1、1专题 5 图形中的函数关系常考类型分析专题类型突破类型 1 动点产生的函数关系【例 1】如图 1 和图 2，在ABC 中，AB13，BC14，cosABC 探究 如图 1，AHBC 于点 H，则 AH ，AC ，ABC 的面积 SABC ；拓展 如图 2，点 D 在 AC 上(可与点 A，C 重合)，分别过点 A，C 作直线 BD 的垂线，垂足为 E，F.设 BDx，AEm，CFn.(当点 D 与点 A 重合时，我们认为 SABD 0)(1)用含 x，m 或 n 的代数式表示 SABD 及 SCBD ；(2)求(mn)与 x 的函数关系式，并求(mn)的最大值和最小值；(3)对给定的一个 x
2、 值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x 的取值范围发现 请你确定一条直线，使得 A，B，C 三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值2满分技法函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容动点问题反映的是一种函数思想，是一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静，根据点的运动变化过程，对其不同情况进行分类求解满分变式必练1.如图，直线 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C，D 分别为线段 AB，OB 的中点，点 P 为 OA 上一动点，PCPD 值最小时点 P 的坐标为( )32.如图，在 RtABC 中，C90，AC3，AB5.
3、点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 匀速运动伴随着 P，Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QBBCCP 于点 E.点 P，Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点 P 也随之停止设点 P，Q 运动的时间是 t 秒(t0)(1)当 t2 时，AP ，点 Q 到 AC 的距离是 ；(2)在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；(不必写出 t 的取值范围)(3
4、)在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；(4)当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值453.如图，已知抛物线 yax 22xc 与 y 轴交于点 A(0,6)，与 x 轴交于点 B(6,0)，点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点(1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)当点 P 移动到抛物线的什么位置时，使得PAB75，求出此时点 P 的坐标；(3)当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动，在移动中，点 P 的横坐标以每秒 1 个单位长度的速度变动，与此同时点 M 以每秒
5、1 个单位长度的速度沿 AO 向终点 O 移动，点 P，M 移动到各自终点时停止，当两个动点移动 t 秒时，求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数表达式，并求 t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？ 6类型 2 动线产生的函数关系【例 2】如图，在 RtABC 中，A90，AB8，AC6.BC 的平行线从点 A 开始向下平移，分别与 AB，AC 相交于 D，E 两点，直至与 BC 重合随着直线 DE 的平移，点 D 在 AB 边上以每秒 2 个单位长度的速度运动，设运动的时间为 x 秒，AE 的长为 y.(1)求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(2)
6、当 x 为何值时，BDE 的面积 S 有最大值，最大值为多少？【思路分析】 (1)运动时间为 x 秒，需把它转化为线段长度，则有 AD2x.由 DEBC，形成“A”型基本图形，得到两个三角形相似，推出包含 x，y 的比例式，变形为用含有 x 的代数式表示 y 的形式，即得到 y 关于 x 的函数关系式；(2)BDE 的面积 把BD 和 AE 都用含有 x 的代数式表示出来，得到 S 与 x 的函数关系式，利用函数性质求 S 的最大值以及相应的 x 的值7满分技法在直线平移、旋转过程中，导致相应的线段、角度、面积等几何元素的位置和大小随之改变，在运动变化过程中形成的图形的形状不断改变，根据不同范
7、围内形状的改变确定每一段函数的关系式，根据函数性质求出最值或三角形的形状的存在性满分变式必练1.如图所示，直线 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，当直线绕着点 A 按顺时针方向旋转到与 x 轴首次重合时，点 B 运动的路径的长度为 .2.如图 1，ABC 中，C90，线段 DE 在射线 BC 上，且 DEAC，线段 DE 沿射线 BC 运动，开始时，点 D 与点 B 重合，点 D 到达点 C 时运动停止，过点 D 作 DFDB，与射线 BA相交于点 F，过点 E 作 BC 的垂线，与射线 BA 相交于点 G.设 BDx，四边形 DEGF 与ABC重叠部分的面积为 S，S 关于 x 的函数图
8、象如图 2 所示(其中 0x1,1xm，mx3 时，函数的解析式不同)(1)填空：BC 的长是 ；(2)求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 8解：(1)3(2)如图 1，当 0x1 时，作 DMAB 于点 M.BC3，AC2，C90，93.如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的边 AD 在 x 轴上，点 C 在 y 轴的负半轴上，直线 BCAD，且 BC3，OD2.将经过 A，B 两点的直线 l：y2x10 向右平移，平移后的直线与 x 轴交于点 E，与直线 BC 交于点 F，设 AE 的长为 t(t0)(1)四边形 ABCD 的面积为 ；(2)设四边形 ABCD
9、被直线 l 扫过的面积(阴影部分)为 S，请直接写出 S 关于 t 的函数解析式(2)当 0t3 时，BCAD，ABEF，四边形 ABFE 是平行四边形SAEOC4t.当 3t7 时，如图，C(0，4)，D(2,0)，直线 CD 的解析式为 y2x4.EFAB，BFAE，BFAEt.F(t3，4)直线 EF的解析式为 y2x2t10.10类型 3 动图产生的函数关系【例 3】 如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B90，AD6，BC8，AB 点 M 是 BC 的中点点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 匀速运动，到达点 B 后立刻以原速度沿 BM 返回；点
10、 Q 从点 M 出发以每秒 1 个单位长度的速度在射线 MC上匀速运动在点 P，Q 的运动过程中，以 PQ 为边作等边EPQ，使它与梯形 ABCD 在射线BC 的同侧点 P，Q 同时出发，当点 P 返回到点 M 时停止运动，点 Q 也随之停止设点P，Q 运动的时间是 t 秒(t0)(1)设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中，写出 y 与 t 之间的函数关系式；(不必写 t 的取值范围)(2)当 BP1 时，求EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积；(3)随着时间 t 的变化，线段 AD 会有一部分被EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最
11、大值能否持续一个时段？若能，直接写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由【思路分析】 (1)根据路程公式直接写出 PQ 的长度 y 与 t 之间的函数关系式；(2)当BP1 时，有两种情况：点 P 从点 M 向点 B 运动，通过计算可知，MPMQ3，即PQ6，连接 EM，根据等边三角形的性质可求得 EM 此时 EMAB，重叠部分面积为PEQ 的面积；点 P 从点 B 向点 M 运动，此时 t5，MP3，MQ5，PEQ 的边长为8，过点 P 作 PHAD 于点 H，在 RtPHF 中，已知 PH HPF30，可求FH，PF，进而求得 FE，FG，证明等边EFG 中，点 G 与点 D 重合，此时重
12、叠部分面积为梯形 FPCG 的面积；根据梯形面积公式求解即可；(3)由图可知，当 t4 时，P、B 重合，Q、C 重合，线段AD 被覆盖长度达到最大值，由(2)可知，当 t5 时，线段 EQ 经过 D 点，长度也是最大值，故 t 的范围在 4 与 5 之间11提示：当点 P 到达点 B 时，即 t4 时，点 Q 同时到达点 C，等边EPQ 的边长为 8，此时线段 AD 被覆盖的长度最大仿照(2)中第二种情况，可以求得线段 AD 被覆盖的长度的最大值为 2，右侧未被覆盖的长度为 1，所以当点 P 到达点 B 后返回直至 BP1 的过程中，仍有线段 AD 被覆盖的长度的最大值为 2(由(2)中第二
13、种情况的计算结果也可以看到这一点)，因此，该最大值在 4t5 时持续一个时段满分技法在三角形、四边形、曲线(双曲线、抛物线)在平移、旋转、折叠过程中，把动态当作静态来对待，把图形间重叠部分的面积或相似表示的数量关系用函数关系表达出来，再利用函数的性质解决满分变式必练1.如图，将函数 的图象沿 y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点 A，B.若曲线段 AB 扫过的面积为 9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )2.如图，在ABC 中，BC12，AB10， 动点 D 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 AB 向点 B 运动，
14、DEBC，交 AC 于点 E，以 DE 为边，作正方形 DEFG.设运动时12间为 t.(1)t 为何值时，正方形 DEFG 的边 GF 在 BC 上；(2)当 GF 运动到ABC 外时，EF，DG 分别与 BC 交于点 P，Q，是否存在时刻 t，使得CEP与BDQ 的面积之和等于ABC 面积的(3)设ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 S，试求 S 的最大值133.如图，在直角坐标系中，一次函数 的图象与 x 轴，y 轴分别交于点A，B，ABCD 中，D(6,0)，函数 的图象过点 E(4,0)，与 y 轴交于点 G，动点 P从 O 点沿 y 轴正方向以每秒 2 个单位的速度出发，同时，以 P 为圆心的圆，半径从 6 个单位起以每秒 1 个单位的速度缩小，设运动时间为 t.(1)若P 与直线 EG 相切，求P 的面积；(2)以 CD 为边作等边CDQ，若P 内存在 Q 点，求 t 的取值范围 14
