1、1唐山市 20182019 学年度高一年级第一学期期末考试数 学 试 卷本试卷分第卷(12 页，选择题)和第卷(38 页，非选择题)两部分，共 150 分考试用时 120 分钟第卷(选择题，共 60 分)注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 ， ，则 M N( )A. 0，3 B. 3，0 C. (0，3) D. (3，0
2、)【答案】D【解析】【分析】解方程组 即可求出 MN 的元素，从而得出 MNx+y=3x-y=3 【详解】解 得， ；x+y=3x-y=3 x=3y=0 MN（3，0）故选： D【点睛】本题考查描述法表示集合的方法，以及交集的定义及运算2.已知 ， 是第四象限角，则 的值是( )cos=35 tanA. B. C. D. 34 34 43 43【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出 sin 的值，即可确定出 tan 的值2【详解】cos ， 为第四象限角，=35sin ，=- 1-cos2=-45则 tan =-43故选： D【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟
3、练掌握基本关系是解本题的关键3.若幂函数 的图象经过点 ，则 ( )y=f(x) (2, 2) f(3)A. B. C. 3 D. 913 3【答案】B【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数 y f（ x）的解析式，再计算 f（3）的值【详解】设幂函数 y f（ x） x ，其图象经过点 ，(2，2)2 ，= 2解得 ，=12 f（ x） ，=x12= x f（3） = 3故选： B【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题4.下列函数中，既存在零点又是偶函数的是( )A. y lnx B. y cosx2 C. y sin(2x ) D. y x212【答案】C【解析】【分析】根据
4、题意，依次分析选项，综合即可得答案【详解】根据题意，依次分析选项：对于 A， y lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；3对于 B， ycos x+2，是偶函数，但 ycos x+20 恒成立，不存在零点，不符合题意；对于 C， ysin（2 x ）cos2 x，是偶函数且存在零点，符合题意；+2对于 D， y x2+1，是偶函数，但 y x2+10 恒成立，不存在零点，不符合题意；故选： C【点睛】本题考查函数的零点以及函数的奇偶性，关键是掌握常见函数的奇偶性以及图象性质，属于基础题5.已知向量 ， ，若 ，则实数 t( )a=(1,1) b=(2,t) bA. B. C. 2 D.
5、212 12【答案】D【解析】【分析】根据 即可得出 1（ t）120，解出 t 即可ab【详解】 ；ab t20； t2故选： D【点睛】涉及平面向量的共线（平行）的判定问题主要有以下两种思路：（1）若 且 ，则存在实数，使 成立；a0 a/b b=a（2）若 ，且 ，则 .a=(x1,y1),b=(x2,y2) a/b x1y2-x2y1=06.已知 a ， b ， c ，则( )log0.22.1 0.22.1 2.10.2A. cba B. cab C. abc D. acb【答案】C【解析】【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较 a， b， c 与 0 和 1 的大小得答案【
6、详解】 alog 0.22.1log 0.210，0 b0.2 2.10.2 014c2.1 0.22.1 01 a b c故选： C【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小0,17.函数 的零点所在的一个区间是( )f(x)=3x+2xA. (1，2) B. (0，1) C. (1，0) D. (2，1)【答案】C【解析】【分析】依次代入区间的端点值，
7、求其函数值，由零点判定定理判断【详解】 f（2）3 2 +2（2） 40，=19-f（1）3 1 +2（1） 20，=13-f（0）10， f（1）3+20， f（2）9+40， f（1） f（0）0，故选：C【点睛】本题考查了函数零点的判断，考查零点存在性定理，属于基础题8.已知 ，则 ( )sin(6)=13 cos(+3)A. B. C. D. 13 13 223 223【答案】B【解析】【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值【详解】 ，sin(-6)=13 cos（ ）cos(+3)= -35cos （ ）sin（ ） -2- -6 -6 =-13故选： B【点睛】本题考查三
8、角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题9.在同一直角坐标系中，函数 ， 的图象可能是（ f(x)=xa(x0) g(x)=logax(a0,且 a1)） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，对选项中的图象逐个分析，【详解】对于 A 项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以 A 项不满足要求；对于 B 项，幂函数 ，对数函数 ，所以 B 项不满足要求；a1 01对于 D 项，幂函数与对数函数都要求 ，所以 D 项满足要求；00,0)(1) .A=ymaxymin2 ,B=ymax+ymin2(2)由函数的周期 求T ,T
9、=2.7(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .11.已知函数 f (x) 的图象向左平移 个单位后，得到函数 yg( x)的图象，32cos2x+12sin2x 6下列关于函数 yg( x)的说法正确的是( )A. 图象关于点( ，0)对称 B. 图象关于直线 对称3 x=6C. 在区间 单调递增 D. 最小正周期为6,0 2【答案】A【解析】【分析】辅助角公式得： f（ x） sin（2 x ） ，三角函数的对称性、单调性及周=32cos2x+12sin2x= +3期性逐一判断即可【详解】由 f（ x） sin（2 x ） ，=32cos2x+12sin2x= +3将函数 f（ x）si
10、n（2 x ）的图象向左平移 个单位后，得到函数 y g（ x）的图象，+3 6则 g（ x）sin2（ x ） sin（2 x ） ，+6 +3 +23令 2x k，解得： x （ k z）+23= =k2-3当 k0 时，函数图象对称点为：（ ，0） ，故选项 A 正确；-3令 2x k ，解得： x （ k z） ，+23= +2 =k2-12解方程 （ k z） ， k 无解，故选项 B 错误-6=k2-12令 2k 2x ，-2 +232k+2解得： k （ k z）-712xk-12即函数增区间为： k ， k （ k z） ，-712 -12则函数在区间 单调递减，故选项 C 错
11、误，-6，0由 T ，即函数的周期为：，故选项 D 错误，=22=综合得：选项 A 正确；故选： A8【点睛】函数 的性质y=Asin(x+)+B(A0,0)(1) .ymax=A+B，ymin=AB(2)周期 T=2.(3)由 求对称轴x+=2+k(kZ)(4)由 求增区间;2+2kx+2+2k(kZ)由 求减区间.2+2kx+32+2k(kZ)12.定义在 R 上的偶函数 f (x)满足 f (x2) f (x)，当 时， f (x) x3， 则( x3,4)A. B. f(sin1)f(cos32)C. D. f(sin3)f(cos3) f(sin13)1 (a0且 a1)_【答案】
12、a2【解析】【分析】由题意讨论 x1 时，函数 y 是单调减函数，且 y2； x1 时，函数 y 应为单调增函数，且 y2；由此求得 a 的取值范围【详解】由题意知，当 x1 时，函数 y x2+2x+1 是单调减函数，且 y2；当 x1 时，函数 ylog a（ x+3）应为单调增函数，且 y2； ，a 1loga(1+3)2 解得 a2；实数 a 的取值范围是 a2故答案为： a2【点睛】本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题，是基础题16.函数 f (x) (6 x10)的所有零点之和为 _(12)|x2|+2cosx2【答案】16【解析】【分析】构造函数 g（ x）（ ） |x2|
13、， h（ x）2cos ，由于6 x10 时，函数 g（ x） ，12 x2h（ x）的图象都关于直线 x2 对称，可得函数 f（ x）在6 x10 的图象关于直线 x2对称运用6 x10 时，函数 g（ x） ， h（ x）的图象的交点共有 8 个，即可得到 f（ x）的所有零点之和【详解】构造函数 g（ x）（ ） |x2| ，12h（ x）2cos ，x26 x10 时，函数 g（ x） ， h（ x）的图象都关于直线 x2 对称，11函数 f（ x）（ ） |x2| +2cos12 x2（6 x10）的图象关于直线 x2 对称6 x10 时，函数 g（ x） ， h（ x）的图象的交点
14、共有 8 个，函数 f（ x）的所有零点之和等于 4416故答案为：16【点睛】本题考查函数的零点，解题的关键是构造函数，确定函数图象的对称性及图象的交点的个数三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知角 的终边经过点 P( ， )12 32(1)求 sin 的值；(2)求 的值cossin()tan(+)cos(3)【答案】(1) （2）-232【解析】【分析】（1）根据任意角的三角函数的定义即可求出；（2）根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出【详解】解：(1)因为角 的终边经过点 P( ， )， r= (12)2+(32)2=1由正弦函
15、数的定义得 sin （2）原式 ，由余弦函数的定义得 cos ，12故所求式子的值为2【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和同角的三角函数的关系，属于基础题18.已知函数 f (x)2(sin xcos x)cosx1(1)求函数 f (x)的最小正周期；(2)当 时，求函数 f (x)的值域x12,2【答案】(1) ； (2) 1, 2【解析】【分析】（1）求出 f（ x）sin2 x+2cos2x1sin2 x+cos2x sin（2 x ） ，由此能求出函数= 2 +4f（ x）的最小正周期；（2）当 x ， 时，2 x ， ，由此能求出函数 f（ x）的值域122 +4 51254
16、【详解】解：(1)f(x) sin2x2 cos2x1 sin2x cos2x sin(2x )函数 f(x)的最小正周期为 T (2)当 x ， 时，2 x ， ，.当 2x ，即 x 时， f(x)取得最小值1，当 2x ，即 x 时， f(x)取得最大值 ，所以函数 f(x)的值域为1， 【点睛】本题考查函数的最小正周期的求法，考查三角函数的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论论能力、运算求解能力，是中档题19.如图，平行四边形 ABCD 中， AD1， AB2， DAB60 o，点 M 在 AB 上，点 N 在 DC 上，且 AM AB， DN DC13 1213(1)用 和
17、 表示 ； AB AD AN(2)求 ANDM【答案】(1) (2) AN=13ABAD 12【解析】【分析】（1）运用向量的加法可解决此问题；（2）运用数量积的性质和运算可解决此问题【详解】解：(1)在平行四边形 ABCD 中， DN DC所以 ，(2)因为 AM AB所以 ；又因为 AD1， AB2， DAB 60， =12所以 ( )( ) | |2| |2 1 21【点睛】本题考查平面向量的加法运算，平面向量的数量积的性质和运算20.已知函数 f (x) ， ex1 g(x)=3e|x|+1(1)求函数 g (x)的值域；(2)求满足方程 f (x) 0 的 x 的值g(x)【答案】(
18、1) (1,4 ；(2) x ln314【解析】【分析】（1）由指数函数的值域求解函数 g（ x）的值域；（2）由 f（ x） g（ x）0，得 ex 20，对 x 分类求解得答案-3e|x|-【详解】解：(1)g(x) 13( )|x|1，因为| x|0， e|x|1所以 0( )|x|1，03( )|x|3，即 1 g(x)4，故 g(x)的值域是(1,4(2)由 f(x) g(x)0，得 ex 20，当 x0 时，方程无解；当 x0 时， ex 20，整理得( ex)22 ex30，( ex1)( ex3)0，因为 ex0，所以 ex3，即 x ln3【点睛】本题考查函数值域的求法，考查
19、函数的零点与方程的根的关系，是中档题21.已知奇函数 f(x) lnax+1x 1(1)求实数 a 的值；(2)判断函数 f (x)在 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；(1,+)(3)当 x2 ，5，时，ln(1+ x) mln( x1) 恒成立，求实数 m 的取值范围【答案】(1) a1; (2) f(x)在(1，)上为减函数;(3) mln32【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义，推出结果即可；（2）利用函数的单调性的定义证明即可；（3）推出 m 的表达式，利用函数的单调性求解函数的最值，推出结果即可15【详解】解：(1) f(x)是奇函数， f( x) f(x)，即 ln
20、 ln ，即( a21) x20，得 a1，经检验 a1 时不符合题意， a1(2)f(x) ln ， f(x)在(1，)上为减函数下面证明：任取 x1， x2(1，)，且 x1 x2，f(x1) f(x2) ln ln ln( ) ln x1 x2， x2 x10， 1， f(x1) f(x2)0， f(x1) f(x2)， f(x)为(1，)上的减函数(3)由已知得 m ln(1 x) ln(x1)，即 m ln 由(2)知 f(x) ln 在2，5上为减函数则当 x5 时，( ln )min ln32，于是 .mln32【点睛】本题考查函数恒成立函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查转
21、化思想以及计算能力22.如图，已知单位圆 O， A(1，0)， B(0，1)，点 D 在圆上，且 AOD ，点 C 从点 A 沿圆4弧 运动到点 B，作 BE OC 于点 E，设 COA.AB 16(1)当 时，求线段 DC 的长；=512(2) OEB 的面积与 OCD 面积之和为 S，求 S 的最大值 【答案】(1) (2) 334【解析】【分析】（1）根据题意，分析可得当 时， COD ，由余弦定理分析可答案；=512 =512+4=23（2）根据题意，由 COA，利用 表示 OEB 的面积与 OCD 面积，进而可得S sincos （sin+cos） ，令 tsin+cos，运用换元法
22、分析可得答案=12 +24【详解】解：(1) ， COD ， ODC ， DC .(2) COA ， OBE ， OE sin ， BE cos ， S OEB sincos ，17方法一：因为 AOD ， COA 所以 COD ， OC OD1，取 CD 中点 H，则 OH CD， DOH ， DH sin ， OH cos ，所以 S OCD cos sin sin( ) (sin cos )方法二：作 CM ， OEB 的面积与 OCD 面积之和 S sincos (sin cos )，令 t sin cos ， 0， ，则 t1， 且 sincos 所以 S t (t2 t1) (t )2 ，因为 t1， ，当 t 时， S 取得最大值，最大值为 【点睛】本题考查三角函数的建模问题，涉及三角函数的最值和余弦定理的应用，注意用 表示） OEB 的面积与 OCD 面积之和
