1、1第 2讲 基本初等函数、函数与方程1.(1)2016全国卷 若 ab1,01)的取值不同,单调性不同 .(2) 解决含字母指数、对数比较大小的问题,关键一:将不等式两边转化成同底的对数或指数不等式;关键二:利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性或图像比较大小 . (特殊值法)取特殊值,例如 a=4,b=2,c= . (排除法) 将选项中给出的不等式结合已知条件逐个验证排除 .2.(1)2017全国卷 已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则 a= ( )A.- B.C. D.1(2)2014全国卷 已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的
2、零点 x0,且 x00,则 a的取值范围是 ( )A.(2,+ ) B.(1,+ )C.(- ,-2) D.(- ,-1)试做 2命题角度 含参函数有唯一零点的问题 关键一:观察函数是否具有某种对称性;关键二:求出 f(x),根据 f(x)的单调性画出函数 f(x)的大致图像;关键三:分离参数,注意验证 x=0是否是零点;关键四:数形结合法,对解析式进行变形,转化为两个函数的图像有一个交点 . 含参数的问题注意分类讨论 .3.2018全国卷 已知函数 f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若 g(x)存在 2个零点,则a的取值范围是 ( )A.-1,0) B.0,+ )C.-1,+ ) D.
3、1,+ )试做 命题角度 据函数零点(方程的根)求参 直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围 . 分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决 . 数形结合法:先将解析式变形,转化为两函数图像的交点问题,在同一平面直角坐标系中画出两函数的图像,再数形结合求解 .小题 1基本初等函数的图像与性质1 (1)已知函数 f(x)在定义域(0, + )上是单调函数,若对于任意 x(0, + ),都有 f=2,则 f 的值是 ( )A.5 B.6C.7 D.8(2)已知函数 f(x)=ex+2(x1,0logb2018B.logba(c-b)baD.(a-c)
4、ac(a-c)ab4.在同一直角坐标系中,函数 f(x)=2-ax和 g(x)=loga(x+2)(a0且 a1)的大致图像可能为 ( )A BC D图 M1-2-1小题 2函数的零点2 (1)已知函数 f(x)= 则函数 F(x)=ff(x)-f(x)-1的零点个数是 ( )A.7 B.6C.5 D.4(2)已知函数 f(x)= 若 f(x)在区间0, + )上有且只有 2个零点,则实数 m的取值范围是 . 听课笔记 【考场点拨】4判断函数零点的方法:(1)解方程法,即解方程 f(x)=0,方程有几个解,函数 f(x)有几个零点;(2)图像法,画出函数 f(x)的图像,图像与 x轴的交点个数
5、即为函数 f(x)的零点个数;(3)数形结合法,即把函数等价地转化为两个函数,通过判断两个函数图像的交点个数得出函数的零点个数;(4)利用零点存在性定理判断 .【自我检测】1.已知函数 f(x)= -log3x,则下列区间中包含 f(x)零点的是 ( )A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)2.函数 f(x)=2x- 的零点个数为 ( )A.0 B.1C.2 D.33.已知定义在 R上的奇函数 f(x)满足:当 x0时, f(x)=2x+2x-4,则 f(x)的零点个数是 ( )A.2 B.3C.4 D.54.已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)+3m有 3个
6、零点,则实数 m的取值范围是 . 小题 3函数建模与信息题3 (1)某食品的保鲜时间 y(单位:h)与储存温度 x(单位:)满足函数关系式y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数, k,b为常数) .若该食品在 0 的保鲜时间为 192 h,在 22 的保鲜时间是 48 h,则该食品在 33 的保鲜时间为 h .(2)如果函数 f(x)在其定义域内总存在三个不同实数 x1,x2,x3满足 |xi-2|f(xi)=1(i=1,2,3),则称函数 f(x)具有性质 . 已知函数 f(x)=aex具有性质 ,则实数 a的取值范围为 . 听课笔记 【考场点拨】(1)构建函数模型解决实际问题的失分
7、点: 不能选择相应变量得到函数模型; 构建的函数模型有误; 忽视函数模型中变量的实际意义 .(2)解决新概念信息题的关键: 依据新概念进行分析; 有意识地运用转化思想,将新问题转化为我们所熟知的问题 .【自我检测】1.国家规定某行业收入税如下:年收入在 280万元及以下的税率为 p%;超过 280万元的部分按( p+2)%征税 .现有一家公司的实际缴税比例为( p+0.25)%,则该公司的年收入是( )A.560万元 B.420万元C.350万元 D.320万元2.函数 f(x)的定义域为 D,若满足 f(x)在 D内是单调函数,且存在 a,bD,使得 f(x)在a,b上的值域为 ,则称函数
8、f(x)为“成功函数” .若函数 f(x)=logm(mx+2t)(其中 m05且 m1)是“成功函数”,则实数 t的取值范围为 ( )A.(0,+ ) B.C. D.6第 2讲 基本初等函数、函数与方程典型真题研析1.(1)C (2)B (3)D 解析 (1)根据幂函数性质,选项 A中的不等式不成立;选项 B中的不等式可化为 bc-1 = =logab,此时 1,0 ,进而 lg a 0,b1),则 x=log2t,y=log3t,z=log5t,所以 2x=2log2t=lo t,3y=3log3t=lot,5z=5log5t=lo t,又 t1,所以上述三个值中底数大的反而小,故只需比较
9、 , ,的大小即可 .因为( )6=8125=( )15,所以25=( )10,所以 0即可,解得 a0,则 f(x)极大值 =f(0)=10,此时函数 f(x)一定存在小于零的零点,不符合题意 .综上可知,实数 a的取值范围为( - ,-2).3.C 解析 函数 g(x)=f(x)+x+a有两个零点,即方程 f(x)=-x-a有两个不同的解,即函数f(x)的图像与直线 y=-x-a有两个不同的交点 .分别作出函数 f(x)的图像与直线 y=-x-a,由图可知,当 -a1,即 a -1时,函数 f(x)的图像与直线 y=-x-a有两个不同的交点,即函数g(x)有两个零点 .7考点考法探究小题
10、1例 1(1)B (2)B 解析 (1)因为函数 f(x)在定义域(0, + )上是单调函数,且 f =2恒成立,所以 f(x)- 为一个大于 0的常数,令这个常数为 n(n0),则有 f(x)- =n,且 f(n)=2,所以 f(n)= +n=2,解得 n=1,所以 f(x)=1+ ,所以 f =6,故选 B.(2)由题意知,方程 f(-x)-g(x)=0在(0, + )上有解,即 e-x+2-ln(x+a)-2=0在(0, + )上有解,即函数 y=e-x与 y=ln(x+a)的图像在(0, + )上有交点 .由图可知,将函数 y=ln x的图像向左平移到过点(0,1)时,两函数的图像在(
11、0, + )上开始有交点,把(0,1)代入 y=ln(x+a),得 1=ln a,即 a=e,a0logb2018,logba 1,00, (c-b)ca(c-b)ba,(a-c)ac0时,函数 f(x)=2-ax为减函数 .若 01,则函数 f(x)=2-ax的零点 x0= (0,2),且函数 g(x)=loga(x+2)在( -2,+ )上为增函数 .综上得,正确答案为 A.小题 28例 2(1)A (2)解析 (1)令 f(x)=t(t0), F(x)=0,则 f(t)-t-1=0.作出函数 y=f(t)和 y=t+1的图像如图所示,结合图像可得 f(t)-t-1=0的根 t1=0,t2
12、=1,t3(1,2) .方程 f(x)=0有 1个解,方程f(x)=1有 3个解,方程 f(x)=t3有 3个解,故函数 F(x)的零点个数是 7.故选 A.(2)当 0 x1 时,函数的零点满足 2x2+2mx-1=0,很明显 x=0不是其零点,则 m=-x+ .当 x1时,函数的零点满足 mx+2=0,则 m= .则原问题等价于函数 y=m与函数 g(x)= 的图像有两个不同的交点,求实数 m的取值范围 .很明显 y=-x+ (00,f(3)= -log33=- 0时单调递增,故当 x0时函数有 1个零点 .根据奇函数的对称性可知,当 x0,即 g(x)在2, + )上单调递增;当 x .
13、【自我检测】1.D 解析 设该公司的年收入为 a万元,则 280p%+(a-280)(p+2)%=a(p+0.25)%,解得 a=320.故选 D.2.D 解析 无论 m1还是 0 0),则 mx+2t= 可化为 2t=- 2=-+ ,结合图像(图略)可得 t .备选理由 例 1考查对数函数,要求熟悉对数函数的图像与性质,重点是数形结合思想的应用;例 2考查零点问题,需要将问题转化为研究三角函数与绝对值函数图像的交点问题,特别是要熟知绝对值函数 y=|x+a|的图像关于直线 x=-a对称;例 3是一个新概念题,依据新概念的要求逐一判断 .例 1 配例 1使用 已知函数 f(x)是奇函数,定义域
14、为 R,且当 x0时, f(x)=lg x,则满足(x-1)f(x)1时, f(x)0,即 -1x0.故满足( x-1)f(x)0的实数 x的取值范围是( -1,0).例 2 配例 2使用 已知 M是函数 f(x)=|2x-3|-8sin x(xR)的所有零点之和,则 M的值为 ( )A.3 B.6C.9 D.12解析 D 因为 f(3-x)=|3-2x|-8sin(3 - x)=|2x-3|-8sin x=f(x),所以 f(x)的图像关于直线 x= 对称 .作出函数 y=|2x-3|和 y=8sin x的图像(图略),由图知, f(x)有 8个零点,所以所有零点之和为 42 =12,故选
15、D.例 3 配例 3使用 已知 f(x)是定义在 D上的函数,若存在 m,nD,使函数 f(x)在 m,n上的值域恰为 km,kn,则称函数 f(x)是“ k型函数” .给出下列说法:f (x)=3- 不可能是“ k型函数”; 若函数 f(x)= (a0)是“1 型函数”,则 n-m的最大值为 ;11 若函数 f(x)=- x2+x是“3 型函数”,则 m=-4,n=0; 设函数 f(x)=x3+2x2+x(x0)是“ k型函数”,则 k的最小值为 .其中正确的说法为 .(填入所有正确说法的序号) 答案 解析 对于 ,f(x)的定义域是 x|x0,且 f(2)=3- =1,f(4)=3- =2
16、,f (x)在2,4上的值域是1,2, f (x)是“ 型函数”, 错误;对于 ,f(x)= (a0)是“1 型函数”,即( a2+a)x-1=a2x2,a 2x2-(a2+a)x+1=0, 方程两根之差的绝对值 |x1-x2|= = ,即 n-m的最大值为 , 正确;对于 ,f(x)=- x2+x是“3 型函数”,即 - x2+x=3x,解得 x=0或 x=-4,m=- 4,n=0, 正确;对于 ,f(x)=x3+2x2+x(x0)是“ k型函数”,则 x3+2x2+x=kx有两个不等负实数根,即 x2+2x+(1-k)=0有两个不等负实数根, 解得 0k1, 错误 .综上,正确的说法是 .
