1、1.绝对值三角不等式,1.绝对值的几何意义 (1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离. (2)对于任意实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A,B,|a-b|表示数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度. 2.绝对值三角不等式 (1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. (2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,名师点拨绝对值三角不等式的完整形式:|a|-|b|ab|a|+|b|. 其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab0,且|a|
2、b|; (2)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab0; (3)|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab0,且|a|b|; (4)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab0.,做一做1 若|lg ab|=|lg a|+|lg b|成立,则实数a,b满足的条件可以是( ) A.ab1 B.01 解析：由已知得|lg a+lg b|=|lg a|+|lg b|,所以lg alg b0,因此a1,且b1或0a1,且0b1. 答案：C,3.绝对值三角不等式的几何意义 (1)若a,b是任意不共线的向量,则有|a+b|a|+|b|,其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边. (2)|a-c|a-b
3、|+|b-c|的几何意义是:数轴上任意一点到两点的距离之和,不小于这两点的距离. 做一做2 若x,y,z是任意三个互不相等的实数,且a= ,则实数a的取值范围是 .,答案：1,+),思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)在|a+b|a|+|b|中,等号成立的条件是a,b同号. ( ) (2)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab0. ( ) (3)数轴上任意一点到两点的距离之和,大于这两点间的距离. ( ) (4)形如|x-a|+|x-b|的代数式只有最小值没有最大值. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,对绝对值三角不等式的理解 【例1】
4、 若|a-c|a|-|c| D.|b|0,|b|=b. 因为|a|-|c|a-c|,所以|a|-|c|b|,即选项C正确,这时|a|b|+|c|,选项A正确; 因为|c|-|a|a-c|,所以|c|-|a|b|,所以|c|b|+|a|,选项B正确;选项D无法判断. 答案：D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟判断绝对值不等式是否成立的技巧 1.注意对影响不等号的因素进行分析,如一个数是正数,是负数还是零等,数(或式子)的积、平方、取倒数等也都对不等号产生影响,注意考察这些因素在不等式中的作用. 2.如果对不等式不能直接判断,可以对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断. 3.
5、注意不等式性质尤其是传递性的正确应用.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1 已知实数a,b满足ab|a-b| B.|a+b|a-b| C.|a-b|a|-|b| D.|a-b|a|+|b| 解析：因为ab0,所以|a-b|=|a|+|b|, |a+b|a|+|b|,所以|a+b|a-b|. 答案：B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用绝对值三角不等式求最值 【例2】 求解下列各题: (1)求函数f(x)=|x-4|-|x+2|的最大值和最小值. (2)若函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值等于5,求实数a的值. 分析：(1)利用绝对值三角不等式求解,注意等号成立的条件;(
6、2)先用a表示函数的最小值,再求得实数a的值. 解：(1)由绝对值三角不等式可得|x-4|-|x+2|(x-4)-(x+2)|,即|x-4|-|x+2|6,所以-6|x-4|-|x+2|6,故函数f(x)的最小值是-6,最大值是6. (2)由绝对值三角不等式可得|(x-a)-(x-1)|x-a|+|x-1|,即|x-a|+|x-1|1-a|,所以函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为|1-a|,于是|1-a|=5,解得a=-4或6.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟利用绝对值三角不等式求最值的技巧 1.绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系,形如y=|x-a|+|x-b|或y
7、=|x-a|-|x-b|型函数的最值,均可利用该不等式或其几何意义进行求解. 2.一般地,函数y=|x-a|+|x-b|有最小值|a-b|,无最大值;函数y=|x-a|-|x-b|的最大值为|a-b|,最小值为-|a-b|. 3.求最值时,还应注意等号成立的条件.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 (1)函数f(x)=|2x+1|+|2x-4|的最小值等于 . (2)若|x-2|-|x-3|m恒成立,则实数m的取值范围是 . 解析：(1)f(x)=|2x+1|+|2x-4|(2x+1)-(2x-4)|=5,所以函数的最小值为5. (2)因为函数y=|x-2|-|x-3|的最小值为-
8、1,所以实数m的取值范围是m-1. 答案：(1)5 (2)m-1,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用绝对值三角不等式证明不等式 【例3】 已知 ,求证|(A+B+C)-(a+b+c)|s. 分析：先将求证不等式左边进行变形,重新组合,与已知条件相对应,再利用绝对值三角不等式证明. 证明：|(A+B+C)-(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+(C-c)|,反思感悟利用绝对值三角不等式证明的技巧 1.含绝对值不等式的证明一般可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明. 2.注意与不等式性质、证明不
9、等式其他方法的结合.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 已知|x-a|,|y-b|,求证|x+3y-a-3b|4. 证明：|x+3y-a-3b|=|(x-a)+3(y-b)|x-a|+|3(y-b)|=|x-a|+3|y-b|+3=4,故原不等式成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因题意理解不清致错 典例若关于x的不等式|x+5|+|x+7|a的解集不是R,则实数a的取值范围是 . 错解依题意得a(|x+5|+|x+7|)min,而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a2.,正解若关于x的不等式|x+5|+|x+7|a的解集是R,则该不等式恒成立,因此a(|x+5|+|
10、x+7|)min. 而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a2,故要使不等式的解集不是R,实数a的取值范围是a2. 答案2,+),纠错心得由于对“解集不是R”的意义理解不清而导致错解,事实上,可以利用补集思想解决这个问题,即先求出当不等式解集为R时a的取值范围,再取其补集即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 若关于x的不等式|x+5|-|x-3|a有解,则实数a的取值范围是 . 解析：因为|x+5|-|x-3|的最大值等于8,所以当a8时,不等式|x+5|-|x-3|a无解,从而当不等式有解时,实数a的取值范围是(-,8). 答案：(-,8),1 2 3 4 5,1.若|a
11、+b|a|+|b|,则必有( ) A.ab0 B.ab0 C.ab0 D.ab0 解析：因为|a+b|a|+|b|,又|a+b|a|+|b|,所以|a+b|=|a|+|b|,因此必有ab0. 答案：B,1 2 3 4 5,2.函数f(x)=|x+2|+|x-2|的最小值为( ) A.4 B.2 C.0 D.-4 解析：因为|x+2|+|x-2|(x+2)-(x-2)|=4,所以函数f(x)的最小值为4. 答案：A,1 2 3 4 5,3.若|x-a|h,|y-a|k,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.|x-y|2h B.|x-y|2k C.|x-y|h+k D.|x-y|h-k| 解析：|x-y|=|(x-a)+(a-y)|x-a|+|a-y|h+k. 答案：C,1 2 3 4 5,4.函数y=|4x-1|-|4x+2|的值域为 . 解析：因为|4x-1|-|4x+2|(4x-1)-(4x+2)|=3,所以-3|4x-1|-|4x+2|3,故函数y的值域为-3,3. 答案：-3,3,1 2 3 4 5,证明：分两种情况: (1)|a|b|,结论显然成立. (2)当|a|b|时,因为|a2-b2|a2|-|b2| =|a|2-|b|2=(|a|+|b|)(|a|-|b|) |a|(|a|-|b|),
