1、,2.3数学归纳法,问题情境一,问题 1:明朝刘元卿编的应谐录中有一个笑话：从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。”,他运用什么方法得到的结论？ 为什么会出现错误？,你的猜想正确吗?如何证明呢？,问题2： 在数列,中,1,(n ),先计算,，,，,的值，再推测通项 的公
2、式.,归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。,结论一定可靠,结论不一定可靠,考察全体对象,得到一般结论的推理方法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法,归纳法分为完全归纳法 和不完全归纳法,二、数学归纳法,多米诺骨牌效应,多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？,二、数学归纳法,多米诺骨牌效应,1.使第一张牌能倒下； 2.假设第k张能倒下，则一定能压倒紧挨的第k1张牌。,类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法,一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：,( 2 ) 假设n = k ( k n0 ，k N* ) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立
3、。,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法,（1） 证明当n取第一个值 n0 时命题成立。,（归纳基础）,( 归纳递推 ),数学归纳法,题例：用数学归纳法证明： 122334n(n1) ,证明:,2)假设n=k时命题成立,即 122334k(k+1), n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。,1)当n=1时，左边=12=2,右边= =2. 命题成立,从n=k到n=k+1的变化,凑假设,凑结论,三、例题讲解：,四：疑点解析用数学归纳法证明1+3+5+ +（2n-1)=,哪错了？,用数学归纳法证明1+3+5+ +（2n-
4、1)=,证明：假设n=k时等式成立，即,那么,即n=k+1时等式成立。所以等式对一切正整数n均成立。,五、练习巩固,1.用数学归纳法证明1+3+5+ +（2n-1)= n2,可否改换为：1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)2,问:第步中,当n=k+1时：1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k2+2k+1 = (k+1)2 ,所以当n=k+1时等式也成立；,2. 证明凸n边形内角和为 中， 初始值应该从几取？,初始值应取3,四：巩固提高,课堂小结,1、数学归纳法能够解决哪一类问题？2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？3、应用数学归纳法证明命题应注意什么问题？,一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题。,两个步骤和一个结论，缺一不可。,（1）第一步是证明的基础，必不可少。 （2）初始值不一定为1。 （3）第二步证明时必须要用到假设。,作业,1、教材P96 A组1（1）（3） 2、查阅资料皮亚诺公理（数学归纳法的理论根据）,谢谢大家,欢迎各位老师提出宝贵意见,在应用数学归纳法时，应该注意哪些问题？,（1）第一步是证明的基础，必须先验证初始值是否成立。,（2）初始值不一定是1，而是使命题成立的第一个正整数。,（3）第2步证明中，必须用到假设的结论。,
