1、1基础回扣(六) 解析几何要点回扣1直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k，即ktan ( 90)；倾斜角为 90的直线没有斜率；倾斜角 0，)；(2)经过两点 P1(x1， y1)、 P2(x2， y2)的直线的斜率为 k (x1 x2)y1 y2x1 x2对点专练 1 直线 xcos y20 的倾斜角的范围是_3答案 0， 6 56， )2直线的方程(1)点斜式： y y0 k(x x0)，它不包括垂直于 x 轴的直线(2)斜截式： y kx b，它不包括垂直于 x 轴的直线(3)两点式： ，它不包括垂直于坐标轴的直线y y1y2 y1 x
2、x1x2 x1(4)截距式： 1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线xa yb(5)一般式： Ax By C0( A， B 不同时为 0)对点专练 2 已知直线过点 P(1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_答案 5 x y0 或 x y603点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点 P(x0， y0)到直线 Ax By C0 的距离为 d ；|Ax0 By0 C|A2 B2(2)两平行线 l1： Ax By C10， l2： Ax By C20 间的距离为 d .|C1 C2|A2 B22对点专练 3 两平行直线 3x2 y50 与 6x4 y50 间的距离为_答案
3、1526134两直线的位置关系在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，在用直线一般式方程研究两直线位置关系时， 是两直线平行的充分但不必要条件，同理A1A2 B1B2 C1C2k1k21 也是两直线垂直的充分但不必要条件对点专练 4 设直线 l1： x my60 和 l2：( m2) x3 y2 m0，当 m_时， l1 l2；当 m_时， l1 l2；当_时 l1与 l2相交；当m_时， l1与 l2重合答案 1 m3 且 m1 3125圆的方程在圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F0 中不要忽视条件 D2 E24 F0.对点专练 5 若方程 a2x2( a2) y
4、22 ax a0 表示圆，则 a_.答案 16与圆有关的距离问题在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离对点专练 6 双曲线 1 的左焦点为 F1，顶点为 A1、 A2， P 是双曲线右支上任x2a2 y2b2意一点，则分别以线段 PF1、 A1A2为直径的两圆的位置关系为_答案 内切7圆锥曲线的定义对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字” ，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值” ，否则只是双曲线的其中一支在抛物线的定义中必须注意条件： Fl，否则定点的轨迹可能是过点 F 且垂直于
5、直线 l 的一条直线对点专练 7 已知平面内两定点 A(0,1)， B(0，1)，动点 M 到两定点 A、 B 的距离之和为 4，则动点 M 的轨迹方程是_答案 1x23 y248圆锥曲线的方程求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数3对点专练 8 与双曲线 1 有相同的渐近线，且过点(3,2 )的双曲线方程x29 y216 3为_答案 14x29 y249圆锥曲线的几何性质椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形椭圆的焦点在长轴上，椭圆上的点到焦点的最小距离 a c，最大距离 a c；双曲线的焦点总在实轴
6、上，双曲线上的点到相应焦点的最小距离 c a.对点专练 9 已知 F1、 F2是椭圆 y21 的两个焦点， P 为椭圆上一动点，则使x24|PF1|PF2|取最大值的点 P 为( )A(2,0) B(0,1)C(2,0) D(0,1)或(0，1)答案 D10弦长问题(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，|P1P2| 或1 k2x1 x22 4x1x2|P1P2| .(1 1k2)y1 y22 4y1y2(2)过抛物线 y22 px(p0)焦点 F 的直线 l 交抛物线于 C(x1， y1)、 D(x2， y2)，则弦长|CD| x1 x2 p
7、.对点专练 10 已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点， A， B 是该抛物线上的两点，|AF| BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为_答案 54易错盘点易错点 1 直线倾斜角与斜率关系不清致误【例 1】 已知直线 xsin y0，则该直线的倾斜角的变化范围是_错解 由题意得，直线 xsin y0 的斜率 ksin ，1sin 1，1 k1，直线的倾斜角的变化范围是 . 4， 34 错因分析 直线斜率 ktan ( 为直线的倾斜角)在0，)上是不单调的且不连续正解 由题意得，直线 xsin y0 直线的斜率 ksin ，41sin 1，1 k1，当1 k0，即 3a24 a40.本
8、题的失分原因是忽视了这个条件在解决此类问题时，可以直接判断 D2 E24 F0，也可以配方后，判断方程右侧大于 0，因为右侧相当于 r2.对点专练 3 7(1)若圆 x2 y2 mx 0 与直线 y1 相切，其圆心在 y 轴的左侧，则14m_.(2)已知圆 C 的方程为 x2 y2 ax2 y a20，过点 A(1,2)与圆 C 相切的直线有两条，则 a 的取值范围为_解析 (1)圆的标准方程为 2 y2 2，圆心到直线 y1 的距离(xm2) (m2 12 ) |0(1)|，解得 m ，因为圆心在 y 轴的左侧，所以 m .m2 12 3 3(2)将圆 C 的方程配方有 2( y1) 2 ，
9、 0.(xa2) 4 3a24 4 3a24圆心 C 的坐标为 ，半径 r .(a2， 1) 4 3a22当点 A 在圆外时，过点 A 可作圆的两条切线，| AC|r，即 ，(1 a2)2 2 12 4 3a22化简得 a2 a90.由得 0，方程 1 就表示双曲线错解中错将双曲线误认为焦x2m y2n点在 x 轴上事实上只要 m0， n0； ， ，nm 43 nm b2a2 1698e .1 (ba)2 1 169 53 m0， b0)的渐近x2a2 y2b2线方程为 y x，所以 tan ，所以 b a， c 2 a，故双曲线 C 的离ba ba 3 3 3 a2 b29心率 e 2；ca
10、 2aa当双曲线的焦点在 y 轴上时，由题意知双曲线 C： 1( a0， b0)的渐近线方y2a2 x2b2程为 y x，所以 tan ，所以 a b， c 2 b，故双曲线 C 的离心率ab ab 3 3 3 a2 b2e .ca 2b3b 233综上所述，双曲线 C 的离心率为 2 或 ，故选 B.233答案 (1)B (2)B易错点 5 忽视限制条件致误【例 5】 已知圆 C1：( x3) 2 y21 和圆 C2：( x3) 2 y29，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_错解 如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B.根据两圆外
11、切的条件，得| MC1|AC1| MA|，| MC2| BC2| MB|.因为| MA| MB|，所以| MC1| AC1| MC2| BC2|，即| MC2| MC1| BC2| AC1|2.所以点 M 到两定点 C1、 C2的距离的差是常数又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线，其中 a1， c3，则 b28.故点 M 的轨迹方程为 x2 1.y28错因分析 错误运用双曲线定义出错本题中，| MC2| MC1|2，与双曲线定义相10比，左边少了外层绝对值，因此只能是双曲线的一支如果不注意，就会得出错误的结果，即点 M 的轨迹方程为 x2 1.y28正解 如图所示，设动圆 M 与圆
12、C1及圆 C2分别外切于 A 和 B.根据两圆外切的条件，得| MC1|AC1| MA|，| MC2| BC2| MB|.因为| MA| MB|，所以| MC1| AC1| MC2| BC2|，即| MC2| MC1| BC2| AC1|2.所以点 M 到两定点 C1、 C2的距离的差是常数又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大，与 C1的距离小)，其中 a1， c3，则 b28.故点 M 的轨迹方程为 x2 1( x0)的点的轨迹不一定是双曲线；当定长 2a|F1F2|时，点的轨迹不存在对点专练 5 (1)直线 y kx1( kR)与椭圆 1 恒有公共
13、点则实数 m 的取值范围是( )x25 y2mA(0,1) B(0,5)C1,5)(5，) D(1，)11(2)双曲线 1( a0， b0)的两个焦点为 F1、 F2，若 P 为双曲线上一点，且x2a2 y2b2|PF1|2| PF2|，则双曲线离心率的取值范围为_解析 (1)由于直线恒过点(0,1)，若恒有交点，所以 m1，但是当 m5 时曲线表示的是圆，故选 C.(2)设| PF2| m， F1PF2 (00”致误【例 6】 已知椭圆 C： y21，过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，设x22P 为椭圆上一点，且满足 t (O 为坐标原点)，当| AB|0， k2 .
14、14 t2 8 ，且 12 k2 ，16k21 2k2 81 2k2 32 0 这一条件正解 由题意知直线 AB 的斜率存在，即 t0.设直线 AB 的方程为 y k(x2)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x， y)，由Error!，得(12 k2)x28 k2x8 k220.由 64 k44(2 k21)(8 k22)0，得 k20， k2 .14 0 这一重要条件对点专练 6 如图所示，椭圆 C： 1( ab0)，其中 e ，焦距为 2，过点 M(4,0)的直线 lx2a2 y2b2 12与椭圆 C 交于点 A， B，点 B 在点 A， M 之间又线段 AB 的中点的横
15、坐标为 ，且 .47 AM MB (1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求实数 的值解 (1)由条件可知， c1， a2，故 b2 a2 c23，14椭圆 C 的标准方程是 1.x24 y23(2)设点 A(x1， y1)，点 B(x2， y2)由题知， AB 所在直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y k(x4)由Error!消去 y，得(34 k2)x232 k2x64 k2120，由 32 2k44(4 k23)(64 k212)144(14 k2)0，解得 k2 ，且Error!，14由 ，可得 k2 ，x1 x22 16k24k2 3 47 18将 k2 代入方程，得 7x28 x80，18x1,2 .864 47 827 4627又因为 (4 x1， y1)， ( x24， y2)，AM MB ，AM MB 所以 ，所以 .4 x1x2 4 9 427
