1、1大题专项练习(六) 函数与导数12018黑龙江大庆实验中学月考设函数 f(x) alnx bx2.(1)若函数 f(x)在 x1 处与直线 y 相切，求函数 f(x)在 上的最大值；12 1e， e(2)当 b0 时，若不等式 f(x) m x 对所有的 a ， x(1，e 2都成立，求实0，32数 m 的取值范围22018全国卷已知函数 f(x) aexln x1.(1)设 x2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a 时， f(x)0.1e32018全国卷已知函数 f(x)e x ax2.(1)若 a1，证明：当 x0 时， f(x)1；(2)若 f(
2、x)在(0，)只有一个零点，求 a.42018陕西吴起期中已知函数 f(x) a2lnx ax x2 a.(1)讨论 f(x)在(1，)上的单调性；(2)若 x0(0， )， f(x0)a ，求正数 a 的取值范围12e52018山东实验中学二模已知函数 f(x) .1 lnxx(1)求函数 y f(x)的单调区间；(2)若关于 x 的方程 f(x)e x1 e 1 x k 有实数解，求实数 k 的取值范围；(3)求证 x1( x1)ln x0)，12f( x) x ，1x 1 x2x当 0，1e当 10， h(a)min h(0) x，3 m x 对 x(1，e 2都成立， me 2.即实数
3、 m 的取值范围是(，e 22解析：(1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) aex .1x由题设知， f(2)0，所以 a .12e2从而 f(x) exln x1， f( x) ex .12e2 12e2 1x当 02 时， f( x)0.所以 f(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增(2)当 a 时， f(x) ln x1.1e exe设 g(x) ln x1，则 g( x) .exe exe 1x当 01 时， g( x)0.所以 x1 是 g(x)的最小值点故当 x0 时， g(x) g(1)0.因此，当 a 时， f(x)0.1e3解析：(1)证明：当 a1 时，
4、f(x)1 等价于( x21)e x10.设函数 g(x)( x21)e x1，则 g( x)( x22 x1)e x( x1) 2e x.当 x1 时， g( x)0， h(x)没有零点；(ii)当 a0 时， h( x) ax(x2)e x.当 x(0,2)时， h( x)0.所以 h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增故 h(2)1 是 h(x)在0，)的最小值4ae2若 h(2)0，即 a ，e24由于 h(0)1，所以 h(x)在(0,2)有一个零点；由(1)知，当 x0 时，e xx2，所以 h(4a)1 1 1 1 0，故 h(x)在(2,4 a)有一个零点16a3e4
5、a 16a3 e2a 2 16a3 2a 4 1a因此 h(x)在(0，)有两个零点综上， f(x)在(0，)只有一个零点时， a .e244解析：(1) f( x) a2 x (x0)，a2x 2x a x ax当 a1 时，10， f(x)为增函数；xa 时， f( x) ， f( x)0， f(x)为增函数；a2当2 a0 时， f( x)1 时， f(x)在( a，)上单调递减，在(1， a)上单调递增(2) a0，当 xa 时， f( x)0， f(x)为增函数， f(x)max f(a) a2lna a，若 x0(0 ， )， f(x0)a ，12e只需 f(a)a ，12e即 a
6、2lna aa ，12e即 a2lna 0.12e设 g(x) x2lnx ，12eg( x)2 xlnx x x(2lnx1)当 xe 时， g( x)0；当 00， f(x)为增函数，当 x1 时， f( x)1 时， g( x)0， g(x)为增函数， g(x)min g(1)2 k，若关于 x 的方程 f(x)e x1 e 1 x k 有实数解， f(x)max g(x)min， f(1)12 k， k1.(3)原不等式等价于 ，exx 11 lnxx令 h(x) ， h( x) ，exx 1 ex x 1 ex x 1 2 xex x 1 25当 x0 时， h( x)0， h(x)在(0，)上为增函数，h(0) 1， h(x)1，e00 1由(1)知 f(x)min f(1)1， ，exx 11 lnxx即 x1( x1)ln x0 时， f( x)0， f(x)递增，当 x0 时，由 f( x)0，得 x0 或 xln t.当 00 时， f( x)0， f(x)单调递增，当 lnt0， f(x)递增，当 t1 时，ln t0，当 xlnt 或 x0， f(x)单调递增，当 01 时， f(x)在(，0)，(ln t，)上是增函数，在(0，ln t)上是减函数
