1、专题九 选做大题,9.1 坐标系与参数方程 (选修44),-3-,-4-,-5-,-6-,-7-,-8-,1.极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的非负半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(,),则它们之间的关系为x=cos ,y=sin .另一种关系为2=x2+y2,tan = (x0). 2.直线的极坐标方程 若直线过点M(0,0),且此直线与极轴所成的角为,则它的方程为sin(-)=0sin(0-). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:=0和=+0; (2)直线过点M(a,0),且垂
2、直于极轴:cos =a;,-9-,-10-,-11-,-12-,考向一,考向二,考向三,考向四,曲线方程的三种形式间的互化 例1在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.,考向五,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解: (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆. 将
3、x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0. (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得1.无论是将参数方程化为极坐标方程,还是将极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程. 2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转
4、化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.,考向五,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练 1(2018河北唐山一模,22)在直角坐标系xOy中,圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-3)2+y2=9.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程;,考向五,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解: (1)由x=cos ,y=sin 可得, C1:2cos2+2sin2-2cos +1=1,所以=2cos ; C2:2cos2+2sin2-6cos +9=9,所以=6cos .,-1
5、7-,考向一,考向二,考向三,考向四,极坐标方程的应用 例2在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为= (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.,考向五,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得直线与曲线相交的交点间的长度在极坐标系中易表达且形式简单,当然求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.,考向五,-19-,考向一,考向二,考向三
6、,考向四,对点训练 2(2018江苏卷,23)在极坐标系中,直线l的方程为sin =2,曲线C的方程为=4cos ,求直线l被曲线C截得的弦长.,考向五,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,参数方程的应用(1)求C和l的直角坐标方程; (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.,考向五,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得在过定点P0(x0,y0)的直线的参数方程中,参数t的几何意义是定点P0(x0,y0)到直线上的点P的数量,若直线与曲线交于两点P1
7、,P2,则|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中点对应的参数为 (t1+t2);若点P为P1P2的中点,则t1+t2=0.,考向五,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,求动点轨迹的参数方程(1)求的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,考向五,-27-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-28-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-29-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得求动点轨迹的参数方程就是用参数表示出动点的横坐标和纵坐标,注意参数的取值范围.,考向
8、五,-30-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练 4已知动点P,Q都在曲线C: (t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点. (1)求M的轨迹的参数方程; (2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.,考向五,-31-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,求动点轨迹的极坐标方程 例5在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C
9、2上,求OAB面积的最大值.,-32-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解: (1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10). 由题设知|OP|=,|OM|=1= 由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0). (2)设点B的极坐标为(B,)(B0). 由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积,-33-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得在求动点轨迹方程时,如果题目有明确要求,求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程,那么就按要求做;如果没有明确的要求,那么三种形式的方程写出哪种都可,哪种形式的容易求就写哪种.,-34-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-35-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,
