1、11.3.3 函数的奇偶性（第二课时）“奇偶性”是人教 A 版必修 1 第一章“集合与函数概念”的第 3 节“函数的基本性质”的第 2 小节。奇偶性是函数的重要性质，从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为是继续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。1.教学重点：函数奇偶性的概念和几何意义。2.教学难点：奇偶性概念的数学化提炼过程1知识梳理1.定义：偶函数：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么函数 f
2、(x)就叫做偶函数2一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数2. 图像：偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点中心对称。3. 定义域：奇、偶函数的定义域关于原点对称2题型探究类型一 函数奇偶性的判断例 1.给出以下结论： f(x)| x1| x1|是奇函数； g(x)Error!既不是奇函数也不是偶函数； F(x) f(x)f( x)(xR)是偶函数； h(x)既是奇函数，又是偶函数其中正确的序号是_【分析】 先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数；若关于原点对称，利用函数的奇偶性
3、判断【答案】 3方法规律：定义法判断函数奇偶性的步骤类型二 利用函数的奇偶性求函数值或参数值例 2.(1)(2016沧州高一检测)若函数 f(x)Error!为奇函数，则 a( )A.Error! B.Error! C.Error! D1(2)已知 f(x) x5 ax3 bx8 且 f(2)10，那么 f(2)_.【精彩点拨】 (1)利用奇函数的定义得到 f(1) f(1)，列出方程求出 a；(2)由已知中 f(x) x5 ax3 bx8，我们构造出函数 g(x) f(x)8，由函数奇偶性的性质，可得 g(x)为奇函数，由 f(2)10，我们逐次求出 g(2)、 g(2)，可求 f(2)【答
4、案】 (1)A (2)26方法规律：41由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用 (2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数2利用函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值，如本例(2)即是如此类型三 利用奇偶性求函数的解析式例 3.函数 f(x)在 R 上为奇函数，当 x0 时， f(x)1，求 f(x)的解析式【精彩点拨】 要求函数的解析式，根据题意，只要求当 x0
5、 的函数解析式，由 x0时， f(x)，可先设 x0，则 x0，结合 f( x) f(x)， f(0)0，可求 f(x)【自主解答】 设 x0，则 x0， f( x)1， f(x)是奇函数， f( x) f(x)，即 f(x)1， f(x)1， f(x)是奇函数， f(0)0， f(x)Error!方法规律：利用奇偶性求函数解析式的一般步骤1在哪个区间上求解析式， x 就设在哪个区间2把 x 对称转化到已知区间上，利用已知区间的解析式进行代入3利用函数的奇偶性把 f( x)改写成 f(x)或 f(x)，从而求出 f(x)5类型四 函数奇偶性与单调性的综合应用例 4.(1)(2016洛阳高一检测
6、)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足：对任意的 x1、 x2(，0( x1 x2)，有( x2 x1)f(x2) f(x1)0，则当nN *时，有( )A f( n) f(n1) f(n1)B f(n1) f( n) f(n1)C f(n1) f( n) f(n1)D f(n1) f(n1) f( n)(2)已知 y f(x)在定义域(1,1)上是减函数，其图象关于原点对称，且 f(1 a) f(12 a)0，则 a 的取值范围是_【精彩点拨】 (1)根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可(2)由于 y f(x)在定义域(1,1)上，其图象关于原点对称，可得函
7、数 f(x)是奇函数再利用单调性即可得出(2) y f(x)在定义域(1,1)上，其图象关于原点对称，函数 f(x)是奇函数 f(1 a) f(12 a)0， f(1 a) f(12 a) f(2a1)，6又 y f(x)在定义域(1,1)上是减函数，11 a2 a11，解得 0aError!. a 的取值范围是 0aError!.【答案】 (1)B (2)Error!方法规律：1利用函数的奇偶性与单调性求参数的范围问题，要首先弄清函数在各区间上的单调性，然后利用单调性列出不等式并求解，同时不应忘记函数自身定义域对参数的影响2利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转
8、化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较三达标检测1.下列函数中，是偶函数的有_(填序号) (1)f(x) x3；(2) f(x)| x|1；(3) f(x)Error!；(4)f(x) xError!；(5) f(x) x2， x1,2；(6)f(x).数；对于(6)，定义域为(，11，)，关于原点对称， f( x) f(x)，则为偶函数故为偶函数的是(2)(3)(6)7【答案】 (2)(3)(6)2.设函数 f(x)(xR)为奇函数， f(1)Error!， f(x2) f(x) f(2)，则 f(5)( ) A0 B1 C.Error! D5【解析】 由 f(1)Error!，对 f
9、(x2) f(x) f(2)，令 x1，得 f(1) f(1) f(2)又 f(x)为奇函数， f(1) f(1)于是 f(2)2 f(1)1；令 x1，得 f(3) f(1) f(2)Error!，于是 f(5) f(3) f(2)Error!.【答案】 C3.已知 y f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x) x(x2)，则当 x0 时， f(x)的表达式为( )A f(x) x(x2) B f(x) x(x2)C f(x) x(x2) D f(x) x(x2)【答案】 D4.设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x0，)时， f(x)是增函数，则 f(2)， f()，f(3)的大小关系是( ) A f() f(3) f(2) B f() f(2) f(3) C f() f(3) f(2) D f() f(2) f(3)8【解析】 由偶函数与单调性的关系知，若 x0，)时， f(x)是增函数，则x(，0)时， f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，|2|3|， f() f(3) f(2)，故选 A.【答案】 A
