1、4.1.1数系的扩充和复数的概念,Z,自然数（正整数与零）,整数,有理数,实数,可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。,N,Q,R,复习回顾,引入负整数,引入分数,引入无理数,情境引入,一元二次方程,，有没有实数根？,类比每一次数系的扩充过程，我们能否引进一个新数，将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到解决呢？,问 题1：,09:03,历史再现,1545年意大利有名的数学 “怪杰” 卡尔丹,第一次开始讨论负数开平方的问题，当时,这种数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，,法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取,
2、了一个名字虚数1777年 瑞士数学家,欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，,并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表,示它的单位.直到1801年，德国数学家高斯,系统地使用了i这个符号，于是使之通行于世 。,09:03,为了解决负数开平方问题，数学家引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：,(1) i21 ；,(2)实数可以与i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立.,问题解决:,09:03,问 题 2：,把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，你得到什么样的数？,i 与实数b 相乘得bi ,规定0乘以i 等于0 bi 与实数a相加得a+bi
3、,09:03,自主学习,复数：形如_叫做复数，常用字母_表示，全体复数构成的集合叫做_，常用字母表示复数的代数形式：_，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是,a+bi(a,bR)的数,z,复数集,C,z= a+bi(a,bR),a,b,实数,09:03,复数的概念,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,复数的代数形式：,全体复数所形成的集合叫做复数集，,一般用字母C表示.,知新,09:03,说出下列复数的实部和虚部？,小试牛刀,虚数,实数,复数z=a+bi(a R、b R)能表示实数和虚数,09:03,对于复数a+bi(a,bR), 当且仅当时,它是实数; 当且仅当时,它是
4、实数0; 当时, 叫做虚数; 当时, 叫做纯虚数;,自主学习,b=0,a=0且b=0,b0,a=0且b0,09:03,复数z=a+bi(a R、b R)能表示实数和虚数,问 题 3：,如何对复数a+bi(a,bR)进行分类?,复数z=a+bi,09:03,你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗？,问 题 4：,09:03,a,b,c,d应满足什么条件呢？,问 题 5：,若复数,09:03,思考,知新,若,问题解决:,09:03,口 答,若2-3i=a-3i，求实数a的值； 若8+5i=8+bi，求实数b的值； 若4+bi=a-2i，求实数a,b的值。,09:03
5、,虚数,例 1:完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）,典例解析,09:03,实数m取什么值时，复数 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？,解：（1）当 ，即 时，复数z 是实数,（2）当 ，即 时，复数z 是虚数,例2：,09:03,例3: 已知 其中 求,解：根据复数相等的定义，得方程组,得,解题思考：,复数相等的问题,转化,求方程组的解的问题,一种重要的数学思想：转化思想,09:03,当m为何实数时，复数 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数,练一练,09:03,z = a + bi,(a,bR),复数的分类,当b=0时z为实数;,当b0时z为虚数,(此时,当a =0时z为纯虚数).,复数的相等,a+bi=c+di,(a, b,c,dR),课堂小结,09:03,
