1、第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示,高考理数,考点一 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任 意向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2. 其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向 量i、 j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且 只有一对实数x、y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯 一确定,我们把有序数对 (x,y) 叫做向量a的坐标
2、,记作a=(x,y),其中 x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,显然0=(0,0),i=(1,0),j=(0,知识清单,1). (2)设 =xi+yj,则向量 的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若 =(x,y),则 A点坐标为 (x,y) ,反之亦成立(O是坐标原点).,考点二 平面向量的坐标运算 1.加法、减法、数乘运算,2.向量坐标的求法 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终 点的坐标减去 始点 的坐标. 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与b共线a=b x1y
3、2-x2y1=0 .,平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解 的理论依据,也是向量的坐标表示的基础. 用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一组基底,并运用平 面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,再通过向量的运 算来证明.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便, 另外,要熟练运用线段中点的向量表达式. 例1 (2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量 , , 的模分别 为1,1, , 与 的夹角为,且tan =7, 与 的夹角为45.若 =m +n (m,nR),则m+n= .,平面向量基本定理及其应用策略,方法技巧,解题导引
4、,解析 通解 以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系, 则A(1,0),由tan =7, ,得sin = ,cos = ,设C(xC,yC),B(xB, yB),则xC=| |cos = = ,yC=| |sin = = ,即C . 又cos(+45)= - =- ,sin(+45)= + =,则xB=| |cos(+45)=- ,yB=| |sin(+45)= ,即B ,由 =m+n ,可得 解得 所以m+n= + =3.,优解 由tan =7, ,得sin = ,cos = ,则cos(+45)= - =- , =1 =1, =1 = , =11 =- ,由 =m +n ,得
5、 =m +n ,即 =m- n ,同理可得 =m +n ,即1=- m+n,联立,解得所以m+n= + =3.,答案 3,拓展结论 平面向量数量积的运算一般有两种解法,一是利用向量数量 积的坐标运算求解,二是利用向量数量积的定义和运算性质求解.,向量的坐标表示实际上是向量的代数表示,它可以使向量运算完全代数 化,把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来,这 就使得向量成为数形结合的桥梁,成为中学数学的一个交汇点. 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘的运算法则进行的,若已知有 向线段两端点的坐标,则应先求出向量坐标.注意一个向量的坐标等于 表示此向量的有向线段的终点的坐标减去
6、始点的坐标.如:若A(x1,y1),B(x 2,y2),则有 =(x2-x1,y2-y1).,平面向量的坐标运算技巧,A. B. C. D.,解题导引,解析 由| |=| |=| |及 = = 得DBCA,DC AB,DACB,且ADC=ADB=BDC=120,ABC为正三角形,设| |=a,则a2cos 120=-2a=2AC=2 ,如图建立平面直角坐标系xOy, 则OC=3,则A(- ,0),B( ,0),C(0,3).由 = P,M,C三点共线且M为PC的中 点,设P(x,y),由| |=1(x+ )2+y2=1,令 则 即P(sin - ,cos ), M , | |2= (sin -
7、3 )2+(3+cos )2= 37-(6 sin -6cos )= (37+12)= .| |2的最大值为 .,疑难突破 本题的难点是如何找出| |2与变量之间的关系,突破之处 是抓住| |=1(x+ )2+y2=1,然后将坐标参数化,从而将问题转化为求 asin +bcos = sin(+)的最大值问题.,在向量的有关运算中,常遇到求值问题,若直接求值困难,则可利用解方 程(组)法求值. 例3 (2017河北百校联盟4月联考,14)已知在ABC中,点D满足2 +=0,过点D的直线l与直线AB,AC分别交于点M,N, = , = . 若0,0,则+的最小值为 .,方程的思想方法,解题导引,解析 连接AD.因为2 + =0,所以 = , = + = + = + ( - )= + .因为D、M、N三点共线,所以存在xR,使=x +(1-x) ,则 =x +(1-x) ,所以x +(1-x) = +,根据平面向量基本定理,得x= ,(1-x)= ,所以x= ,1-x= ,所以+ =1,所以+= (+) = ,当且仅当=时等号成立,+的最小值为 .,答案,方法归纳 如果a,b不共线,那么“1a+1b=2a+2b”的充要条件为“1 =2且1=2”,我们常用这个结论得出不含向量的方程组.,
