1、二、转化与化归思想,-2-,转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等.,-3-,1.转化与化归思想的含义 转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方法. 2.转化与化归的原则 (1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则. 3.常见的转化与化归的方法 (1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐
2、标法;(6)类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法.,-4-,应用一,应用二,应用三,应用四,答案,解析,-5-,应用一,应用二,应用三,应用四,思维升华1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略. 2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.,-6-,应用一,应用二,应用三,应用四,突破训练1在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A,B和M
3、,N,则 的取值范围是 .,答案,解析,-7-,应用一,应用二,应用三,应用四,应用二 命题的等价转化 例2(2015全国1,理12改编)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,求a的取值范围.,-8-,应用一,应用二,应用三,应用四,-9-,应用一,应用二,应用三,应用四,-10-,应用一,应用二,应用三,应用四,思维升华将已知条件进行转换,有几种转换方法就有可能得出几种解题方法.,-11-,应用一,应用二,应用三,应用四,突破训练2(1)(2018山西吕梁一模,理5)函数f(x)在(0,+)单调递增,且f(x+2)关于x=-2对称,若f(
4、-2)=1,则使f(x-2)1的x的取值范围是( ) A.-2,2 B.(-,-22,+) C.(-,04,+) D.0,4 (2)若关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0有解,则实数a的取值范围是 .,答案: (1)D (2)(-,-8,-12-,应用一,应用二,应用三,应用四,解析: (1)f(x+2)关于x=-2对称f(x)为偶函数,f(x-2)1f(x-2)f(-2)f(|x-2|)f(|-2|). f(x)在(0,+)单调递增, f(|x-2|)f(|-2|)|x-2|2,即0x4.选D. (2)(法一)设t=3x,则原命题等价于关于t的一元二次方程t2+(4+a)t+4=0有正解
5、,-13-,应用一,应用二,应用三,应用四,应用三 常量与变量的转化 例3已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的导函数.对满足-1a1的一切a的值,都有g(x)0,则实数x的取值范围为 .,答案,解析,-14-,应用一,应用二,应用三,应用四,思维升华在处理多变量的数学问题时,当常量(或参数)在某一范围取值时,求变量x的范围时,经常进行常量与变量之间的转化,即可以选取其中的参数,将其看做是变量,而把变量看做是常量,从而达到简化运算的目的.,-15-,应用一,应用二,应用三,应用四,突破训练3设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2
6、)f(2-a)对任意a-1,1恒成立,则x的取值范围为 .,答案,解析,-16-,应用一,应用二,应用三,应用四,应用四 函数、方程与不等式之间的转化 例4设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是( ) A.(-,-1)(0,1) B.(-1,0)(1,+) C.(-,-1)(-1,0) D.(0,1)(1,+),答案,解析,-17-,应用一,应用二,应用三,应用四,思维升华函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不
7、等式之间的转化可以将问题化繁为简,常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.,-18-,应用一,应用二,应用三,应用四,突破训练4已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数t-1,+),使得对任意的x1,m,mZ,且m1,都有f(x+t)3ex,求m的最大值.,解: 因为当t-1,+),且x1,m时,x+t0, 所以f(x+t)3exex+text1+ln x-x. 所以原命题等价转化为:存在实数t-1,+),使得不等式t1+ln x-x对任意x1,m恒成立. 令h(x)=1+ln
8、x-x(x1). 因为h(x)= -10,所以函数h(x)在1,+)内为减函数. 又x1,m,所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m. 所以要使得对任意x1,m,t值恒存在,只需1+ln m-m-1.因为h(x)在1,+)内为减函数,所以满足条件的最大整数m的值为3.,-19-,1.在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换. 2.转化与化归思想在解题中的应用 (1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化. (2)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化. (3)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解. (4)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解.,
