1、1第 3 讲 不等式1.(1)2017山东卷 若直线 + =1(a0,b0)过点(1,2),则 2a+b 的最小值为 . (2)2018天津卷 已知 a,bR,且 a-3b+6=0,则 2a+ 的最小值为 . 试做_命题角度 利用基本不等式求最值关键一,确定定值式(已知中是和为定值还是积为定值);关键二,将待求式变形,利用基本不等式转换成定值式 .2.(1)2018全国卷 若 x,y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为 . (2)2017全国卷 设 x,y 满足约束条件 则 z=3x-2y 的最小值为 . 试做_命题角度 求线性目标函数的最值关键一,直线定界,特殊点定域;关键二,在目标函
2、数 z=ax+by 中,若 b0,则纵截距 取最大(小)值时 z 取最大(小)值,若 b B. 2b D.a3b3(2)已知当 -1 a1 时, x2+(a-4)x+4-2a0 恒成立,则实数 x 的取值范围是 . 听课笔记 _【考场点拨】高考常考不等式的易失分点:一元二次不等式是利用二次函数的图像和性质去求解的,但注意图像的开口方向会影响x 的取值范围;解分式不等式、高次不等式可转化为一元二次不等式或利用数轴标根法去解决,有时解分式不等式会忽略分母不等于零的情况 .【自我检测】31.设集合 M=x|x2-x0,N= x 0,b0,若不等式 + 恒成立,则 m 的最大值为 ( )A.9 B.1
3、2 C.18 D.24(2)已知正实数 a,b,c 满足 a2-ab+4b2-c=0,当 取得最小值时, a+b-c 的最大值为 ( )A.2 B. C. D.听课笔记 _【考场点拨】高考中使用基本不等式求最值的易失分点:(1)基本不等式 a+b2 成立的条件是 a0,b0,而不等式 a2+b22 ab 对任意实数 a,b都成立,因此在使用时要注意其前提条件;(2)多次使用基本不等式时,要考虑等号是不是能同时成立;(3)对于 x+ (a0)型不等式,不能简单地利用基本不等式求得 x+ 2 ,而是要判断 x的取值范围能否使 x+ 取到最小值 2 ,若不能,则需要利用函数的单调性计算其最小值 .【
4、自我检测】41.已知 a,b 均为正实数,且 a+b=3,则 + 的最小值为 ( )A. B. C. D.2.已知 x0,y0,2x+3xy=6,则 2x+3y 的最小值为 ( )A.3 B.4 -2 C. D.3.若函数 f(x)=ln x+1 的图像的一条切线是 y=ax+b,则 4a+eb的最小值是 ( )A.2 B.2 C.4 D.4小题 3 线性规划问题角度 1 求直线型目标函数的范围3 若 x,y 满足 则 z=x+y 的最大值是 ( )A.1 B. C.2 D.听课笔记 _【考场点拨】高考中求直线型目标函数范围的注意点:(1)直线型目标函数也称截距型目标函数, z=ax+byy=
5、- x+ ,z 与直线的纵截距相关联 .若b0,则 和 z 的最值情况一致 ;若 b-b0,所以 ,B 不成立;由指数函数 y=2x为增函数,且 a0 恒成立, 即解得 x3 或 x0=x|x1 或 x1 或 x1,所以 p:-11.由 1,所以q:x1.显然 pq,而 q p.故选 A.小题 2例 2 (1)B (2)C 解析 (1)a 0,b0,且不等式 + 恒成立, m (a+3b)+ min,又( a+3b) + =6+ + 6 +2 =12,当且仅当 a=3b 时取等号, m 的最大值为 12.(2)由正实数 a,b,c 满足 a2-ab+4b2-c=0,可得 c=a2-ab+4b2
6、,故 = = + -12-1=3,当且仅当 a=2b 时取等号,则 a=2b 时, 取得最小值,此时 c=6b2,a+b-c= 2b+b-6b2=-6b2+3b=-6 b- 2+ ,当 b= 时, a+b-c 取得最大值 .【自我检测】1.C 解析 a+b= 3, + = + (a+b)= 2+ + ,又 a,b 均为正实数, + 2 =2,当且仅当 a=b= 时取等号, 2+ + ,即 + 的最小值为 ,故选 C.2.B 解析 由 x0,y0,2x+3xy=6,可得 00,f (x)= ,f (m)= ,故切线方程为 y-(ln m+1)9= (x-m),即 y= x+ln m,a= ,b=
7、ln m,故 4a+eb= +m2 =4,当且仅当 m=2 时取等号 .故选 C.小题 3例 3 B 解析 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,由图可知,当直线 y=-x+z 经过点 A , 时, z 取得最大值,所以 zmax= + = ,故选 B.例 4 B 解析 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示, 表示可行域内的点与点 A(-6,-4)连线的斜率 .由图可知 kAD kAC.由 得 C(-1,1),由得 D(-5,-7),所以 的取值范围是 -3,1,故选 B.例 5 -2 解析 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,易知 O(0,0),A(0,1),B(2
8、,2),C(4,0).由 z=ax+y 得 y=-ax+z,易知 a0 . 当 a0 时,平移直线 y=-ax+z,结合图形得当直线经过点 O(0,0)时,直线在 y 轴上的截距最小,此时 z 取得最小值,且 zmin=0,不符合题意 .综上可得 a=-2.10【自我检测】1.B 解析 由题意,画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数为 z=x-y,则直线 y=x-z 的纵截距越大, z 的值越小,纵截距越小, z 的值越大 .由图可知,当直线 y=x-z 过点 A(0,3)时 z取得最小值,故 zmin=0-3=-3;当直线 y=x-z 过点 B(2,0)时 z 取得最大值,故 zmax=2-
9、0=2.2.A 解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示, 表示动点 P(x,y)与原点连线的斜率,由图可知直线 OB 的斜率最大 .由 解得 即 B(2,2),则 的最大值为 1,故选A.3.D 解析 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示 .z=x2+y2可以看作是可行域内的点( x,y)到原点的距离的平方 .由 得 A .因为 ,所以zmin=|OA|2= + = .故选 D.4.A 解析 画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,易得 A(-1,1),B ,-,C(4,6).因为直线 l:y=m(x+1)+1 过定点 A(-1,1),且直线 l 平分 ABC 的面积,所以直线 l 过边 BC 的11中点 D,易得 D , ,代入 mx-y+m+1=0,得 m= ,故选 A.备选理由 例 5 是点到点距离的线性规划问题,没有涉及点到线的距离问题,备用例 1 是对本类型的一种补充 .例 补充使用 已知实数 x,y 满足不等式组 则 |x-y|的最大值为 ( )A.0 B.2C.4 D.8解析 C 不等式组 表示的可行域如图所示 .|x-y|= = ,它表示可行域内的点到直线 x-y=0 的距离的 倍,由图可知点 A(4,0)到直线 x-y=0 的距离最大,所以 |x-y|的最大值为 =4.故选 C.
