1、第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积及其应用,高考理数,考点一 数量积的定义 1.平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量|a|b|cos 叫做a和b 的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos ,并规定零向量与任一向量 的数量积为 0 . (2)一向量在另一向量方向上的投影 定义:设是两个非零向量a和b的夹角,则|a|cos 叫做a在b方向上的投影, |b|cos 叫做b在a方向上的投影.a在b(或b在a)方向上的投影是一 个 实数 ,而不是向量,当090时,它是正数,当90180时,它是负数,当=90时,它是 0 .,
2、知识清单,ab的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos 的 乘积. 2.向量的数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则 (1)ea=ae=|a|cos . (2)abab=0. (3)当a与b同向时,ab=|a|b|. 当a与b反向时,ab=-|a|b|. 特别地:aa=a2=|a|2或|a|= . (4)|ab|a|b|.,(5)cos = (是a与b的夹角). 3.向量数量积的运算律 (1)ab=ba(交换律). (2)(a)b=(ab)=a(b)(R)(数乘结合律). (3)(a+b)c=ac+bc(分配律).,考
3、点二 平面向量的长度问题 1.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)ab=x1x2+y1y2. (2)|a|= ,|b|= . 2.若A(x1,y1),B(x2,y2),则| |= .,考点三 平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)若a与b的夹角为,则cos = . (2)abx1x2+y1y2=0.,向量的长度即向量的模,通常有以下求解方法: (1)|a|= ; (2)|ab|= ; (3)若a=(x,y),则|a|= ; (4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长; (5)通过解方程(组)求解. 例1 (2017浙江,
4、15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小 值是 ,最大值是 .,求向量长度的方法,方法技巧,解析 解法一:|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2,且|a+b|+|a-b|(a+b)- (a-b)|=2|b|=4, |a+b|+|a-b|4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最 小值4. = = , |a+b|+|a-b|2 . 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时ab=0. 故当ab时,|a+b|+|a-b|有最大值2 . 解法二:设x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|, 得
5、1x3.,设y=|a-b|,同理,1y3. 而x2+y2=2a2+2b2=10, 故可设x= cos , cos , y= sin , sin . 设1,2为锐角,且sin 1= ,sin 2= , 则有12,又01 2 , 则x+y= (cos +sin )=2 sin , 1+ + 2+ ,而 1+ 2+ , 故当+ = ,即= 时,x=y,此时|a+b|=|a-b|,所以当ab时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2 . 又sin =sin = = , 故当=1或=2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时ab, x+y=|a+b|+|a-b|有最小值4. 解法三:设b=(2,0),
6、a=(x,y),则x2+y2=1. 则|a+b|+|a-b|= + = + = + = = , 0x21,故当x=0,即ab时, |a+b|+|a-b|有最大值2 , 当x2=1,即ab时,|a+b|+|a-b|有最小值4.,答案 4;2,1.当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得ab及|a|,|b|或得出它们之 间的关系. 2.若已知a与b的坐标,则可直接利用公式 cos = ,平面向量a与b的夹角0,. 3.转化成解三角形,利用正弦定理或余弦定理求解. 例2 (2017湖南五市十校联考,8)ABC是边长为2的等边三角形,向 量a,b满足 =2a, =2a+b,则向量a,b的夹角为
7、( C ) A.30 B.60 C.120 D.150,求向量夹角问题的方法,解析 解法一:设向量a,b的夹角为,由已知得 = - =2a+b-2a=b, |b|=| |=2,| |=2|a|=2,|a|=1,则 =(2a+b)2=4a2+4ab+b2=8+ 8cos =4,cos =- ,又0180,=120.故选C. 解法二: = - =2a+b-2a=b,则向量a与b夹角为向量 与 的夹 角,故a与b的夹角为120,选C.,向量既有大小又有方向,具有数和形的特征.在解题时要注意利用数形 结合的方法.若题设中有动点问题,将涉及变量的值或范围问题,应重视 函数的思想方法.在求值问题中应重视方
8、程的思想方法. 例3 (2017课标全国,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC内一点,则 ( + )的最小值是 ( B ) A.-2 B.- C.- D.-1,数形结合的方法和方程与函数的思想方法,解题导引,解析 设BC的中点为D,AD的中点为E,则有 + =2 ,则 ( +)=2 =2( + )( - )=2( - ). 而 = = , 当P与E重合时, 有最小值0,故此时 ( + )取最小值,最小值为 -2 =-2 =- .,方法总结 在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利 用 = - 可快速求出最值.,一题多解 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原
9、点建立平面直角坐标 系,如图,则A(-1,0),B(1,0),C(0, ),设P(x,y),取BC的中点D,则D . ( +)=2 =2(-1-x,-y) =2 (x+1) +y =2 + - .,因此,当x=- ,y= 时, ( + )取得最小值,为2 =- ,故选B.,例4 (2017天津,13,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若 =2 ,= - (R),且 =-4,则的值为 .,解题导引,解析 如图,由 =2 得 = + , 所以 = ( - )= - + - , 又 =32cos 60=3, =9, =4, 所以 =-3+ -2= -5=-4,解得= .,答案,一题多解 以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因 为AB=3,AC=2,BAC=60,所以B(3,0),C(1, ),又 =2 ,所以D,所以 = ,而 = - =(1, )-(3,0)=(-3, ),因 此 = (-3)+ = -5=-4, 解得= .,
