1、习题课 离散型随机变量的均值,第二章 随机变量及其分布,学习目标 1.进一步熟练掌握均值公式及性质. 2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题,达标检测,题型探究,内容索引,题型探究,类型一 放回与不放回问题的均值,例1 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数的均值；,解答,随机变量的分布列为,随机变量服从超几何分布，n3，M2，N10，,(2)放回抽样时，抽取次品数的均值,解答,反思与感悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算,跟踪训练1 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，
2、乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为 ，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2. (1)若m10，求甲袋中红球的个数；,解答,解 设甲袋中红球的个数为x，,(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是 ，求P2的值；,解答,(3)设P2 ，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次设表示摸出红球的总次数，求的分布列和均值,解答,解 的所有可能取值为0,1,2,3.,所以的分布列为,类型二 与排列、组合有关的分布列的均值,解答,例2 如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)
3、，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V0),(1)求V0的概率；,(2)求均值E(V),解答,因此V的分布列为,反思与感悟 解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到,跟踪训练2 某位同学记住了10个数学公式中的m(m10)个，从这10个公式中随机抽取3个，若他记住2个的概率为 . (1)求m的值；,解答,即m(m1)(10m)120，且m2.
4、 所以m的值为6.,(2)分别求他记住的数学公式的个数X与没记住的数学公式的个数Y的均值E(X)与E(Y)，比较E(X)与E(Y)的关系，并加以说明,解答,没记住的数学公式有1064个，故Y的可能取值为0,1，2,3.,所以Y的分布列为,E(X)E(Y)说明记住公式个数的均值大于没记住公式个数的均值 E(X)E(Y)3.说明记住和没记住的均值之和等于随机抽取公式的个数,类型三 与互斥、独立事件有关的分布列的均值,解答,例3 某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是 ，外语考核合格
5、的概率是 ，假设每一次考核是否合格互不影响 假设该生不放弃每一次考核的机会用表示其参加补考的次数，求随机变量的均值,解 的可能取值为0,1,2. 设该学生第一次，第二次身体体能考核合格分别为事件A1，A2，第一次，第二次外语考核合格分别为事件B1，B2，,所以的分布列为,反思与感悟 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率,解答,解 由题意，得X的所有可能取值是3,4,5.,所以X的分布列为,类型四 均值问题的实际应用,例4 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年 后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可 以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器 使
6、用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现 需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为 此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得柱状图：,以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 (1)求X的分布列；,解答,解 由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，且X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22，从而 P(X16)0.20.20.04； P(X17
7、)20.20.40.16； P(X18)20.20.20.40.40.24； P(X19)20.20.220.40.20.24； P(X20)20.20.40.20.20.2； P(X21)20.20.20.08； P(X22)0.20.20.04.,所以X的分布列为,解答,(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；,解 由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.,(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？,解 记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元) 当n19时， E(Y)192000.68(192
8、00500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040. 当n20时， E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080. 可知当n19时所需费用的均值小于当n20时所需费用的均值， 故应选n19.,解答,反思与感悟 解答概率模型的三个步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些 (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值 (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论,跟踪训练4 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为,商场经销一件该商品，采
9、用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润 (1)求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；,解答,解 由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，,解答,(2)求的分布列及均值E(),解 的可能取值为200,250,300. P(200)P(1)0.4， P(250)P(2)P(3)0.20.20.4， P(300)P(4)P(5)0.10.10.2， 因此的分布列为,E()2000.42500.43000.2240(元),达标检测,答案,1,2,3,4,5,
10、1.若随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)等于,解析,答案,解析,1,2,3,4,5,2.某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是 A.np(1p) B.np C.n D.p(1p),解析 用电单位XB(n，p)，E(X)np.,解析,3.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为,1,2,3,4,5,答案,4.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数是75,80，则这次考试该年级学生平均分数为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,78,1
11、,2,3,4,5,5.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；,解答,解 设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，,1,2,3,4,5,(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值.,解答,解 依题意，得X所有可能的取值是1,2,3，,所以X的分布列为,规律与方法,1.实际问题中的均值问题 均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计. 2.概率模型的解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些. (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值. (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.,
