1、线段的垂直平分线,1、能够利用尺规法作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性。2、经历探索，证明线段垂直平分线性质定理及其逆定理的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。3、能够利用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论，理解三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。,学习目标,什么叫线段的垂直平分线？线段是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,复习回顾,问题,怎样做出一条线段的垂直平分线？,定义法; 折纸; 尺规作图法,线段的垂直平分线的定义？,线段是轴对称图形么？,作法：1、分别以点A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧交于点E、F。2、过点E、
2、F作直线。 则直线EF就是线段AB的垂直平分线（图16-11）,尺规作法,为什么以“大于 AB长”为半径？,思考,、为什么这样作出的直线EF就是线段AB的垂直平分线呢？设所作直线EF交AB于点O，请你根据三角形全等的判定定理给出证明,思考,证明：连接AE、AF、BE、BFAEBEAFBF（等圆或同圆的半径相等） 在AEF与 BEF中 AEBE（已证）AFBF（已证）EFEF（公共边） AEF BEF（SSS） AEO BEO（全等三角形对应角相等）在 AEO与 BEO中 AEBE（已证） AEO BEO（已证）EOEO（公共边） AEO BEO（SAS） AOBO（全等三角形对应边相等） AO
3、E BOE（全等三角形对应角相等） AOE+ BOE180（邻补角的定义） AOE BOE90（等式性质）EFAB（垂直定义）EF是线段AB的垂直平分线（线段的垂直平分线定义） 性质定理 ：线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等,已知：如图16-12，直线MN经过线段AB的中点O，且MNAB，P是MN上任意一点。求证：PAPB证明：MN AB（已知）AOPBOP90（垂直定义）在AOP与 BOP中 AOBO（已知）AOPBOP（已证）POPO（公共边） AOP BOP（SAS） PAPB（全等三角形对应边相等）,如何证明线段的垂直平分线性质定理的正确性？ 提示：要证明一个图形上每一点都具有某种
4、性质，只需要在图形上任取一点作代表,、什么是互逆命题？你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题吗？请给出证明。,已知：线段AB两端点A、B分别与P点所连的线段为AP、BP，且APBP求证：点P在AB的垂直平分线上。证明：过点P 作POAB，垂足为点OPO AB（已知）AOPBOP90（垂直的定义）AOP、BOP均为直角三角形在tAOP与t BOP中 APBP（已知）POPO（公共边） t AOPt BOP（HL）AOBO（全等三角形对应边相等）即PO是线段AB的垂直平分线（线段垂直平分线定义）点P在AB的垂直平分线上。,逆定理 ：与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。,2. 过点M、N
5、作直线。,尺规作图,作法：,同理探究,测量,证明,测量线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离,已知，如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MNAB,P是MN上任意一点。 求证：,证明： MN AB（已知）AOP=BOP=90(垂直的定义)在AOP和BOP中AO=BO(已知) AOP=BOP(已证)PO=PO(公共边) AOPBOP(SAS)PA=PB(全等三角形对应边相等),定理,线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。,你能写出上述定理的逆命题吗？它是真命题吗？,与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。,逆命题,证明,已知，如图，AP=BP 求证：点P在线段AB的垂直平分线直
6、线MN上,证明：过点P作直线MN垂直于线段AB交AB于点O 在Rt AOP与Rt BOP中 O是AB的中点 PA=PB(已知)PO=PO(公共边) Rt AOP Rt BOP(HL) OA=OB(全等三角形的对应边相等),定理,与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。,昨天，我们班赵影与杨小雪同时从家出发到学校，二人约定走路的速度一样，结果巧合的是二人同时到达锦华饭店，然后她们一起高兴的进了教室，但在教室内发生了如此的对话：赵影：如果不考虑我们两家到学校间的建筑物，我们还是同时同速的话，我就比你先到学校；杨小雪：不对，应该我先到。 为此，二人争的不可开交，就在这时，吴金萍插了一句：“别
7、吵了，你们同时到。” 对于她们仨的说法，谁正确呢？,范例学习,已知：如图16-13，ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P 求证：点P在BC的垂直平分线上,证明：连接PA、PB、PC 点P在AB、AC的垂直平分线上（已知） PAPB，PAPC（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等） PBPC（等式性质） 点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） 发现新论：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。,已知：如图， ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点O。求证：点P在BC的垂直平分线上,证明：连接OA、OB、OC，点O在AB、AC
8、的垂直平分线上（已知）OA=OB、OA=OC（线段垂直平分线上的点于线段两端点的距离相等）OB=OC（等量代换）点O在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）,已知如图，DE是ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC8，BC5，则BEC的周长为_。,针对性训练,13,整理小结,一个方法,证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性质。,两条定理,线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。,与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。,三种作图,折纸; 过中点做垂线; 尺规作图法,作业,1、必做作业：（1）课本：P 124 习题16.2 第3、4题2、选做作业：青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等。 若三所运动员公寓A、B、C的 位置如图所示，请在图中确定 这处公共服务设施P的位置；,谢谢大家，欢迎指导,
