1、2.1.1 合情推理,天空乌云密布，你能得出什么推断？,推理无处不在 引例1,根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.,推理,1.铜,铁,铝,金,银等金属能导电,由此得一切金属都能导电. 2.三角形的内角和是180,四边形的内角和是360,五边形的内角和是540,由此得n边形的内角和是(n-2)180. 3.一个数列的前4项分别是2,4,6,8,由此得这个数列的通项公式为2n.,一、归纳推理,观察下列推理的例子,哥德巴赫猜想:,10 37 20 317 30 1317,问题1:以上推理有什么特点?,特点:由部分到整体,由个别到一般的推理.,归纳推理:,由某类事物的部分对象
2、具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论 . 的推理,称为归纳推理(简称归纳).,归：归结。纳：总结.,例1: 观察下列的等式,你有什么猜想吗?,1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52,由此猜想:前n个连续的奇数的和 等于n的平方,即: 1+3+5+(2n-1)=n2,告诉我们考试如何考？不管是会考还是高考。,如果改成2n+1呢？,观察可得：数列的前4项都等于相应项数的倒数.,可用数学归纳法证明这个猜想是正确的.,问题2:由归纳推理得到的结论是否一定可靠?,都是质数.,同学们看，欧拉的计算
3、能力历史上有名，在当时没有计算机、计算器，全靠一支笔，欧拉就把它算出来了.,从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.,他的思路是这样的：,茅草是齿形的；,茅草能割破手.,我需要一种能割断木头的工具；,它也可以是齿形的.,这个推理过程是归纳推理吗？,引例2,除了归纳,人们在 创造发明中，经 常应用类比.,类：同类. 比：比较.,二、类比推理,火星与地球类比的思维过程：,火星,地球,存在类似特征,同学们，虽然人类没有到达火星，但航天器已经到达.美国人觉得所有地球人不是他对手，所以去开辟太空.美国人
4、有个优点，人民自己不会跟自己斗，中国人是窝里斗.并且斗过来斗过去越斗越有精神.为什么人民在斗？因为官员在斗.柏杨写的书丑陋的中国人，他说中国文化是酱缸文化.,由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）,类比推理的定义:,简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理,试根据等式的性质猜想不等式的性质.,猜想不等式的性质：,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,以下类比同时说明考试如何考.,例3：类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.,由平面内的圆，我们联想到空间里的球，让他们来类比你能找到他们有 哪些类似的特征？,例4:试将
5、平面上的圆与空间的球进行类比.,解：圆与球在它们的的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.,据此，圆与球的相关元素之间可建立如下的对应关系：,圆 弦 直径周长 面积,球,截面圆,表面积,体积,等等，于是根据圆的性质，可以猜测球的性质 如下表：,球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面圆,与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大,球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点,经过切点且垂直于切面的直线必经过球心,类比推理举例,构成几何体的元素数目：四面体 三角形,四面体由四个面围成，它是空间中数目最少的基本元素（平面）围成的封
6、闭几何体；在平面内，两条直线不能围成一个封闭的图形，而3条直线可以围成一个三角形，即三角形是平面内数目最少的基本元素（直线）围成的封闭图形。,探究：你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？,例5 ：类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想,我们要根据实际情况选择适当的类比对象如：,平 面,空 间,正方形,正方体,圆,球,三角形,三棱锥,还有向量与数、 无限与有限、 不等与相等类比.,类比推理的结论一定可靠吗？,“平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形” “平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”,“空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形”
7、“空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”,数学家波利亚说，类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中类比问题。开普勒说，我珍视类比胜于任何东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密。,同学们注意，教材答案不好。对于第二个类比，因为直线类比平面，所以类比结果是：在空间中，同时垂直于一个平面的两个平面互相平行。,类比为什么是错误的？原因是在平面内不能做的事情在空间可以做，那就是在空间中可以干折叠、旋转。,三、 合情推理,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。,通俗地说，合情推
8、理是指“合乎情理”的推理。,合情推理的应用,数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。,证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向,法国数学家拉普拉斯说，即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。,例6.这是一个古老的汉诺塔游戏。有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=2时,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,同学们，虽然觉得移动金属片会变幻无穷，杂乱无章，毫无规律，一头乱码，但仔细分析会容易发现规律。只要静下心来，不被表面现象吓倒。,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,归纳:,类比推理,由特殊到特殊的推理;,以旧的知识为基础,推测新的结果；,归纳推理,由部分到整体、特殊到一般的推理;,以观察分析为基础,推测新的结论;,具有发现的功能;,结论不一定成立.,具有发现的功能;,课堂小结,
