1、1.3 线段的垂直平分线,第一章 三角形的证明,第1课时 线段的垂直平分线,1.理解线段垂直平分线的概念； 2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点） 3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点）,学习目标,导入新课,问题引入,某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？,A,B,C,观察： 已知点A与点A关于直线l 对称，如果线段AA沿直线l折叠，则点A与点A重合，AD=AD，1=2= 90，即直线l 既平分线段AA，又垂直线段AA.,l,A,A,D,2,1,(A),讲授新课,
2、我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.,由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.,知识要点,如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离之间的数量关系,探究发现,P1A _P1B,P2A _ P2B,P3A _ P3B,作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.,活动探究,猜想： 点P1，P2，P3， 到点A 与点
3、B 的距离分别相等,命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,由此你能得到什么结论？,你能验证这一结论吗？,如图，直线lAB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上 求证：PA =PB,证明： lAB， PCA =PCB又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PB,验证结论,微课-证明线段垂直平分线的性质,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.,线段垂直平分线的性质定理：,总结归纳,例1 如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若DBC的周长为35cm，则BC的长为( ),A5cm B10cm C15c
4、m D17.5cm,典例精析,C,解析：DBC的周长为BCBDCD35cm，又DE垂直平分AB，ADBD，故BCADCD35cm.ACADDC20cm， BC352015(cm).故选C.,方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长,练一练：1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3,2.如图所示，在ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .,B,10cm,图,定理：线段垂直平分线上
5、的点到这条线段两个端点的距离相等.,逆 命 题,到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.,它是真命题吗？你能证明吗？,想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？,记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论,（1）当点P在线段AB上时，,PA=PB，,点P为线段AB的中点，,显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；,（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.,PA=PB，,PAB是等腰三角形.,过顶点P作PCAB，垂足为点C，,底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.,即 PCAB，且AC=BC.,直线PC是线段AB的垂直平分线，,此时点P也在线段AB
6、的垂直平分线上.,微课-线段垂直平分线的逆命题,到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.,线段垂直平分线的性质定理的逆定理：,应用格式： PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上,作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.,总结归纳,例2：已知：如图ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC.,证明：AB=AC，A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线. 直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.,利用三角形的全等证明,证明：延长AO交BC
7、于点D， ABAC， AOAO， OBOC ， ABOACO（SSS）. BAO=CAO， AB=AC， AOBC OBOC ，ODOD ， RTDBORTDCO（HL）. BDCD. 直线AO垂直平分线段BC.,试一试：已知：如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA,EDOB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线.,证明：,OE平分AOB,ECOA,EDOB,DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）., OE是CD的垂直平分线.,当堂练习,1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是（ ） AAB垂直平分CD； B CD垂直平分AB ； CAB与
8、CD互相垂直平分； DCD平分 ACB ,A,2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点的组合共有 种.,无数,3.下列说法： 若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB； 若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB； 若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； 若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB 其中正确的有 （填序号）., ,4.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.,16,5.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.,证明： AC =BC，AD=BD，, CD为线段AB的垂直平分线.,又 AB与CD相交于点O，,课堂小结,线段的垂直平分的性质和判定,性质,到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,内容,判定,内容,作用,线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等,作用,见垂直平分线，得线段相等,判断一个点是否在线段的垂直平分线上,
