1、1.3.1 函数的单调性与导数,1函数的单调性与导函数正负的关系 由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0的导数f (x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0)的切线的斜率在xx0处f (x0)0，则切线的斜率kf (x0)0，若在区间(a，b)内每一点(x0，f(x0)都有f (x0)_0，则曲线在该区间内是上升的反之若在区间(a，b)内，f (x)_0，则曲线在该区间内是下降的,由此我们得出： 设函数yf(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间单调_； (2)如果在区间(a，b)内，f (x)0，则f(x)在此区间内单调_,递增,递减
2、,2函数的变化快慢与导数的关系 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较_，其图象比较_ 即|f (x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的 变化率就越大,快,陡峭,D,A,【解析】 f (x)在a，b上为增函数，f(x)在a，b 上的切线斜率k随x的增大而增大，故选A,C,C,命题方向1 利用导数研究函数的单调性,D,规律总结 1.函数的图象与函数的导数关系的判断方法 (1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减 (2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的
3、单调区间是否一致,2利用导数证明或判断函数单调性的思路 求函数f(x)的导数f(x)：(1)若f(x)0，则yf(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f(x)0，则yf(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f(x)0，则yf(x)是常数函数，不具有单调性,C,【解析】由函数yxf(x)的图象可知当x0， f(x)为增，当10，f(x)1时，xf(x)0，f(x)0，此时f(x)为增函数，选C,(2)求证：函数f(x)exx1在(0，)内是增函数， 在(，0)内是减函数,证明：由f(x)exx1，得f(x)ex1. 当x(0，)时，ex10，即f(x)0， 所以f(x)在(0，)内为增函数
4、当x(，0)时，ex10，即f(x)0， 所以f(x)在(，0)内是减函数,命题方向2 求函数的单调区间,解：(1)函数f(x)的定义域为R， f (x)3x23，令f (x)0，则3x230. 即3(x1)(x1)0，解得x1或x1. 函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)， 令f (x)0，则3(x1)(x1)0，解得1x1. 函数f(x)的单调递减区间为(1,1),规律总结 1.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f (x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f (x)0和f (x)0； (4)根据(3)的结果确定函
5、数f(x)的单调区间,2若yf(x)在(a，b)内可导，f (x)0或f (x)0且yf(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则yf(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：yx3在R上f (x)0，所以yx3在R上单调递增,D,命题方向3 已知函数的单调性，确定参数的取值范围,规律总结 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即 f (x)0(或f (x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意 (2)先令f (x)0(或f (x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意,2恒成立问题的重要思路 (1)mf(x)恒成立mf(x)max. (2)mf(x)恒成立mf(x)min.,学科核心素养 转化思想的应用构造法证明不等式,规律总结 若证明不等式f(x)g(x)，x(a，b)，可以转化为证明：f(x)g(x)0.如果f(x)g(x)0，说明函数F(x)f(x)g(x)在(a，b)上是增函数若F(x)f(x)g(x)是增函数，f(a)g(a)0，当x(a，b)时，f(x)g(x)0，即f(x)g(x),D,A,C,【解析】 令F(x)f(x)x22013，则f (x)f (x)2xF(2)0， 不等式f(x)x22013的解集为(，2),D,
