2019届中考数学复习第三章函数3.4二次函数课件.ppt

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1、第三章 函数,3.4 二次函数,考点1 二次函数的图像与性质,陕西考点解读,中考说明: 1.会用描点法画出二次函数的图像,通过图像了解二次函数的性质。 2.会用配方法将含有数字系数的二次函数的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图像的顶点坐标,说出图像的开口方向,画出图像的对称轴,并能解决简单的实际问题。,陕西考点解读,陕西考点解读,陕西考点解读,1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图像如图,有下列结论:抛物线过原点; 4a+b+c=0;a-b+c0;抛物线的顶点坐标为(2,b);当x2时,y随x的增大

2、而增大。其中结论正确的是( ) A. B. C. D.,【提分必练】,C,陕西考点解读,【解析】抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线与x轴的另一个交点坐标为(0,0),故结论正确。抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=2,且抛物线过原点,- =2,c=0,b=-4a,c=0,4a+b+c=0,故结论正确。当x=-1和x=5时,y的值相同,且均为正,a-b+c0,故结论错误。当x=2时,y=ax2+bx+c=4a+2b+c=(4a+b+c)+b=b,抛物线的顶点坐标为(2,b),故结论正确。观察函数图像可知,当x2时,y随

3、x的增大而减小,故结论错误。综上所述,结论正确的是。故选C。,考点2 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像特征与各项系数之间的关系,陕西考点解读,陕西考点解读,抛物线的开口大小由|a|确定;|a|越大,抛物线的开口越小;|a|越小, 抛物线的开口越大。,【特别提示】,陕西考点解读,【提分必练】,2.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,对称轴是直线x=-1,有以 下结论:abc0; 4acb2;2a+b=0;a-b+c2。其中正确 的结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,C,【解析】由二次函数图像的开口方向向下,得a0;由其对称轴在y轴的左侧知,b0;由其与y轴的正半轴相

4、交,得c0,所以abc0,故正确。因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0,即4ac2,故正确。故选C。,考点3 二次函数图像的平移规律,陕西考点解读,陕西考点解读,1.抛物线在平移的过程中,a的值不发生变化,变化的只是顶点的位置,且与平移方向有关。 2.涉及抛物线的平移时,先将一般式转化为顶点式,即y=a(x-h)2+k的形式。 3.抛物线的平移主要看顶点的平移,抛物线y=ax2的顶点是(0,0),抛物线y=ax2+k的顶点是(0,k),抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),抛物线y=a(x-h)2+k的顶点是(h,k)。我们只需在坐标系中画出这几个顶点,即可看出平移的方向。 4

5、.抛物线的平移口诀:自变量加减左右移,函数值加减上下移。,【特别提示】,陕西考点解读,【提分必练】,3.将函数y=x2的图像用下列方法平移后,所得的图像不经过点A(1,4) 的方法是( ) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移3个单位长度 C.向上平移3个单位长度 D.向下平移1个单位长度,【解析】A.平移后图像对应的函数解析式为y=(x+1)2,图像经过点A,故不符合题意;B.平移后图像对应的函数解析式为y=(x-3)2,图像经过点A,故不符合题意;C.平移后图像对应的函数解析式为y=x2+3,图像经过点A,故不符合题意;D.平移后图像对应的函数解析式为y=x2-1,图像不经过点A,故符合

6、题意。故选D。,D,考点4 二次函数的解析式,陕西考点解读,1.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0); (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数,a0); (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0)。 2.当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,即对应一元二次方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2时,分解因式得ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函数y=ax2+bx+c可转化为交点式y=a(x-x1)(x-x2)。若抛物线与x轴没有交点,则二次函数不能用交点式表示。,陕西考点解读,4.若二次函数的部分

7、图像如图,对称轴是直线x=-1,则这个二次函数的解析式为( ) A.y=-x2+2x+3 B.y=x2+2x+3 C.y=-x2+2x-3 D.y=-x2-2x+3,【提分必练】,D,【解析】由图像知,抛物线的对称轴为直线x=-1,且抛物线过点(-3,0), (0,3)。设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+k(a0)。将(-3,0),(0,3)分别代入上式,得 解得 二次函数的解析式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3。故选D。,陕西考点解读,5.已知二次函数y有最大值4,且图像与x轴的两交点间的距离是8,对称轴为直线x=-3,则此二次函数的解析式为y=_。,【解析】该函数图像与x轴

8、的两交点间的距离是8,对称轴为直线x=-3,该函数图像与x轴的两个交点的坐标分别是(-7,0),(1,0)。设该二次函数的解析式为y=a(x+7)(x-1)(a0)。把顶点(-3,4)代入,得4=a(-3+7)(-3-1),解得a= 。故该二次函数的解析式为y= (x+7)(x-1)= 。,考点5 二次函数与一元二次方程的联系,陕西考点解读,1.一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴交点的横坐标。因此,根据一元二次方程的根的判别式=b2-4ac能够判断对应的二次函数的图像与x轴是否有交点。 当0时,二次函数的图像与x轴有两个交点; 当=0时,二次函数的图像与x轴有一个交点; 当0时,二

9、次函数的图像与x轴没有交点。,中考说明:会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)与不等式的关系 (1)ax2+bx+c0的解集 二次函数y=ax2+bx+c的图像位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围; (2)ax2+bx+c0的解集 二次函数y=ax2+bx+c的图像位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围。,陕西考点解读,陕西考点解读,6.二次函数y=-x2+mx的图像如图,对称轴为直线x=2,若关于x 的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1x5内有解,则t的 取值范围是( ) A.t-5 B.-5t3 C.3t4 D.-5t4,【提

10、分必练】,D,【解析】如答图,关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是 抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标。由抛物线的对称轴 为直线x=2,得m=4。所以y=-x2+4x。所以当x=1时,y=3;当x=5时, y=-5。由图像可知,关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数) 在1x5内有解,即直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间(包括 直线y=4),-5t4。故选D。,重难点1 二次函数的图像和性质(重点),重难突破强化,例1 对于二次函数y=x2-2mx-3,下列结论错误的是( )A.它的图像与x轴有两个交点B.方程x2-2mx=3的两根之积为-3C.它的

11、图像的对称轴在y轴的右侧D.当xm时,y随x的增大而减小,C,【解析】=(-2m)2+12=4m2+120,二次函数的图像与x轴有两个交点,故A选项正确;方程x2-2mx=3,即x2-2mx-3=0的两根之积为 =-3,故B选项正确;m的值不确定,它的图像的对称轴的位置无法确定,故C选项错误;a=10,对称轴为直线x=m,当xm时,y随x的增大而减小,故D选项正确。故选C。,例2 (2018某交大附中模拟)如图,一次函数y1=x与二次函数 y2=ax2+bx+c的图像相交于P,Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c 的图像可能是( ),重难突破强化,【解析】一次函数y1=x与二次函数y2=

12、ax2+bx+c的图像相交于P,Q两点,方程ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的实数根,函数y=ax2+(b-1)x+c的图像与x轴有两个交点。又 0,a0, 0,即函数y=ax2+(b-1)x+c的图像的对称轴为直线x= 0,故选项A符合题意。故选A。,A,重难点2 二次函数图像与a,b,c之间的关系(重点),重难突破强化,例3 (2018某交大附中模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)的部分图像,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在(3,0)和(4,0)之间,则有下列结论:b0;2a+b=0;4a-2b+c0;关于x的方程ax2+bx+c=0的另一个解在-2和-3之

13、间。其中正确的结论的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4,D,【解析】由图像知,a0,故正确。由顶点坐标为(1,n)知,对称轴为直线x=1,即 =1,则2a+b=0,故正确。由抛物线的顶点坐标及与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,得抛物线与x轴的另一个交点在点(-1,0)和(-2,0)之间,所以当x=-2时,y0,即a+b+c0,故正确。由的分析知,错误。故选D。,重难突破强化,重难点3 二次函数解析式的确定(重点),重难突破强化,例4 (2018某铁一中模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像经过A(1,0),B(3,0)两点,顶点为D,点D关于x轴的对称点为D

14、,若ADD为等边三角形,则a的值为( ) A . B.1 C. D.,D,【解析】如答图,由题意设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3)= a(x-2)2-1,则顶点D(2,-a),所以顶点D关于x轴的对称点 D的坐标为(2,a)。因为ADD是等边三角形,所以DAD= 60。因为点A到DD的距离为1,所以DD= ,所以a= 。故选D。,重难点4 二次函数图像的平移(重点),重难突破强化,例5 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线m:y=-2x2-2x的顶点为C,与x轴的两个交点分别为P,Q。现将抛物线m先向下平移再向右平移,使点C的对应点C落在x轴上,点P的对应点P落在y轴上,则下列各点

15、的坐标不正确的是( ) A.C B.C (1,0) C.P(-1,0) D.P,B,【解析】因为y=-2x2-2x=-2x(x+1),所以P(-1,0)。因为y=-2x2-2x=-2 + , 所以C 。因为点C在x轴上,点P在y轴上,所以将抛物线m先向下平移了 个单位长度,再向右平移了1个单位长度,所以点C( ,0),P(0 , )。故选B。,重难突破强化,重难点5 二次函数综合题(难点),重难突破强化,类型一 二次函数与图形的判定 例6 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像过点M(-2, ),顶点坐标为 N ,且与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C。(1)求抛物线的解析式; (2

16、)点P为抛物线对称轴上的动点,当PBC为等腰三角 形时,求点P的坐标。,【解】(1)由抛物线的顶点坐标为N ,设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+ 。 将点M(-2, )的坐标代入,解得a=- 。抛物线的解析式为y=- x2- x+ 。 (2) y=- x2- x+ 。 当x=0时,y= ,C(0, )。 当y=0时, - x2- x+ =0,解得x=1或x=-3。A(1,0),B(-3,0)。 BC= 设点P(-1,m)。 当CP=CB时,CP= 解得m= ; 当BP=BC时,BP= ,解得m= ; 当BP=PC时, 解得m=0。 综上所述,当PBC为等腰三角形时,点P的坐标为( -1,

17、) 或( -1, )或 ( -1, )或 ( -1,- )或(-1,0) 。,重难突破强化,例7 (2017某工大附中模拟)如图,抛物线W:y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3,0)和点B,交y轴于点C(0,3),顶点记为D。 (1)求抛物线W的解析式及顶点D的坐标。 (2)连接AC,若线段AC上有一点P,过点P作y轴的平行线交 抛物线于点Q,求线段PQ长的最大值。 (3)在(2)中,当PQ的长最大时,将该抛物线平移,设平移后 的抛物线为W,抛物线W的顶点记为D,它的对称轴与x 轴交于点E,怎样平移才能使以P,Q,D,E为顶点的四边形是菱形?,重难突破强化,【解】 (1)点A,点C在抛物线上

18、, 解得 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 顶点D的坐标为(-1,4)。 (2)设直线AC的解析式为y=kx+b(k0)。 将点A(-3,0),C(0,3)的坐标分别代入上式,得 直线AC的解析式为y=x+3。 设点P的坐标为(a,a+3),则点Q的坐标为(a,-a2-2a+3)。 PQ=-a2-2a+3-(a+3)=-a2-3a= 当a= 时, PQ有最大值, 最大值为 。,重难突破强化,重难突破强化,重难突破强化,重难突破强化,类型二 二次函数与图形面积 例8 (2017某铁一中模拟)如图,抛物线经过A(-1,0),B(4,0),C(0,-2)三点。 (1)试求出

19、抛物线的解析式; (2)D为抛物线上一动点,若SDAC =SDBC,试求出点D的坐标。,重难突破强化,【解】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4)。 把(0,-2)代入,得-4a=-2,解得a= 。 y= (x2-3x-4)= x2- x-2。 (2)如答图,当CD1x轴时, , 则点D1的纵坐标为-2。 令y=-2,得 x2- x-2=-2,即x2-3x=0, 解得x1=0(舍去),x2=3。 点D1的坐标为(3,-2)。 由图像知,要使 ,则点D除位于第四象限外,只能位于第一象限。,重难突破强化,如答图,在第一象限取点D2,连接AD2,CD2,BD2,CD2与x轴交于点G,过点

20、A作AECD2,E为垂足,过点B作BFCD2,F为垂足。 AE=BF,AEGBFG(AAS)。点G的坐标为 设直线CD2的解析式为y=kx-2。 将 代入,得 k-2=0,解得k= 。 直线CD2的解析式为y= x-2。 联立 综上所述,使,重难突破强化,类型三 二次函数与三角形相似 例9 如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且点A的坐标为(-3,0),顶点D的坐标为(-1,4)。 (1)求该抛物线的解析式。 (2)求B,C两点的坐标。 (3)连接AD,AC,CD,BC,在y轴上是否存在点M,使以 M,B,C为顶点的三角形与ACD相似?若存在,请求出 点M的坐标;若不存在,请说明

21、理由。,重难突破强化,【解】 (1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4。 点A(-3,0)在抛物线上, a(-3+1)2+4=0,解得a=-1。 y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3。 (2)由解析式,得点C的坐标为(0,3)。 根据对称性知,点B的坐标为(1,0)。 (3)在y轴上存在点M,使BMCACD。 设点M的坐标为(0,a)。 易得AC= ,DC= ,AD= , ACD是直角三角形,且ACD=90,,重难突破强化, 且ACD=COB, ACDCOB,M1(0,0)。 若ACDCBM,则 解得a= 且CBM为直角三角形,M2 若ACDMBC,则 解得a=-7。 很显然,当a=-7时,CBM90, 此时,两个三角形不相似。 综上所述,符合条件的点M的坐标为(0,0),,重难突破强化,

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