1、重点中学与你有约,例1.已知y=y1-y2,y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x=-1时，y=-5;x=1时，y=1,求y与x之间的函数关系式.,解题技巧,由题意设,例1.已知y=y1-y2,y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x=-1时，y=-5;x=1时，y=1,求y与x之间的函数关系式.,当x=-1时，y=-5;x=1时，y=1,举一反三,思路分析:设y1=a/x ，y2=b（x2），得出y=a/xb（x2），把x=3，y=5和x=1，y=1代入得出方程组，求出方程组的解即可,已知y=y1y2，y1与x成反比例，y2与（x2）成正比例，并且当x=3时，y=5，当x=1时，y
2、=1；求y与x之间的函数关系式，并求当x=2时，求y的值,失误防范,反比例函数定义： 我们把函数y=k/x（k为常数，k0）叫作反比例函数，这里x是自变量，y是关于x的函数，k叫作比例系数，显然，反比例函数的自变量x的取值不能为零； 反比例函数的解析式还有另外两种表现形式： y=kx-1或xy=k （k为常数，k0）.,例2.如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平分线，交直线y=-x+6于A,B两点，若反比例函数y=k/x(x0)的图象与ABC有公共点，则k的取值范围是（ ） A2k 9 B 2k 8 C 2k 5 D5k 8,重点中学与你有约,解题技巧,由题意得，当反比例函数的图象过点C
3、时，把C的坐标代入得k=xy=12=2；,36-4k0，k9,即x2-6x+k=0有实数根,直线y=-x+6与反比例函数y=k/x(k0)有交点，,方程组 有解,2 k9，故选A,举一反三,思路分析:根据题意可以分别求得点B、点C的坐标，从而可以得到k的取值范围，本题得以解决,如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=x+6于B、C两点，若函数y=k/x（x0）的图象ABC的边有公共点，则k的取值范围是（ ） A5k20 B8k20 C5k8 D9k20,失误防范,反比例函数的图象性质： （1）反比例函数的图象y=k/x(k0)是由两个分支组成的曲线； 当k0时，图像分别位于第
4、一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小； 当k0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大； （2）反比例函数的图象y=k/x(k0)关于直角坐标系的原点成中心对称.,例3.如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线y= x-1经过点C交x轴于点E，双曲线 经过点D，则k的值为 ,重点中学与你有约,解题技巧,根据矩形的性质知点C的纵坐标是y=1， y= x1经过点C，1= x1，解得，x=4， 即点C的坐标是（4，1） 矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1， D（1，1）， 双曲线 经过点D
5、， k=xy=11=1，即k的值为1 故答案是1,举一反三,如图，已知一次函数y=mx的图象经过点A（2，4），点A关于y轴的对称点B在反比例函数y= 的图象上 （1）点B的坐标是 ； （2）求一次函数与反比例函数的解析式,举一反三,思路分析:（1）根据关于y轴对称得出点B的坐标； （2）把点A、B坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式，用待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式即可,答案：（1）点A关于y轴的对称点是点B， B（2，4）； 故答案为（2，4）； （2）把A（2，4）代入y=mx，得m=2， 一次函数解析式为y=2x； 把B（2，4）代入y= ，得k=8， 反比例函数
6、解析式为y= ,失误防范,1.反比例函数图象有关知识： 反比例函数的图象,当k0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 当k0时,在每一象限内,y随x的增大而增大. 过反比例函数图象上任意一点向x轴,y轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积等于|k|,若与原点相连,所构成的直角三角形的面积等于|k|/2. 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形. 2.这解答这类问题用到的思想方法： 数形结合是一种很好的数学方法! 由特殊到一般是一种常用的数学思想!,例4.如图，直线y=kx（k0）与双曲线y= 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y27x2y1的值等于 .,重点中学与你有约,
7、解题技巧,由题意知，直线y=kx（k0）过原点和一、三象限，且与双曲线y= 交于两点，则A，B两点关于原点对称， x1 =x2， y1 =y2 又 点A和点B在双曲线y= 上， x1 y1 =4， 2x1y27x2y1=-2x1y1+7x1y1=5x1y1=20 故答案为20,4.如图，直线y=kx（k0）与双曲线y= 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y27x2y1的 值等于 .,举一反三,如图，直线y=kx（k0）与双曲线y= 交于A（x1，y1）， B（x2，y2）两点，则3x1y28x2y1的值为（ ） A5 B10 C5 D10,思路分析:先根据A（x1，y1），
8、B（x2，y2）双曲线上的点可知x1y1=2，x2y2=2，再根据反比例函数与正比例函数均关与原点对称可知x1=x2，y1=y2，故可知x1y2=x1y1，x2y1=x2y2，把此关系式代入所求代数式求解即可,答案：A（x1，y1），B（x2，y2）双曲线y= 上的点， x1y1=2，x2y2=2， 直线y=kx（k0）与双曲线y= 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， x1=x2，y1=y2，x1y2=x1y1，x2y1=x2y2， 3x1y28x2y1=3x1y1+8x2y2 =（3）（2）+8（2）=10 故选B,失误防范,1.反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图
9、形又是中心对称图形，对称轴分别是：二、四象限的角平分线Y=-X；一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点 2.反比例函数与一次函数的交点问题(特殊的)： 过原点的直线与双曲线的两个交点：他们都是各自关于原点对称的，所以他们的交点也一定是关于原点对称的.,例5.如图，直线y=kx+k（k0）与双曲线 交于C,D两点，与x轴交于点A. （1）求n的取值范围和点A的坐标； （2）过点C作CBy轴，垂足为B，若SABC=4，求双曲线的解析式； （3）在（1）（2）的条件下，若AB= ， 求点C和点D的坐标，并根据图象直接写出 反比例函数的值小于一次函数的值时，自 变量x的取值范围,重点中学与你
10、有约,解题技巧,（1）由图象知，n+10，n1， 由y=kx+k（k0），当y=0时，kx+k=0，解得：x=1， 点A的坐标（1，0）； （2）设C（a，b）， SABC= a（b）=4，ab=8，又点C在双曲线上，n+1=ab=8，y= ；,解题技巧,（3）CBy轴，B点坐标为（0，b）， 在RtAOB中，AB= ，OA=1，OB=4， B（0，4），C（2，4）， 点C（2，4）在y=kx+k（k0）上， 2k+k=4，k= 直线AC的解析式为y= xD点的坐标为（3，）， 由图象可得，当x3或0x2时，反比例函数的值小于一次函数的值,举一反三,如图，直线y=kx+k（k0）与双曲线y=
11、 在第一象限内相交于点M，与x轴交于点A （1）求点A的坐标； （2）若点B的坐标为（4，0），AM=5，SABM=10，求双曲线的函数表达式,举一反三,思路分析:（1）根据当y=0时，kx+k=0，求出x的值即可得出A点坐标； （2）首先求出AMB的高，进而得出M点坐标，即可求出双曲线的函数表达式,答案：（1）当y=0时，kx+k=0，解得：x=1， 故A点坐标为：（1，0）； （2）点B的坐标为（4，0），AB=5， 作MNx轴于点N， SABM= MNAB=10，AB=5，解得：MN=4， AM=5，根据勾股定理求出：AN= ON=2， M点的坐标为（2，4）， k=xy=8， 双曲线的
12、函数表达式为：y=,失误防范,1.反比例函数比例系数k的几何意义: 在反比例函数y=x/k图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|； 在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|/2，且保持不变,失误防范,2.用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=k/x（k为常数，k0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式,例6.如图，直线：y=x+1与x轴、y轴交于点A，B两点
13、，点C与原点O关于直线l对称.反比例函数y= 的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于点C左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点 （1）求反比例函数的解析式； （2）求ANBM的值,重点中学与你有约,解题技巧,（1）y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点， A（-1,0），B（0,1），OA=OB=1， OAB=45. 点C与，O关于直线l对称，连接AC， 则 CAB= OAB=45，AC=OC=1. ACOA,C（-1,1）， 反比例函数解析式为y= （2）设P（a，b），则ab=-1， 过点M，N分别作MEy轴于点E， NDx轴于点D， 易证MEB，ADN为等腰直角三
14、角形， BM= ，AN= ， 则ANBM=-2ab=2,举一反三,已知：如图，直线y=x+3与x轴、y轴交于点A，点B，点O关于直线AB的对称点为点O，且点O恰好在反比例函数y= 的图象上 （1）求点A与B的坐标； （2）求k的值； （3）若y轴正半轴有点P，过点P作x轴的平行线， 且与反比例函数y= 的图象交于点Q，设A、P、 Q、O四个点所围成的四边形的面积为S若 S= SOAB时，求点P的坐标,举一反三,思路分析:（1）分别令直线y=x+3中的x=0，y=0即可求得A、B两点的坐标； （2）根据对称点的性质即可； （3）分两种情况：当点P在点B的上方时，即：m3，延长AO于PQ相交于点M
15、，设P（0，m），由面积关系可求；当点P在点B的上方时，即：0m3，方法同上,答案：（1）A（3，0），B（0，3） （2）如图 点O与O关于直线AB对称， 由题意可得四边形OAOB为正方形， O（3，3）则 k=33=9即：k的值为9 （3）设P（0，m），显然，点P与点B不重合 当点P在点B的上方时，即：m3， 延长AO于PQ相交于点M，如图所示：则：Q（ ，m），M（3，m） PM=3，AM=m，MO=m3，QM=3 ， S=SPMASQMO=S= SOAB= （3m）（m+3）= 解之得：m=6,举一反三,当点P在点B的上方时，即：0m3，如图所示：显然，PQAO， S= PQAO=
16、m=2 P（0，2）或（0，6）,失误防范,反比例函数与一次函数的交点问题： （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点 （2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： 当k1与k2同号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点； 当k1与k2异号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点,例7. 如图，已知双曲线y= 经过点D（6,1），点C是双曲线第三象限分支上的动点，过C作CAx轴
17、，过D作DBy轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC （1）求k的值； （2）若BCD的面积为12，求直线CD的解析式； （3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由,重点中学与你有约,解题技巧,解：（1）双曲线y= 经过点D（6，1）， 则1= ，k=6. （2）BCD的面积为12， BD(OB+AC)=12，6(1+AC)=12，AC=3， 另y=-3，则-3= ，x=-2，C（-2，-3）. 设lCD：y=ax+b，则有直线CD的解析式为y= x2. （3）方法一：由C（-2，-3），可知AO=2， 由D（6,1），可知BD=6. 对于直线y= x2，令 x2=0，解得x=4， OE=4，则
18、AE=AO+OE=6.,解题技巧,又BDy轴，BDAE,且BD=AE. 四边形ABDE是平行四边形， ABCD. 方法二：由C（-2，-3），D（6,1），可知A（-2，0），B（0，1）， 设lAB：y=ax+b，则有则直线AB的解析式为y= x+1， 又由（2）直线CD的解析式为y= x2. ABCD.,举一反三,如图，已知双曲线y= 经过点A（3， ），点B是双曲线第三象限上的一个动点，过点A作ADx轴于点D，过点B作BEy轴于点E （1）k的值为 ； （2）若ABD的面积为 ，求直线AB的解析式.,举一反三,思路分析:（1）利用待定系数法求出k的值， （2）先利用三角形ABD的面积求出
19、BE即可得出点B的横坐标，代入双曲线解析式中，即可得出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式,答案：（1）双曲线y= 经过点A（3， ），k=3 =20，故答案为20； （2）如图，延长BE，AD相交于F， BFAF， SABD= ADBF= AD（BE+EF）= AD（BE+OD）= （BE+3）= BE=5， 点B是双曲线第三象限上的一个动点， 将x=5代入y= 中，得，y=4，B（5，4）；设直线AB的解析式为y=mx+b（m0），直线AB的解析式为y= x+ .,失误防范,反比例函数综合题： （1）应用类综合题 （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想是解决此类问题的关键,
