1、4.2 数列的通项与求和,-2-,-3-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,由数列的递推关系求通项 【思考】 由递推关系求数列的通项的常用的方法有哪些? 例1根据下列条件,确定数列an的通项公式:,-4-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-5-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思由递推关系求数列的通项的基本思想是转化,常用的方法: (1)an+1-an=f(n)型,采用迭加法;,(3)an+1=pan+q(p0,p1)型,转化为等比数列解决;(4)an+1= (an0,p,q为非零常数)型,可用倒数法转化为等差数列解决.,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练1根
2、据下列条件,确定数列an的通项公式:,答案,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,裂项相消法求和 【思考】 在裂项相消法中,裂项的基本思想是什么? 例2Sn为数列an的前n项和.已知an0, +2an=4Sn+3. (1)求an的通项公式;(2)设bn= ,求数列bn的前n项和.,答案,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+k-bn(kN*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式,使之符合裂项相消的条件.,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练2已知
3、数列an的前n项和Sn,且满足:,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,-12-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,错位相减法求和 【思考】 具有什么特点的数列适合用错位相减法求和?,例3已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n,bn是等差数列,且an=bn+bn+1. (1)求数列bn的通项公式; (2)令 ,求数列cn的前n项和Tn.,解 (1)由题意知当n2时,an=Sn-Sn-1=6n+5. 当n=1时,a1=S1=11,符合上式.所以an=6n+5. 设数列bn的公差为d.,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,又Tn=
4、c1+c2+cn, 得Tn=3222+323+(n+1)2n+1, 2Tn=3223+324+(n+1)2n+2, 两式作差,得 -Tn=3222+23+24+2n+1-(n+1)2n+2,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,题后反思错位相减法适用于求数列anbn的前n项和,其中an为等差数列,bn为等比数列;所谓“错位”,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的和,此时一定要查清其项数.,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,对点训练3已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1
5、,S11=11b4. (1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nbn的前n项和(nN*).,解 (1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. 由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12, 而b1=2,所以q2+q-6=0. 又因为q0,解得q=2.所以bn=2n. 由b3=a4-2a1, 可得3d-a1=8. 由S11=11b4,可得a1+5d=16, 联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2. 所以an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n.,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6
6、n-2, 有Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n, 2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1, 上述两式相减,得 -Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1,=-(3n-4)2n+2-16. 得Tn=(3n-4)2n+2+16. 所以数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2n+2+16.,-17-,规律总结,拓展演练,1.常见求数列通项的方法有:迭加法、迭乘法、构造等差数列、等比数列法、取倒数法,利用数列前n项和Sn与通项an之间的关系Sn-Sn-1=an(n2)进行递推、构造新数列等. 2.非等差数列、非等比数列求和的常用方法:
7、(1)倒序相加法,如果一个数列an,首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和即是用此法推导的. (2)错位相减法,如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和就是用此法推导的. (3)裂项相消法,把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.,-18-,规律总结,拓展演练,(4)分组求和法,一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减. (5)并项求和法,一个数
8、列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.,-19-,规律总结,拓展演练,1.已知在数列an中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,则数列an的通项公式为( ),B,-20-,规律总结,拓展演练,2.若数列an的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a10=( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15,A,解析 an+an+1=(-1)n(3n-2)+(-1)n+1(3n+1)=(-1)n(3n-2-3n-1)=-3(-1)n, a1+a2+a10=3+3+3+3+3=15.,-21-,规律总结,拓展演练,
9、3.设数列an满足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*),则数列 的前10项和为 .,解析 a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,an-an-1=n, 以上(n-1)个式子相加,得an-a1=2+3+4+n.,-22-,规律总结,拓展演练,4.已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求an的通项公式; (2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.,-23-,规律总结,拓展演练,设等差数列an的公差为d. 因为a1=b1=1,a14=b4=27, 所以1+13d=27,即d=2. 所以an=2n-1(n=1,2,3,). (2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1. 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. 从而数列cn的前n项和 Sn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1,-24-,规律总结,拓展演练,5.(2018全国,文17)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设(1)求b1,b2,b3; (2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式.,-25-,规律总结,拓展演练,
