1、1第 9讲 三角恒等变换与解三角形1.(1)2015全国卷 已知 a,b,c分别是 ABC内角 A,B,C的对边,sin 2B=2sin Asin C. 若 a=b,求 cos B; 若 B=90,且 a= , 求 ABC的面积 .(2)2015全国卷 ABC中, D是 BC上的点, AD平分 BAC,BD=2DC. 求 ; 若 BAC=60,求 B.试做_命题角度 解三角形的问题(1)近五年的高考试题中,经常出现的题型有:正弦定理、余弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合;正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合 .(2)解三角形问题的步骤:第一步,利用正、余弦定
2、理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第三步,代入数据求值;第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性 .(3)解三角形问题的总体思路是转化思想和消元 .解答 1三角形基本量的求解1 在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 c-b=2bcos A.(1)若 a=2 ,b=3,求边 c的长;(2)若 C= ,求角 B的大小 .听课笔记 _2_2 在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c,且 2ccos B=2a-b.(1)求角 C的大小;(2)当 c=3时,求 a+b的取值范围 .听课笔记 _【考场点拨】求解三角形中的边和角等基本量,需
3、要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的 .其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向 .第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化 .3第三步:求结果 .解答 2与三角形面积有关的问题3 在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且满足 asin B+ bcos(B+C)=0,a= .(1)求角 A的大小;(2)若 b=2,求 ABC的面积 .听课笔记 _【考场点拨】高考中与三角形面积有关问题的解题策略:(1)三角形的面积问题,归根结底是解三角形问题,有时和其他
4、知识综合考查,如求面积最大值(最小值)时,常与函数、基本不等式等结合考查 .(2)在解与三角形面积有关的问题时,要熟记 30,45,60等特殊角的三角函数值,以便在解题中应用 .【自我检测】在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,且 acos C=(2b- c)cos A.(1)求角 A的大小;(2)若 a=2,求 ABC面积的最大值 .解答 3以平面几何为载体的解三角形问题44 如图 M2-9-1,在四边形 ABCD中, DAB= ,ADAB= 2 3,BD= ,AB BC.(1)求 sin ABD的值;(2)若 BCD= ,求 CD的长 .图 M2-9-1听课笔记 _【考场
5、点拨】以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分用好平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化为三角形问题去求;四是善于用好三角形中的不等关系 如大边对大角,最大角一定大于或等于 ,从而可以确定角或边的范围 .【自我检测】如图 M2-9-2,在 ABC中, B= ,BC=2.(1)若 AC=3,求边 AB的长 .(2)若点 D在边 AB上, AD=DC,DE AC,E为垂足, ED= ,求角 A的大小 .图 M2-9-25模块二 三角函数与平面向量第 9讲 三角恒等变换与解三角形典型真题研析1.(1)解: 由题设及正弦定理可得 b2=2a
6、c.又 a=b,所以可得 b=2c,a=2c.由余弦定理可得 cos B= = . 由 知 b2=2ac.因为 B=90,所以由勾股定理得 a2+c2=b2.故 a2+c2=2ac,得 c=a= ,所以 ABC的面积为 1.(2)解: 由正弦定理得= , = .因为 AD平分 BAC,BD=2DC,所以= = . 因为 C=180-( BAC+ B), BAC=60,所以sin C=sin( BAC+ B)=cos B+ sin B.由 知 2sin B=sin C,所以 tan B= ,即 B=30.考点考法探究解答 1例 1 解:(1)由 c-b=2bcos A及 a2=b2+c2-2bc
7、cos A,6得 = ,a 2=b2+bc,代入 a=2 ,b=3,得 c=5.(2)由 c-b=2bcos A及正弦定理,得 sin C-sin B=2sin Bcos A,C= , 1-sin B=2sin Bcos -B ,即 2sin2B+sin B-1=0,解得 sin B= 或 sin B=-1(舍),又 00.又 BD= , DAB= , 由余弦定理得( )2=(3k)2+(2k)2-23k2kcos ,解得 k=1,AD= 2,AB=3.由正弦定理得 sin ABD= = = .(2)AB BC, cos DBC=sin ABD= , sin DBC= , = ,CD= .【自
8、我检测】解:(1)设 AB=x(x0),则由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即 32=x2+22-2x2cos ,解得 x= +1(负值舍去),所以 AB= +1.(2)因为 ED= ,所以 AD=DC= = .在 BCD中,由正弦定理可得 = ,因为 BDC=2A,所以 = ,8所以 cos A= ,所以 A= .备选理由 用余弦定理判断三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形是重要的应用,备用例 1就是利用余弦定理解决锐角三角形问题;有关三角形的面积问题,一般情况是求三角形的面积,或者是已知三角形的面积求其他元素,关于已知三角形面积之比求其他元素例 2没有涉及,备
9、用例 2是对例 2的补充和拓展,而且思维逻辑性更强 .例 1 配例 1使用 在 ABC中, AB=4,AC=6.(1)若 16cos A=1,求 BC的长及 BC边上的高 h;(2)若 ABC为锐角三角形,求 ABC的周长的取值范围 .解:(1) 16cos A=1, cos A= , sin A= .BC= =7,由等面积法可得 46sin A= 7h,h= .(2)设 BC=x(x0), ABC为锐角三角形, 角 A,B,C均为锐角,又 AB0,cos B0,于是得 2 0),由 = = ,得 BD= x.在 ADC中,由余弦定理得 AD2=AC2+DC2-2ACDCcos C,即 AD2
10、=2+x2-2 x ,整理得 AD2=2+x2- x.在 ABD中,由余弦定理得 AD2=AB2+DB2-2ABDBcos B,即 AD2= + x 2-2 x ,整理得 AD2= + x2- x,联立 得 2x2-5 x+4=0,解得 x= 或 x=2 .因为 BCAB+AC= ,所以 x ,即 x ,所以 x= ,即 DC= .方法二:由(1)知 cos C= ,所以 cos B=cos 2C=2cos2C-1=2 2-1= ,10sin C= = = ,sin B=sin 2C=2sin Ccos C=2 = ,则 cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C=- + = .又由(1)知 = ,所以 AB= . 在 ABC中,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos A,即 BC2= 2+( )2-2 ,得 BC= .因为 = = ,所以 DC= BC= .
