1、12.3 垂径定理一、选择题1下列命题错误的是 ( )链 接 听 课 例 1归 纳 总 结A平分弧的直径平分这条弧所对的弦B平分弦的直径平分这条弦所对的弧C垂直于弦的直径平分这条弦D弦的垂直平分线经过圆心22018菏泽如图 K141，在O 中，OCAB，ADC32，则OBA 的度数是( )图 K141A64 B58 C32 D263过O 内一点 M 的最长弦长为 10 cm，最短弦长为 8 cm，则 OM 的长为( )A9 cm B6 cmC3 cm D. cm4142017泸州如图 K142 所示，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E.若 AB8，AE1，则弦 CD 的长是 ( ) 图
2、 K142A. B2 C6 D87 75.2017金华如图 K143，在半径为 13 cm 的圆形铁片上切下一块高为 8 cm 的弓形铁片，则弓形弦 AB 的长为( )2图 K143A10 cm B16 cm C24 cm D26 cm6如图 K144，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足是 E，A22.5，OC8，则 CD 的长为( )图 K144A4 2B8 2C8D167如图 K145，在等边三角形 ABC 中，AB，AC 都是O 的弦，OMAB，ONAC，垂足分别为 M，N，如果 MN1，那么ABC 的面积为( )图 K145A3 B. C4 D.33382017襄阳模拟O 的半径为
3、 5 cm，弦 ABCD，AB 6 cm，CD8 cm，则 AB 和 CD 间的距离是( )图 K146A7 cm B8 cm C7 cm 或 1 cm D1 cm二、填空题39如图 K146，OD 是O 的半径，弦 ABOD 于点 E，若O70，则AC_.10如图 K147，在O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3.若 P 是 AB 上的一动点，则 OP 的取值范围是_图 K147112017孝感已知半径为 2 的O 中，弦 AC2，弦 AD2 ，则COD 的度数为2_三、解答题12已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D(如图 K14
4、8 所示)(1)求证：ACBD；(2)若大圆的半径 R10，小圆的半径 r8，且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长. 链 接 听 课 例 2归 纳 总 结图 K14813如图 K149 所示，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，2)，B(4，2)，C(6，0)，解答下列问题：(1)请在图中确定该圆弧所在圆圆心 D 的位置，并写出点 D 的坐标为_；(2)连接 AD，CD，求D 的半径(结果保留根号)4图 K14914如图 K1410，已知 AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 M 在O 上，MD.(1)判断 BC，MD 的位置关系，并说明理
5、由；(2)若 AE16，BE4，求线段 CD 的长；(3)若 MD 恰好经过圆心 O，求D 的度数图 K141015如图 K1411，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度 AB80 米，桥拱到水面的最大高度为 20 米(1)求桥拱的半径；(2)现有一艘宽 60 米，船舱顶部为长方形并高出水面 9 米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？并说明理由图 K14115素养提升探究性问题如图 K1412，在半径为 5 的扇形 AOB 中，AOB90，C 是弧 AB 上的一个动点(不与点 A，B 重合)，ODBC，OEAC，垂足分别为 D，E.(1)当 BC6 时，求线段 OD 的长(2)探究：在DO
6、E 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由图 K141261B2解析 D OCAB， .ADC 是 所对的圆周角，BOC 是 所对的圆心角，AC BC AC BC BOC2ADC64，OBA90BOC906426.故选 D.3解析 C 由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示直径EDAB 于点 M，则 ED10 cm，AB8 cm，由垂径定理知 M 为 AB 的中点，AM4 cm.半径 OA5 cm，OM 2OA 2AM 225169，OM3(cm)4B5解析 C 如图，过点 O 作 ODAB 于点 C，交O 于点 D.CD8 cm，
7、OD13 cm，OC5 cm.又OB13 cm，在 RtBCO 中，BC 12 cm，AB2BC24 cm. OB2 OC26解析 B A22.5，BOC2A45.O 的直径 AB 垂直于弦CD，CEDE，OCE 为等腰直角三角形，CE OC4 ，CD2CE8 .故22 2 2选 B.7解析 B OMAB，ONAC，垂足分别为 M，N，M，N 分别是 AB，AC 的中点，MN 是等边三角形 ABC 的中位线MN1，ABACBC2MN2，S ABC 22sin602 .12 32 38C9答案 55 解析 连接 OB.OAOB，AABO.又OD 是O 的半径，弦 ABOD 于点 E，AOD70，
8、 ，AOB140，AD BD C AOD35，AABO20，12AC55.故答案是 55.710答案 3OP5 解析 连接 OA，作 OCAB 于点 C，则 AC AB4.由勾股定理，得12OA 5，则 OP 的取值范围是 3OP5.AC2 OC211答案 150或 30解析 如图所示，连接 OC，过点 O 作 OEAD 于点 E.OAOCAC，OAC60.AD2 ，OEAD，AE ，OE ，OAD45，2 2 OA2 AE2 2CADOACOAD105或CADOACOAD15，COD3602105150或COD21530.故答案为 150或 30.12解：(1)证明：过点 O 作 OEAB
9、于点 E，则 CEDE，AEBE，AECEBEDE，即 ACBD.(2)连接 OA，OC，由(1)可知 OEAB 且 OECD，CE 2 ，OC2 OE2 82 62 7AE 8，OA2 OE2 102 62ACAECE82 .713(1)确定点 D 的位置略 (2，2)(2)D 的半径为 2 514解：(1)BCMD.理由：MD，MC，DC，BCMD.(2)AE16，BE4，OB 10，OE1046.16 42连接 OC，如图.CDAB，CE CD.12在 RtOCE 中，OE 2CE 2OC 2，8即 62CE 210 2，CE8，CD2CE16.(3)如图，M BOD，MD，12D BO
10、D.12又ABCD，D 9030.1315解：(1)如图，设 E 是桥拱所在圆的圆心，过点 E 作 EFAB 于点 F，延长 EF 交E 于点 D，则 F 是 AB 的中点，AFFB AB40 米，12EFEDFDAEDF.由勾股定理知 AE2AF 2EF 2AF 2(AEDF) 2.设E 的半径是 r，则 r240 2(r20) 2，解得 r50.即桥拱的半径为 50 米(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥理由：如图，设 MN 与 DE 交于点 G，GM30 米在 RtGEM 中，GE 40(米)EM2 GM2 502 302EF502030(米)，GFGEEF403010(米)10 米9 米，这艘轮船能顺利通过这座拱桥9素养提升解：(1)ODBC，BD BC 63.12 12BDO90，OB5，BD3，OD 4，OB2 BD2即线段 OD 的长为 4.(2)存在，DE 的长度保持不变理由：连接 AB，如图AOB90，OAOB5，AB 5 .OB2 OA2 2ODBC，OEAC，D 和 E 分别是线段 BC 和 AC 的中点，DE AB ，其长度保持不变12 5 22
