 x212 x40的两个不等实数根，所以 a3 a2 0174.又数列 an为等差数列，所以 a3 a2 0172 a1 010，即 a1 0102，从而 a1 0102 ，故选B.12答案：B5已知数列 an的前 n项和为 Sn，点( n， Sn3)( nN*)在函数 y32 x的图象上，等比数列 bn满足 bn bn1 an(nN *)，其前 n项和为T n，则
15、下列结论正确的是( )A Sn2T n BT n2 bn1CT n an DT n bn1答案：D6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则第二天走了( )A192里 B96里C48里 D24里解析：设等比数列 an的首项为 a1，公比 q ，依题意有 378，解得 a11912a11 1261 122，则 a2192 96，即第二天走了96里，故选B.12答案：B7我国古代数学名著
16、九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1， ， ， ， .12 13 14 1n第二步：将数列的各项乘以 n，得数列(记为) a1， a2， a3， an.则 a1a2 a2a3 an1 an等于( )A n2 B( n1) 28C n(n1) D n(n1)解析： a1a2 a2a3 an1 an n1 n2 n2 n3 nn 1 nn n2112 123 1n 1n n2(112 12 13 1n 1 1n) n2 n(n1)n 1n答案：C8(2018衡水中学期末改编)已知函数 f(x)在R上的图象是连续不断的一条曲线，当 x0时， f(x)2，对任
17、意的 x， yR， f(x) f(y) f(x y)2成立，若数列 an满足 a1f(0)，且 f(an1 ) f( )， nN *，则 a2 018的值为( )anan 3A2 B.6232 017 1C. D.2232 017 1 2232 016 1解析：令 x y0得 f(0)2，所以 a12.设 x1， x2是R上的任意两个数，且 x1 x2，则 x2 x10，因为当 x0时， f(x)2，所以 f(x2 x1)2，即 f(x2) f(x2 x1 x1) f(x2 x1) f(x1)22 f(x1)2 f(x1)，所以 f(x)在R上是减函数因为 f(an1 ) f( )，anan
18、3所以 an1 ，即 1，anan 3 1an 1 3an所以 3( )，1an 1 12 1an 12所以 是以1为首项，3为公比的等比数列，1an 12所以 3 n1 ，即 an .1an 12 223n 1 1所以 a2 018 .故选C.2232 017 1答案：C9二、填空题9意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列 an称为斐波那契数列，则 iai2 9i 1a9i 1a的值为_2i 1解析：由题意，得 a1a3 a 1211
19、， a2a4 a 1341， a3a5 a 252 23 2491， a4a6 a 38251， a8a10 a 215534 21， a9a11 a 3425 29 2108955 21，所以 iai2 (aiai2 a )1.9i 1a9i 1a2i 19i 1 2i 1答案：110“中国剩余定理”又称“孙子定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 016这2 016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 an，则此数列的项数为_解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故 an15 n14.由 an15
20、n142 016，解得 n ，又 nN *，故此数列的项数为135.4063答案：13511已知幂函数 f(x) x 的图象过点(9,3)，令 an (nN *)，记数列 an1fn 1 fn的前 n项和为 Sn，则 S2 018_.解析：由幂函数 f(x) x 的图象过点(9,3)，可得9 3，解得 ，所以 f(x) x12 12，则 an .所以 S2 018 a1 a2 a2 018 11fn 1 fn 1n 1 n n 1 n 2 1.3 2 2 019 2 018 2 019答案： 12 01912定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个列叫作等
21、差列，这个常数叫作等差列的公差已知向量列 an是以 a1(1,3)为首项，公差为 d(1,0)的等差向量列，若向量 an与非零向量 bn( xn， xn1 )(nN *)垂直，则_.x10x1解析：易知 an(1,3)( n1,0)( n,3)，因为向量 an与非零向量 bn( xn， xn1 )(n10N*)垂直，所以 ，所以 xn 1xn n3 x10x1 x2x1 x3x2 x4x3 x5x4 x6x5 x7x6 x8x7 x9x8 x10x9 ( 13) .(23) ( 33) ( 43) ( 53) ( 63) ( 73) ( 83) ( 93) 4 480243答案：4 48024
22、3三、解答题13(2018临川模拟)若数列 bn对于任意的 nN *，都有 bn2 bnd(常数)，则称数列 bn是公差为d的准等差数列如数列 cnError!则数列 cn是公差为8的准等差数列设数列 an满足 a1 a，对于 nN *，都有 an an1 2 n.(1)求证： an是准等差数列；(2)求 an的通项公式及前20项和 S20.解析：(1)证明： an an1 2 n(nN *)， an1 an2 2( n1)( nN *)，得 an2 an2( nN *) an是公差为2的准等差数列(2) a1 a， an an1 2 n(nN *)， a1 a221，即 a22 a.其奇数项
23、与偶数项都为等差数列，公差为2，当 n为偶数时， an2 a( 1)2 n a；n2当 n为奇数时， an a( 1)2 n a1.n 12 anError! an an1 2 n， S20( a1 a2)( a3 a4)( a19 a20)2(1319)2101 192200.14(2018孝感七校联盟)已知等差数列 an的前 n项和为 Sn， nN *，且 a23， S525.(1)求数列 an的通项公式；(2)若数列 bn满足 bn ，记数列 bn的前 n项和为T n，证明：T n1.1SnSn 1解析：(1)设等差数列 an的公差为d.因为 a23， S525，所以Error!解得Er
24、ror!11所以 an2 n1.(2)证明：由(1)知， an2 n1，所以 Sn n2.n1 2n 12所以 bn .1n2n 12 1nn 1 1n 1n 1所以T n b1 b2 b3 bn(1 )( )( )12 12 13 1n 1n 11 1.1n 115已知数列 an满足 a1 ， an1 3 an1( nN *)32(1)求数列 an的通项公式；(2)求证： og3a n2 n.ni 1l 2i解析：(1)由题可知 an1 3( an )，12 12又 a1 ，所以 a1 1，所以数列 an 是以1为首项，3为公比的等比数列32 12 12所以 an 3 n1 ，即 an3 n1 .12 12(2)证明：由(1)知 an3 n1 ，则log 3a 2 log 3(3i1 )2 log 33i1 2( i1)，12 2i 12所以 og3a 2(012 n1)2 n2 n. ni 1l 2i nn 12
