1、第四章 定积分的应用 3.2 简单几何体的体积,一个平面图形绕平面内的一条定直线旋 转一周所形成的几何体叫旋转体，这条定直 线叫做旋转轴。圆柱、圆锥、圆台、球体、 球冠都是旋转体。,计算由区间a、b上的连续曲线 、 两直线x=a与x=b及x轴所围成的曲边梯形 绕 x轴旋转一周所成的旋转体的体积。,旋转体的体积,复习回顾,由微元法，取x为积分变量，其变化范围为区间 a,b。在区间a,b的任意一个小区间x,x+dx上，相 应的薄旋转体的体积可以用以点x处的函数值f(x)为底 面半径，以dx为高 的扁圆柱体的体积近似代替，,从而得到体积元素,所以，所求旋转 体的体积,类似地可得，由区间c,d上的连续
2、曲线 , 两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋 转一周所成的旋转体的体积为,例 : 求由椭圆,解 利用图形的对称性,只需考虑第一象限内,(一) 绕x轴：选取积分变量为 x 0, a，,所围图形分别绕,x 轴和y轴旋转所成的旋转体的体积.,任取一个子区间 x, x + dx 0, a，,的曲边梯形绕坐标轴旋转一周所成的旋转体的体积，,所求体积为该体积的2倍。,在子区间x , x + dx 上旋转体的微元为：,于是,dV1= py2 dx，,(二)绕y轴：选积分变量 y 0, b，任取子区间 y , y + dy 0, b.,在子区间 y , y + dy上体积的微元为,则,1、求
3、y = x2 与 y2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积.,解 选积分变量 x 0, 1 (两曲线的交点为 (0, 0) 和 (1, 1) ，,任取子区间x, x + dx 0, 1，其上的体积的微元为,练习,2. 曲线 与直线 所成的图形 的面积为 （ ）,3. 将第一象限内由x轴和曲线 与直线 所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 等于 ( ),练习,D,C,课堂小结： 求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体体积公式步骤如下： 1先求出 的表达式；,2代入公式 ，,即可求旋转体体积的值。,微积分的创立，使得：过去少数大数学家 潜心研究的需要特殊方法才能解决的 许多问题，今天一个接受过微积分基本训练的 学生就能轻易解决。,利用祖暅原理获得球的体积,拓展眼界,祖暅原理，又名等幂等积定理， 内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体， 被平行于这两个平行平面的任何平面所截， 如果截得两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等。,
