1、4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.圆与圆的位置关系及判断方法 (1)几何法,其中r1和r2分别是圆C1和圆C2的半径,d=|C1C2|.,(2)代数法 联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:,相交,外切或内切,探究:当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆是否一定相离?只有一组解时两圆是否一定外切? 答案:不一定.当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆无公共点,两圆可能相离也可能内含;只有一组解时,两圆只有一个公共点, 两圆可能外切也可能内切.,2.直线和圆的方程
2、的应用 直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用,用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.,自我检测,1.(圆与圆位置关系判断)圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是( ) (A)相离 (B)外切 (C)相交 (D)内切,C,A,2.(两圆相交问题)圆x2+y2-2x-5=0和圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的方程为( ) (A)x+y-1=0 (
3、B)2x-y+1=0 (C)x-2y+1=0 (D)x-y+1=0,答案:(x-3)2+(y+4)2=9或(x-3)2+(y+4)2=169,3.(两圆位置关系的应用)以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的方程是 .,答案:3,4.(与两圆相切有关问题)若圆O1:x2+y2=4与圆O2:(x-a)2+y2=1外切,则a= .,题型一,圆与圆位置关系的判断,课堂探究素养提升,【思考】 1.在相离、外切、相交、内切和内含的位置关系下,两圆的公切线条数分别为多少条? 提示:,2.若用代数法判断两圆位置关系:当=0时,两圆的位置关系是什么? 提示:外切或内切.,【例1】 已知圆C1:x
4、2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,问m为何值时, (1)圆C1与圆C2相外切? (2)圆C1与圆C2内含?,方法技巧 判断两圆的位置关系有几何法和代数法两种,几何法比代数法简便,因此解题时常用几何法,用几何法判断两圆位置关系的步骤如下: (1)将两圆的方程化为标准方程. (2)求出两圆的圆心距d和半径r1,r2. (3)根据d与|r1-r2|、r1+r2的大小关系作出判断.,即时训练1-1:(1)圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (2)(201
5、8北京模拟)已知圆M:x2+y2=2与圆N:(x-1)2+(y-2)2=3,那么两圆的位置关系是( ) (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)外离,【备用例1】 a为何值时,两圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. (1)外切;(2)相交;(3)外离.,解:将两圆方程化为标准方程,C1:(x-a)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-a)2=4,从而C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2. 设两圆的圆心距为d, 则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. 当d=r1+r2,即2a2+6a+5=2
6、5时,两圆外切,此时a=-5或a=2. 当1r1+r2,即d225,也即2a2+6a+525时,两圆外离,此时a2.,题型二,两圆位置关系的综合应用,【例2】 (12分)已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.试判断两圆的位置关系;若两圆相交,求公共弦所在的直线方程及公共弦的弦长.,变式探究:本例中两圆的公切线有 条.,方法技巧 (1)将两圆的方程相减即可得到两相交圆的公共弦所在的直线方程. (2)在两圆中选定一个圆,利用半弦长、弦心距、半径的关系,可求出公共弦的弦长. (3)注意:两相交圆的圆心的连线垂直平分相交弦.(注:本题只用了几何法,同学们也可以试试
7、用代数法求解),即时训练2-1:点P在圆C1:x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是 .,【备用例2】 求过点(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程.,题型三,直线和圆的方程的应用,【例3】 装修房间时,准备在过道顶部设计如图所示的圆弧造型. (1)请你建立适当的平面直角坐标系,求出圆弧所在圆的方程;,规范解答:(1)如图,以AD所在直线为x轴,以AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则点F(60,160).设圆的方程为x2+y-(200-r)2=r2(r0), 因为点F在圆上, 所以602+16
8、0-(200-r)2=r2(r0),解得r=65, 故圆的方程为x2+(y-135)2=4 225.,(2)现有一个长方体形的冰箱,其长、宽、高分别为100 cm,80 cm,180 cm,用坐标法判断该冰箱能否直立通过此过道?,规范解答:(2)当y=180时,x2+(180-135)2=652, 解得x2=2 200402, 故冰箱可以通过此过道.,方法技巧求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 (1)认真审题,明确题意; (2)建立平面直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与曲线的方程; (3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题; (4)把代数结果还原为实际
9、问题的解.,即时训练3-1: 为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.,【备用例3】 已知RtABC的斜边BC为定长2m,以斜边的中点O为圆心作直径为定长2n(nm)的圆,直线BC交此圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.,题型四,易错辨析位置关系判断失误,【例4】 已知圆C1:x2+y2+2x+2y+1=0,圆C2:x2+y2+4x+3y=0,判断圆C1与圆C2的位置关系.,谢谢观赏！,
