1、1专题提能二 三角与向量的创新考法与学科素养一、选择题1定义：| ab| |a|b|sin ，其中 为向量 a与 b的夹角，若|a| 2， |b| 5， ab 6，则 |ab|等于( )A8 B8C8 或 8 D6解析：由| a|2，| b|5， ab6，可得 25 cos 6cos .又35 0，所以 sin .从而| ab|25 8.45 45答案：B2已知外接圆半径为 R的 ABC的周长为(2 )R，则 sin Asin Bsin C( )3A1 B132 34C. D. 12 32 12 3解析：由正弦定理知 a b c2 R(sin Asin Bsin C)(2 )R，所以 sin
2、3Asin Bsin C1 ，故选 A.32答案：A3设 a， b为非零向量， |b| 2|a|，两组向量 x1， x2， x3， x4和 y1， y2， y3， y4均由2个 a和 2个 b排列而成若 x1y1 x2y2 x3y3 x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则 a与 b的夹角为( )A. B.23 3C. D06解析：设 S x1y1 x2y2 x3y3 x4y4，若 S的表达式中有 0个 ab，则S 2a2 2b2，记为 S1，若 S的表达式中有 2个 ab，则 S a2 b2 2ab，记为 S2，若 S的表达式中有 4个 ab，则 S4 ab，记为 S3.又| b|2|
3、 a|，所以S1 S32 a2 2b2 4ab 2(a b)20， S1 S2 a2 b2 2ab( a b)20， S2 S3( a b)20，所以 S3 S2 S1，故 Smin S34 ab，设 a， b的夹角为 ，则 Smin4 ab8| a|2cos 4| a|2，即 cos ，又 0，所以 .12 3答案：B24已知直角梯形 ABCD中， AD BC， ADC90， AD2， BC1， P是腰 DC上的动点，则| |的最小值为( )PA PB A5 B4C3 D6解析：建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2,0)，设 P(0， y)，C(0， b)，则 B(1， b)，则 3 (2
4、， y)3(1， b y)PA PB (5,3 b4 y)所以| 3 | (0 y b)当 y bPA PB 25 3b 4y 2 34时，| 3 |min5.PA PB 答案：A二、填空题5(2018石家庄质检)非零向量 m， n的夹角为 ，且满足| n| |m|( 0)，向量3组 x1， x2， x3由一个 m和两个 n排列而成，向量组 y1， y2， y3由两个 m和一个 n排列而成，若 x1y1 x2y2 x3y3所有可能值中的最小值为 4m2，则 _.解析：由题意， x1y1 x2y2 x3y3的运算结果有以下两种可能： m2 mn n2 m2 |m|m|cos 2m2( 2 1)3
5、 2m2； mn mn mn3 |m|m|cos m2.又3 32 2 1 2 1( )2 0，所以 m24 m2，即 4，解得 2 32 12 34 32 32.83答案：836定义平面向量的一种运算 ab |a b|a b|sin a， b ，其中 a， b是a与 b的夹角，给出下列命题：若 a， b 90，则 a b a2 b2；若 |a| |b|，则(a b) (a b) 4ab；若 |a| |b|，则 ab 2|a|2；若 a( 1,2)， b( 2,2)，则( a b)b .其中真命题的序号是_10解析：中，因为 a， b 90，则 a b |a b|a b| a2 b2，所以成立
6、；中，因为 |a| b|，所以( a b)，( a b) 90，所以 (a b) (a b) |2a|2b| 4|a|b|，所以不成立；中，因为 |a| |b|，所以3ab |a b|a b|sin a， b| a b|a b| 2| a|2，所以|a b|2 |a b|22成立；中，因为 a(1,2)， b(2,2)，所以 a b(1,4)，sin( a b)， b，所以( a b)b 3 ，所以不成立故真命题的序号是.33434 5 5 33434 453434答案：7设非零向量 a， b的夹角为 ，记 f(a， b) acos bsin .若 e1， e2均为单位向量，且 e1e2 ，则
7、向量 f(e1， e2)与 f(e2， e1)的夹角为_32解析：由 e1e1 ，可得 cos e1， e2 ，32 e1e2|e1|e2| 32故 e1， e2 ， e2， e1 e2， e1 .6 56f(e1， e2) e1cos e2sin e1 e2，6 6 32 12f(e2， e1) e2cos ( e1)sin e1 e2.56 56 12 32f(e1， e2)f(e2， e1)( e1 e2)32 12 e1e20，(12e1 32e2) 32所以 f(e1， e2) f(e2， e1)故向量 f(e1， e2)与 f(e2， e1)的夹角为 .2答案：28对任意两个非零的
8、平面向量 和 ，定义 。 .若平面向量 a， b满足 |a|b| 0， a与 b的夹角 ，且 a。 b和 b。 a都在集合Error!中，则(0，4)a。 b_.解析： a。 b ，abbb |a|b|cos |b|2 |a|cos |b|b。 a .baaa |b|a|cos |a|2 |b|cos |a| ， cos 1.(0，4) 22又| a| b|0，0 1.0 cos 1，即 0 b。 a1.|b|a| |b|a|4 b。 aError!， b。 a .12，得( a。 b)(b。 a)cos 2 ，(12， 1) (a。 b) 1，即 1 a。 b2， a。 b .12 12 3
9、2答案：329三国魏人刘徽，自撰海岛算经 ，专论测高望远其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千岁，令后表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰 A的高度 AH，立两根高均为3丈的标杆 BC和 DE，前后标杆相距 1 000步，使后标杆杆脚 D与前标杆杆脚 B与山峰脚 H在同一直线上，从前标杆杆脚 B退行 123步到 F，人眼著地观测到岛峰， A， C， F三点共线，从后标杆杆脚 D退行 127步到 G，人眼著地观测到岛峰， A， E， G三点也共线，问岛峰
10、的高度 AH_步(古制：1 步6 尺，1 里180 丈1 800 尺300 步)解析：如图所示，由题意知 BC DE5 步， BF123 步，DG127 步，设 AH h步，因为 BC AH，所以 BCF HAF，所以 ，所以 ，即 HF .因为 DE AH，所以 GDEBCAH BFHF 5h 123HF 123h5GHA，所以 ，所以 ，即 HG ，由题意( HG127)( HF123)1 000，即DEAH DGHG 5h 127HG 127h5 41 000， h1 255，即 AH1 255 步127h5 123h5答案：1 255三、解答题10(2018泰安模拟)已知下凸函数 f(
11、x)在定义域内满足 f (x1 x2 xnn ).若函数 ytan x在 上是下凸函数，那么在锐角f x1 f x2 f xnn (0， 2) ABC中，求 tan Atan Btan C的最小值解析：因为 ytan x在 上是下凸函数，则 (tan Atan Btan C)tan(0，2) 13tan ，即 tan Atan Btan C3 ，当且仅当 tan Atan Btan (A B C3 ) 3 3 3C，即 A B C 时，取等号，所以 tan Atan Btan C的最小值为 3 .3 311在 ABC中，边 a， b， c分别是内角 A， B， C所对的边，且满足 2sin B
12、sin 5Asin C，设 B的最大值为 B0.(1)求 B0的值；(2)当 B B0， a3， c6， 时，求 CD的长AD 12DB 解析：(1)由题设及正弦定理知，2 b a c，即 b .a c2由余弦定理知，cos B a2 c2 b22ac a2 c2 (a c2 )22ac 3 a2 c2 2ac8ac .3 2ac 2ac8ac 12当且仅当 a2 c2，即 a c时等号成立 ycos x在(0，)上单调递减， B的最大值 B0 .3(2) B B0 ， a3， c6，3 b 3 ，a2 c2 2accos B 3 c2 a2 b2，即 C ， A ，2 6由 ，知 AD AB
13、2，在 ACD中，AD 12DB 13由余弦定理得 CD .AC2 AD2 2ACADcos CAD 1312在 ABC中，内角 A， B， C所对的边长分别为a， b， c， 8， BAC ， a4.AB AC (1)求 bc的最大值及 的取值范围；(2)求函数 f( ) sin 2 cos 2 1 的最大值和最小值3解析：(1)由已知得 bccos 8， b2 c22 bccos 4 2，AB AC 故 b2 c232.又 b2 c22 bc，所以 bc16(当且仅当 b c4 时等号成立)，即 bc的最大值为 16.即 16，所以 cos .8cos 12又 0 ，所以 0 ，即 的取值范围是 .3 (0， 3(2)f( ) sin 2 cos 2 12sin 1.3 (2 6)6因为 0 ，所以 2 ，3 6 6 56sin 1.12 (2 6)当 2 ，即 时， f( )min2 12；6 56 3 12当 2 ，即 时， f( )max2113.6 2 6
