1、章末复习,知识框架,归纳整合,中考链接,素 养 提 升,知识框架,概念,图像 (双曲线),性质,一般地, 形如y= (k为常数, k0)的函数, 叫作反比例函数,当 k 0 时 , 在每个象限 内 , y随 x 的增大而减小,当 k 0 时 , 在每个象限 内 , y随 x 的增大而增大,待定系数法,解析式求法,实际应用,构造函数模型, 然后运用反比 例函数的图像和性质进行解答,借用列方程的思想列函数解 析式时, 自变量的取值要符 合实际意,当k0时, 双曲线的两个分 支分别位于第一、三象限,当k0时, 双曲线的两个分 支分别位于第二、四象限,还可以表示成y=kx-1(k为 常数, k0)或x
2、y=k(k为常 数, k0)的形式,专题一 反比例函数的图像和性质,【要点指导】反比例函数y= (k为常数, k0)的图像是双曲线, 两支曲线与坐标轴永不相交, 图像的位置与函数的性质是由常数k来决定的. 反比例函数的图像是中心对称图形.,归纳整合,例1对于函数y= , 下列说法错误的是( ). A它的图像分布在第一、三象限B它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C当x0时, y随x的增大而增大 D当x0时, y随x的增大而减小,C,相关题1-1,A,兰州中考若反比例函数Y= (k为常数, k1) 的图像位于第二、四象限, 则k的取值可能是( ). A0 B2 C3 D4,相关题1-2,B,
3、解析 反比例函数y 中k0，其图像在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小A，B两点在第三象限，且20，y2y1y3.故选B.,安顺中考 如果点A(-2, y1), B(-1, y2), C(2, y3)都在反比例函数y= (k为常数, k0)的图像上, 那么y1, y2, y3的大小关系是( ). Ay1y3y2 By2y1y3 Cy1y2y3 Dy3y2y1,专题二 确定反比例函数的解析式,【要点指导】 (1)待定系数法：若题目所给的信息中已明确此函数 是反比例函数, 则设函数解析式为y= (k为常数, k0), 由于反比例函数 中只有一个待定系数k, 因此只需给出x, y的一对对
4、应值, 就可以确定反比 例函数的解析式；(2)列方程法：若题目所给的信息中两个变量之间的 函数关系不明确, 则通常列出关于两个变量的方程, 通过变形得到反比例 函数的解析式.,例2 若等腰三角形的面积为10, 底边长为x, 底边上的高为y, 则y关于x的 函数解析式为( ).,分析 等腰三角形的面积为10, 底边长为x, 底边上的高为y,C,相关题2,在温度不变的条件下, 通 过一次又一次地对汽缸顶 部的活塞加压, 测出每一 次加压后缸内气体的体积 和气体对汽缸壁所产生的 压强如下表：则可以反映y与x之间的关 系的式子是( ).,D,例3 已知反比例函数y= (k为常数, k0)的图像经过点A
5、(2, 3) (1)求这个函数的解析式； (2)判断点B(-1, 6), C(3, 2)是否在这个函数的图像上, 并说明 理由.,解 (1)反比例函数y= (k为常数, k0)的图像经过点A(2, 3), 把点A的坐标代入解析式, 得3= , 解得k=6, 这个函数的解析式为y= . (2)反比例函数的解析式为y= , 6=xy. 分别把点B, C的坐标代入, 得 (-1)6=-66, 则点B不在该函数图像上； 32=6, 则点C在该函数图像上.,相关题3 如图26-Z-1所示的曲线是函数y= 的图像的一支.若该函数的图像与 正比例函数y=2x的图像 在第一象限的交点为A(2, n), 求点A
6、的坐标及反比例 函数的解析式.,专题三 反比例函数系数 k的几何意义,【要点指导】在反比例函数y= (k为常数, k0)的图像上任取一点, 过这一点向x轴和y轴分别作垂线, 与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|, 过这一点向某坐标轴作垂线, 这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角 形的面积是定值 |k|.,例4 如图26-Z-2, A是反比例函数y= (x0)的图像上的一点, 过点 A作平行四边形ABCD, 使点B, C在x轴上, 点D在y轴上已知平行四边形 ABCD的面积为6, 则k的值为( ). A6 B-6 C3 D-3,B,分析 过点A作AEBC于点E, 如图26-Z-2. 四边形ABC
7、D为平行四边形, ADx轴. 四边形ADOE为矩形, S平行四边形ABCD=S矩形ADOE, 而S矩形ADOE=|k|, |k|=6, 又由图像知k0, k=-6故选B.,相关题4 若如图26-Z-3, 过原点O的直线交双曲线y= (k为常数, k0)于A,B两点, 分别过点A, B向两坐标轴作垂线, 相交于点C. 若ABC的面积是12, 则k的值为 ( ). A4 B6 C8 D12,B,专题四 反比例函数的实际应用,【要点指导】 在解决实际问题时, 注意从已知、未知、图形等方面 将实际问题转化为数学问题, 根据量或形的特征, 建立反比例函数模型, 再通过这一模型解答问题.,例5 煤矿安全事
8、故中, 危害最大的是瓦斯, 其主要成分是CO. 在一次矿难事件的调查中发现：从零时起, 井内空气中CO的浓度达到 4 mg/L, 此后浓度呈直线型增加, 在第7h达到最高值 46 mg/L, 发生爆炸；爆炸后, 空气中的CO 浓度与时间成反比例关系下降(如图26-Z-4所示). 根据题中相关信息回答下列问题：,(1)求爆炸前后空气中的CO浓度y(单位：mg/L)关于时间x(单位：h)的 函数解析式, 并写出相应的自变量的取值范围； (2)当空气中的CO浓度达到34 mg/L时, 井下3 km的矿工接到自动报警 信号, 这时他们至少要以多少千米/时的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空
9、气中的CO浓度降到4 mg/L 及以下时, 才能回到矿井开始工作, 矿工 至少在爆炸后多少小时才能下井？,解 (1)因为爆炸前空气中的CO浓度呈直线型增加, 所以可设爆炸 前空气中的CO浓度y(单位：mg/L)关于时间x(单位：h)的函数解析式为y=k1x+b(k1, b为常数, k10), 由图像知直线y=k1x+b过点(0, 4)与(7, 46), 此时自变量x的取值范围是0x7. 因为爆炸后空气中的CO浓度与时间成反比例关系下降, 所以可设爆 炸后空气中的CO浓度y(单位：mg/L)关于时间x(单位：h)的函数解析式为 y= (k2为常数, k20). 由图像知y= 的图像过点(7, 4
10、6), 所以46= , 所以k2=322, 所以y= , 此时自变量x的取值范围是x7.,(2)当y=34时, 由y=6x+4, 得34=6x+4, 解得x=5 . 所以撤离的最长时间为7-5=2(h), 所以撤离的最小速度为32=1.5(km/ h) . 答：他们至少要以1.5 km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生. (3)当y=4时, 由y= , 得x=80.5, 80.5-7=73.5(h). 答：矿工至少在爆炸后73.5 h才能下井.,相关题5-1 一个可以改变体积的密闭 容器内装有一定质量的 二氧化碳, 当改变容器的 体积时, 气体的密度也会 随之改变, 密度(单位： kg/m3)是体
11、积V(单位： m3)的反比例函数, 它的图 像如图26-Z-5所示, 当 V=2 m3时, 气体的密度是_kg/m3.,4,解析 先求出密度(单位：kg/m3)关于体积V(单位：m3)的反比例函数解析式为 (V0)，再利用函数解析式求V2 m3时气体的密度.,相关题5-2,益阳中考 我市某蔬菜生 产基地在气温较低时, 在装 有恒温系统的大棚中栽培 一种在自然光照且温度为 18 的条件下生长最快的 新品种. 图26-Z-6是某天 恒温系统从开启到关闭及 关闭后, 大棚内温度y()随 时间x(时)变化的 函数图像, 其中BC段是双曲线y= (k0)的 一部分.,请根据图 中信息解答下列问题：(1)
12、恒温系统在这天保持大 棚内温度为18 的时间有 多少小时？ (2)求k的值； (3)当x=16时, 大棚内的温 度约为多少？,专题五 反比例函数与一次函数的综合应用,【要点指导】 解决一次函数和反比例函数的综合题时, 要注意交点 坐标需同时满足两个函数解析式, 根据函数值的大小确定自变量的取值 范围, 要结合图像判断.,例6 肇庆中考 已知反比例函数y= 的图像的两个分支分别位于第一、三象限 (1)求k的取值范围. (2)若一次函数y=2x+k的图像与该反比例函数的图像有一个交点的纵 坐标是4 当x=-6时, 求y的值； 当0x 时, 求y的取值范围,解： (1)反比例函数y= 的图像的两个分
13、支分别位于第一、三象 限, k-10, k1. (2)设一次函数y=2x+k的图像与反比例函数y= 的图像的一个交点 的坐标为(a, 4). 将(a, 4)分别代入两个函数 解析式,得,相关题6-1 用如图26-Z-7所示, 一次 函数y=kx+b(k, b为常数, k0)的图像与反比例函数y= (m为常数, m0)的 图像交于A(-2, 1), B(1, n) 两点, 连接OA, OB. (1)试确定上述反比例函数 和一次函数的解析式； (2)求AOB的面积,相关题6-2 菏泽中考如图26-Z-8 所示, 在平面直角坐标系 xOy中, 已知一次函数y kx+b(k, b为常数, k0) 的图
14、像经过点A(1, 0), 与 反比例函数y= (m0, x0)的图像相交于点B(2, 1). (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)结合图像直接写出：当x0时, 不等式 kx+b 的解集,专题六 反比例函数与几何图形的综合应用,【要点指导】反比例函数与几何图形的综合题, 几何图形知识是主 体内容, 一方面探索几何图形的边、角与反比例函数图像上点的坐标的联系, 另一方面灵活应用反比例函数的比例系数k的几何意义, 由图形面积求出函数解析式(注意图像所在象限), 继而解决问题,例7 酒泉中考如图26-Z-9所示, 在平面直 角坐标系中, 菱形ABCD的顶点C与原点O重合, 点B 在y轴的正半轴上
15、, 点A在反比例函数y= (k0, x0) 的图像上, 点D的坐标为(4, 3) (1)求k的值； (2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移, 当菱形的顶点D落在反比例函数 y= (k0, x0)的图像上时, 求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离,解 (1)如图26-Z-10, 过点D作x轴的垂线, 垂足为F. 点D的坐标为(4, 3), OF=4, DF=3, OD=5, AD=5, 点A的坐标为(4, 8), k=xy=48=32, 即 k的值为32. (2)将菱形ABCD沿x轴正方向平移, 使得点D落 在反比例函 数y= (x0)的图像上的点D处, 过点 D作x轴的垂线,垂足为FDF=3,
16、 DF=3, 点D的纵坐标为3. 点 D在反比例函数y= (x0)的图像上, 3= , 解得x= , 即OF= , FF= -4= , 菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离为 ,相关题7 矩形ABCD在平面直角坐 标系中的位置如图26-Z-11. 已知点B, C在x轴 上, 点A在第二象限, 点D(2,4), BC=6, 反比例函数 y= (k0, x0)的图像经过点A. (1)求k的值； (2)把矩形ABCD向左平移, 使点C刚好与原点重合, 此时线段AB与反比例函数y= (k0, x0)的图 像的交点坐标是什么？,素 养 提 升,专题一 转化思想,【要点指导】反比例函数的图像具有中心对称性和
17、轴对称性, 在求 与反比例函数图像有关的不规则图形的面积时, 可以通过转化的方法, 化 不规则图形为规则图形, 进而求图形的面积.,例1 如图26-Z-12所示, 在平面直角坐标系 中, 正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与 x轴平行. P(3a, a)是反比例函数y= (k0)的图像与 正方形的一个交点. 若图中阴影部分的面积为9, 则 这个反比例函数的解析式为_.,分析 由正方形的中心对称性可得每一个小正方形的面积为9, 所以(3a)2=9, 解得 a=1(负值已舍去), 即点P的坐标为(3, 1), 所以这个反比例函数的解析式为y= .,相关题1 如图26-Z-13所示, 反比例函
18、数y= , y= 的图像 和一个圆相交, 则S阴影等于 ( ). A B2 C3 D无法确定,B,专题二 数形结合思想,【要点指导】数形结合思想是初中最常见、最重要的数学思想, 在 函数问题中更是常见, 有由数到形和由形到数两种形式.,例2 如图26-Z-14所示, 已知A, B是反比例函数y= (k0, x0)的图像上的两点, BCx轴, 交y轴于点C. 动点P从坐标原点O出发, 沿OABC(图中“” 所示路线)匀速运动, 终点为C. 过点P作PMx轴, PN y轴, 垂足分别为M, N. 设四边形MPN的面积为S, 点P 的运动时间为t, 则S关于t的函数图像大致为( ) .,A,分析 设
19、点P的运动速度为v. 点P在反比例函数图像上时, 由反比例函数比例系数的几何意义, 得四边形OMPN的面积S=k； 点P在BC段时, 设点P运动到点C的总路程为a, 则四边形OMPN的面积=OC(a-vt)=-OCvt+OCa. 纵观各选项, 只有A选项的图像符合.,相关题2 如图26-Z-16所示, B是反比例函数y= (k0, x0) 的图像上一点, 矩形OABC 的周长是16, 正方形BCGF 和正方形OCDE的面积之 和为48, 则反比例函数的 解析式是_,母题1 (教材P8习题26.1第2题) 下列函数中是反比例函数的 是( ).,中考链接,考点：反比例函数的概念；反比例函数解析式的
20、 表示方法. 考情：常见的题型是判断某些函数是不是反比例函数. 策略：抓住反比例函数中两个变量成反比例关 系(积为定值)来判断.,链接1 滨州中考 有下列函数：y=2x-1； 其中y是x的反比例函数的有_(填序号).,母题2 (教材P3练习第3题) 已知y与x2成反比例, 并且当x=3时, y=4 (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x=1.5时, 求y的值； (3)当y=6时, 求x的值,考点：用待定系数法求反比例函数的解析式. 考情：以填空题、选择题的形式单独考查求反比 例函数的解析式, 以解答题的形式考查求反比例 函数与一次函数的解析式. 策略：寻找已知点或两个变量的对应值.,链接
21、2 淮安中考 若点A(-2, 3)在反比例函 数y= 的图像上, 则k的值是( ). A-6 B-2 C2 D6,A,分析 将A(-2, 3)代入反比例函数解析式y= ,得k=-23=-6. 故选A.,链接3 泰安中考 如图26-Z-17, 矩形ABCD 的两边AD, AB的长分别为3, 8, E是CD的中点, 反比 例函数y= (x0)的图像经过点E, 与AB交于点F. (1)若点B的坐标为(-6, 0), 求m的值及图像经 过A, E两点的一次函数的解析式； (2)若AF-AE=2, 求反比例函数的解析式.,解 (1)点B的坐标为(-6, 0), AD=3, AB=8, E 为CD的中点,
22、 A(-6, 8), E(-3, 4). 反比例函数y= 的图像经过点E, m=-34=-12. 设直线AE的函数解析式为y=kx+b,(2)AD=3, DE=4, AE=5. AF-AE=2, AF=7, BF=1. 设点E的坐标为(a, 4),则点F的坐标为(a-3, 1). E, F两点都在反比例函数y= (x0)的图像上, 4a=a-3, 解得a=-1, E(-1, 4), m=-14=-4, 反比例函数的解析式为y= (x0).,母题3 (教材P6练习第2(1)题),考点：反比例函数图像的形状、位置和特征. 考情：以填空题、选择题的形式考查反比例函数 的图像, 常与一次函数的图像综合
23、考查. 策略：运用数形结合思想, 抓住反比例函数y= (k为常数, k0)的图像的位置与k的关系以及k的 几何意义求解.,链接4 徐州中考如果点(3, -4)在反比例函数y= 的图像上, 那么下列各点中也在此图像上的是 ( ). A(3, 4) B(-2, -6) C(-2, 6) D(-3, -4),C,分析 因为点(3, -4)在反比例函数y= 的图像 上, 所以k=3(-4)= -12.符合条件的只有C选项：k=-26=-12.,链接5 衡阳中考 对于反比例函数y= ,下列说法不正确的是( ). A图像分布在第二、四象限 B当x0时, y随x的增大而增大 C图像经过点(1, -2) D
24、若点A(x1, y1), B(x2, y2)都在图像上, 且 x1x2, 则y1y2,D,分析 k=-20时, y随x的增大而增大, 故B选项正确； 把x=1代入y= , 得y= =-2, 点(1, -2)在 它的图像上, 故C选项正确；只有点A(x1, y1), B(x2, y2)在同一象限时, 才满足 x1x2时, y1y2, 故D选项错误.,链接6 怀化中考 -7函数y=kx-3与y= (k0)在同一坐标系内的图像可能是( ).,B,分析 当k0时, 函数y=kx-3的图像过第一、 三、四象限, 反比例函数y= 的图像过第一、三 象限； 当k0时, 函数y=kx-3的图像过 第二、三、四
25、象限, 反比例函数y= 的图像过第二、四象限. 只有B选项正确.,链接7 郴州中考 如图 26-Z-19, A, B是反比例函数 y=4x在第一象限内的图像上 的两点, 且A,B两点的横坐标分 别是2和4, 则OAB的面积是 ( ). A4 B3 C2 D1,B,分析 A, B是反比例函数y= 在第一象限内 的图像上的两点, 且A, B两点的横坐标分别是2和4, 当x=2时, y=2, 即A(2, 2), 当x=4时, y=1, 即B(4, 1) 如图26-Z-19, 过A, B两点分别作ACx轴于 点C, BDx轴于点D, 则SAOC=SBOD= 4=2.S四边形AODB=SOAB+SBOD
26、=SAOC+S梯形ABDC, SOAB=S梯形ABDC. S梯形ABDC= (BD+AC)CD= (1+2)2=3, SOAB=3. 故选B.,母题4 (教材P8练习第2题) 已知点A(x1, y1), B(x2, y2)在反比例函数y= 的图像上. 如果x1x2, 而且x1, x2同号, 那么y1, y2有怎 样的大小关系？为什么？,考点：反比例函数的性质. 考情：既直接考查函数的性质, 又考查学生利用函 数的性质求未知字母的取值范围, 常把反比例函数 与一次函数的性质综合在一起考查. 策略：区分反比例函数与一次函数的性质；利 用图像比较函数值的大小时, 应先找出两个函数 图像的交点, 再根
27、据交点左右两侧的两个图像的 上下位置关系来确定函数值的大小.,链接8 滨州中考若点A(-2, y1), B(-1,y2), C(1, y3)都在反比例函数y= (k为常数)的图 像上，则y1，y2，y3的大小关系为_,y3y1y2,分析 反比例函数y , (k-1)2+20, 故该反比例函数图像的两个分支分别在 第一象限和第三象限, 在每一象限内, y随着x的增 大而减小, 因此, y3y1y2.,链接9 天津中考 若点A(x1, -6), B(x2, -2), C(x3, 2)都在反比例函数y 的图像上, 则x1, x2, x3的 大小关系是( ). Ax1x2x3 Bx2x1x3 Cx2x
28、3x1 Dx3x2x1,分析 把A(x1, -6), B(x2, -2), C(x3, 2)分别代入 y= , 可得x1=-2, x2=-6, x3=6, 即可得x2x1x3.,B,链接10 山西中考 如图26-Z-20, 一次函数y1=k1x+b(k10)的 图像分别与x轴、y轴相交于点A,B, 与反比例函数y2= (k20)的图像 相交于点C(-4, -2), D(2, 4) (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当x为何值时, y10？ (3)当x为何值时, y1y2？请直接写出x的取值范围.,解 (1)一次函数y1=k1x+b的图像经过点 C( -4, -2), D(2, 4)
29、,一次函数的解析式为y1x+2. 反比例函数y2 的图像经过点D(2, 4), 4 , k28, 反比例函数的解析式为y28x. (2)由y10, 得x+20, 解得x-2. 当x-2时, y10. (3)x-4或0x2.,链接11 成都中考如图26-Z-21, 在平面直 角坐标系xOy中, 已知正比例函数y= 的图像与反比例函数y= 的图像交于A(a, -2), B两点 (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)P是第一象限内反比例函数图像上一点, 过 点P作y轴的平行线, 交直线AB于点C, 连接PO,若 POC的面积为3, 求点P的坐标,解 (1)把A(a, -2)代入y= , 可
30、得a=-4, A(-4, -2). 把A(-4, -2)代入y= , 可得k=8, 反比例函数的解析式为y=8 x. 依题意知点B与点A关于原点对称, B(4, 2). (2)如图26-Z-22所示, 过点P作y轴的平行线, 交x轴于点E, 交直线AB于点C, 连接PO. POC的面积为3,母题5 (教材P16习题26.2第7题) 红星粮库需要把晾晒场上的1200 t玉米入库 封存 (1)入库所需的时间d(单位：天)与入库平均速 度v(单位：t/天)有怎样的函数关系？ (2)已知粮库有职工60名, 每天最多可入库 300 t玉米, 预计玉米入库最快可在几天内完成？ (3)粮库职工连续工作两天后
31、, 天气预报说未 来几天会下雨, 粮库决定次日把剩下的玉米全部入 库, 至少需要增加多少职工？,考点：反比例函数的应用. 考情：反比例函数的应用分三个方面：一是学科 内知识间的综合应用, 如反比例函数与一次函数、 不等式、简单的几何知识等的综合应用；二是与 其他学科知识的综合应用, 特别是与物理知识的结 合；三是应用反比例函数解决实际问题. 策略：用建模的思想把实际问题转化为数学问 题, 在利用反比例函数解决实际问题时, 应注意 自变量的取值范围.,链接12 丽水中考如图26-Z-23所示, 科技 小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技 园ABCD, 其中边AB靠墙, 墙长为12 m
32、. 设AD的长为x m, DC的长为y m. (1)求y关于x的函数解析式； (2)若围成的矩形科技园ABCD的三边材料总 长不超过26 m, AD和DC所用的材料长都是 整米数, 求出满足条件的所有围建方案.,分析 (1)由矩形面积=长宽, 列出y关于x的函 数解析式；(2)因为AD与DC的长均是整数, 且AD的长 不小于5 m, 所以x, y的值均是60的因数, 所以x可能的取值为5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. 再根据三边材料总长 不超过26 m, 得到符合条件的AD和DC的长.,解 (1)由题意, 得xy=60, 即y= . 所以y关于x 的函数解析式为y=
33、(x5). (2)由y= (x5)且x, y都是正整数, 得x的可 能取值为5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, 相应的y值为12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1. 因为2x+y26, 所以符合条件的有x=5, y=12；x=6, y=10；x=10, y=6. 答：满足条件的围建方案为AD=5 m, DC= 12 m或AD=6 m, DC=10 m或AD=10 m, DC=6 m.,链接13 德州中考某中学组织学生到商场参 加社会实践活动, 他们参与了某种品牌运动鞋的销售 工作, 已知该运动鞋每双的进价为120元, 为寻求合适的 销售价格进行了4天的试销,
34、试销情况如下表所示：(1)观察表中数据, x, y满足什么函数关系？ 请求出这个函数解析式(不必写出自变量的取值 范围)； (2)若商场计划每天的销售利润为3000元, 则 其单价应定为多少？,分析 (1)每一天的售价与销售量的积不变, 故可 判定y与x具有反比例函数关系, 所以, 由表中数据得出 xy=6000, 即可得出结果；(2)根据“单件利润销售 数量=总利润”这一数量关系列出方程即可求解,解 (1)x, y满足反比例函数关系. 由表中数据, 得xy=6000, 故所求函数解析式为y= . (2)由题意, 得(x-120)y=3000, 把y= 代入,得(x-120) =3000, 解得x=240. 经检验, x=240是原方程的根且符合题意. 答：若商场计划每天的销售利润为3000元, 则 其单价应定为240元/双.,
