1、二 用数学归纳法证明不等式举例,与正整数n有关的几个不等式 (1)当nN+,n5时,n2-1,x0,n为大于1的自然数,那么有(1+x)n1+nx. 当是实数,并且满足1或者-1); 当是实数,并且满足0-1). (4)如果n(n为正整数)个正数a1,a2,an的乘积a1a2an=1,那么它们的和a1+a2+ann.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)若nN+,且n2-1,x0,则(1+x)41+4x. ( ),探究一,探究二,规范解答,利用数学归纳法证明不等式 分析：找准n0,看左边是多少项,从n=k到n=k+1时添了什么项,少了什么项,根据n
2、=k时的假设,从而证明当n=k+1时不等式成立.,探究一,探究二,规范解答,当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切的n2,且nN+,不等式都成立.,探究一,探究二,规范解答,反思感悟数学归纳法证明不等式的技巧 1.证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k时的假设,因此需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一. 2.数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能完成
3、证明过程.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,利用数学归纳法证明数列中的不等式问题,分析：证明当n=k+1时不等式成立的关键是利用好n=k成立时的假设,以及当n=k+1时不等式的恰当变形.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,反思感悟利用数学归纳法证明数列中的不等式问题的基本策略 1.首先掌握好数学归纳法证明问题的基本步骤以及数列的有关知识,这是解决这类问题的基础. 2.这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关,有时要证明的式子是直接给出,有时是根据条件从前几项入手,通过观察、猜想,归纳出一个式子,然后再用数学归纳法证明.证明过程中,注意递推关系式的利用以及
4、正整数n的性质.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,不等式中的归纳、猜想、证明问题 典例设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,nN+. (1)当n=1,2,3,4时,比较f(n)与g(n)的大小. (2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明. 【审题策略】对于(1),可逐一计算进行比较;对于(2),可在(1)的基础上进行归纳猜想,然后利用数学归纳法证明猜想. 【规范展示】解(1)当n=1时,nn+1=1,(n+1)n=2,所以f(1)g(3). 当n=4时,nn+1=1 024,(n+1)n=625, 所以f(4)g(4).,探究一,探究二,规范解答,(2)
5、由(1)可猜测,当n3时f(n)g(n). 以下用数学归纳法证明该猜测. 当n=3时,nn+1=81,(n+1)n=64,所以f(3)g(3). 所以猜测成立; 假设当n=k(k3)时猜测成立,即f(n)g(n),即(k+1)k+2(k+2)k+1成立,亦即f(n+1)g(n+1)成立. 因此当n=k+1时猜测成立. 由知,当n3时f(n)g(n)成立.,探究一,探究二,规范解答,【答题模板】 第1步:代入计算,逐一进行比较,得出具体结论. 第2步:进行归纳猜想,得到一般性结论. 第3步:证明初始值成立. 第4步:假设当n=k(k3)时,结论成立得到归纳假设,并变形. 第5步:证明n=k+1时
6、结论成立. 第6步:证得结论.,探究一,探究二,规范解答,失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下: (1)第一问数据计算失误,得不出正确结果; (2)第二问中不能正确地利用归纳并猜想得出一般性结论; (3)用数学归纳法证明时,步骤不完整; (4)证明当n=k+1时结论成立时,不能正确地进行放缩,从而无法利用归纳假设致误.,探究一,探究二,规范解答,1 2 3 4 5,答案：C,1 2 3 4 5,答案：C,1 2 3 4 5,答案：8,1 2 3 4 5,因此当n=k+1时不等式成立. 故原不等式对一切n2,nN+均成立.,1 2 3 4 5,5.对于一切正整数n,先猜出使tnn2成立的最小自然数t,然后用数学归纳法证明,并证明不等式n(n+1) lg(123n).,解：猜想当t=3时,对一切正整数n,使3nn2成立. 证明:当n=1时,31=31=12,不等式成立. 假设当n=k(k1)时,3kk2成立, 即3kk2+1. 当n=k+1时, 3k+1=33k=3k+23kk2+2(k2+1)3k2+1(k1). (3k2+1)-(k+1)2=2k2-2k=2k(k-1)0, 3k+1(k+1)2. 当n=k+1时不等式成立. 由上知,不等式3nn2对一切正整数nN+都成立.,1 2 3 4 5,
