1、1基础回扣(五) 立体几何要点回扣1空间几何体的三视图在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主对点专练 1 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )答案 A2斜二测画法在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段 “平行于 x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半 ”对点专练 2 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是_2答案 2 23计算空间几何体的表面积和体积(1)分析清楚
2、空间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构成特点；(2)进行合理的转化和一些必要的等积变换对点专练 3 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为 1 的正方形，侧(左)视图是一个直径为 1 的圆，那么这个几何体的表面积为( )A4 B3 C2 D. 32答案 D4与球有关的切接问题长方体外接球半径为 R 时有(2 R)2 a2 b2 c2；棱长为 a 的正四面体内切球半径 ra，外接球半径 R a.612 64对点专练 4 已知正三棱锥 P ABC，点 P， A， B， C 都在半径为 的球面上，若3PA， PB， PC 两两相互垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_答案
3、3335空间直线、平面的位置关系不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错如由 ， l， m l，易误得出 m 的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中 m 的限制条件对点专练 5 已知 b， c 是平面 内的两条直线，则“直线 a ”是“直线a b，直线 a c”的_条件答案 充分不必要6用向量求空间中角的公式(1)直线 l1， l2夹角 有 cos |cos l1， l2|；(2)直线 l 与平面 的夹角 有：sin |cos l， n|(其中 n 是平面 的法向量)；(3)平面 ， 夹角 有 cos |cos n1， n2|，则 l
4、二面角的平面角为 或 .(其中 n1， n2分别是平面 ， 的法向量)对点专练 6 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于_答案 647用空间向量求 A 到平面 的距离公式d .|nAB |n|对点专练 7 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， O 是底面 A1B1C1D1的中心，则点 O到平面 ABC1D1的距离为_答案 24易错盘点易错点 1 三视图认识不清致误【例 1】 已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是_4错解 40003错因分析 没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，
5、不清楚几何体中的几何关系正解 如图所示，作几何体 S ABCD 且知平面 SCD平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，作 SE CD 于点 E，得 SE平面 ABCD 且 SE20. VS ABCD S 正方形 ABCDSE ；13 80003这个几何体的体积是 .80003在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑对点专练 1 5(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A. B. C1
6、D.23 43 13(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱长的值为_解析 (1)由三视图知该几何体是直三棱柱截去一个三棱锥所剩的几何体，底面是直角边为 1 的等腰直角三角形，高为 2，所求体积 V V 柱 V 锥 2 (1211) 132 ，故选 A.(1211) 236(2)依题意，几何体是如图所示的三棱锥 A BCD，其中 CBD120， BD2，点 C 到直线 BD 的距离为 ， BC2， CD2 ， AB2， AB平面 BCD，因此 AC AD2 ，该几3 3 2何体最长棱长的值为 2 .3答案 (1)A (2)2 3易错点 2 线面关系定理条件使用不当致误【例 2】 在
7、正方体 ABCD A1B1C1D1中， E、 F 分别为 DD1、 DB 的中点(1)求证： EF平面 ABC1D1；(2)求证： EF B1C.错解 证明：(1)连接 BD1， E、 F 分别为 DD1、 DB 的中点， EF D1B， EF平面 ABC1D1.(2) AC BD， AC D1D， AC平面 BDD1. EF AC.同理 EF AB1. EF平面 AB1C. EF B1C.错因分析 推理论证不严谨，思路不清晰7正解 证明：(1)连接 BD1，如图所示，在 DD1B 中， E、 F 分别为 DD1、 DB 的中点，则 EF D1B. D1B平面 ABC1D1， EF平面 ABC
8、1D1， EF平面 ABC1D1.(2)在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB面 BCC1B1， B1C AB.又 B1C BC1， AB， BC1平面 ABC1D1， AB BC1 B， B1C平面 ABC1D1， BD1平面 ABC1D1， B1C BD1. EF BD1， EF B1C.证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等对点专练 2 (1)下列命题中错误的是( )A如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行
9、于平面 C如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D如果平面 平面 ， l，过 内任意一点作 l 的垂线 m，则 m (2)已知三条不同直线 m， n， l 与三个不同平面 ， ， ，有下列命题：若 m ， n ，则 m n；若 ， l ，则 l ； ， ，则 ；若 m， n 为异面直线， m ， n ， m ， n ，则 .其中正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3解析 (1)如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l ，A 正确；如果平面 平面 ，那么平面 内平行于交线的直线平行平面 ，B 正确；如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平
10、面 ，C 正确；若此点在直线 l 上，则不能推出 m ，D 错误，故选 D.(2)因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题错误；由直线与平面平行的定义知命题正确；由于垂直于同一个平面的两个平面可能平8行还可能相交，因此命题错误；过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题正确故选 C.答案 (1)D (2)C易错点 3 空间角的范围不清致误【例 3】 如图所示，四棱锥 P ABCD 中，底面四边形 ABCD 是正方形，侧面 PDC 是边长为 a 的正三角形，且平面 PDC底面ABCD， E 为 PC 的中点(1)求异面直线 PA 与 DE 所
11、成的角的余弦值；(2)AP 与平面 ABCD 所成角的正弦值错解 如图所示，取 DC 的中点 O，连接 PO， PDC 为正三角形， PO DC.又平面 PDC平面 ABCD， PO平面 ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz，则 P ， A ， B ，(0， 0，32a) (a， a2， 0) (a， a2， 0)9C ， D .(0，a2， 0) (0， a2， 0)(1)E 为 PC 的中点， E .(0，a4， 34a) ， .DE (0， 34a， 34a) PA (a， a2， 32a) a aPA DE 34 ( a2) 34 ( 32a) a2，| | a，| |
12、a.34 PA 2 DE 32cos ， .PA DE PA DE |PA |DE | 34a22a32a 64异面直线 PA 与 DE 所成的角的余弦值为 .64(2)平面 ABCD 的法向量 n ，(0， 0，32a)cos ， n .PA PA n|PA |n| 34a22a32a 64 AP 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 .64错因分析 本题失分的根本原因是概念不清，混淆了空间角与向量所成角的概念正解 (1)在求出 cos ， 后，PA DE 64异面直线 PA、 DE 所成角是锐角或直角，异面直线 PA、 DE 所成角的余弦值是 .64(2)cos ， n ，PA 64直线 A
13、P 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 .64(1)异面直线 PA 与 DE 所成的角为锐角或直角，余弦值一定非负(2)直线 AP 与平面ABCD 所成的角不是 与平面 ABCD 的法向量所成的角PA 10对点专练 3 如图，已知四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD， AD BC， AD CD，且AB AC， AB AC PA2， E 是 BC 的中点(1)求异面直线 AE 与 PC 所成的角；(2)求二面角 D PC A 的平面角的余弦值解 (1)如图所示，以 A 点为原点建立空间直角坐标系 A xyz，则 B(2,0,0)，C(0,2,0)， P(0,0,2)故 E(1,1,0)
14、， (1,1,0)， (0,2，2)，AE PC cos ， ，即 ， 60，AE PC AE PC |AE |PC | 12 AE PC 故异面直线 AE 与 PC 所成的角为 60.(2)在四边形 ABCD 中， AB AC2， AB AC， ABC ACB45，11 AD BC， DAC ACB45，又 AD CD， AD CD ，2 D(1,1,0)，又 C(0,2,0)， (1，1,0)， (0,2，2)CD PC 设 n( x， y， z)是平面 PCD 的法向量，则 n， n，即 n0， n0，CD PC CD PC Error!，令 x1 得， y1， z1，即 n(1,1,1)，| n| ，3又 AB平面 PAC， (2,0,0)是平面 PAC 的一个法向量，AB cos ， n ，AB AB n|AB |n| 33即二面角 D PC A 的平面角的余弦值为 .33
