1、12.4 过不共线三点作圆一、选择题1已知 O 为 ABC 的外心，若 A80，则 BOC 的度数为( )A40 B80 C120 D1602下列说法错误的是 ( )链 接 听 课 例 2归 纳 总 结A三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等C. 三角形的外心一定在三角形一边的垂直平分线上D. 三角形任意两边的垂直平分线的交点，是这个三角形的外心3下列命题中正确的有( )过两点可以作无数个圆；经过三点一定可以作圆；任意一个三角形都有外接圆，而且只有一个外接圆；任意一个圆有且只有一个内接三角形A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4若一个三角形的外心在这个三
2、角形的一边上，则这个三角形是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定5小颖同学在手工制作中，把一个边长为 12 cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( )A2 cm B4 cm 3 3C6 cm D8 cm3 36 A， B， C 为平面上的三点， AB2， BC3， AC5，则( )A可以画一个圆，使点 A， B， C 都在圆周上B. 可以画一个圆，使点 A， B 在圆周上，点 C 在圆内C. 可以画一个圆，使点 A， C 在圆周上，点 B 在圆外D. 可以画一个圆，使点 A， C 在圆周上，点 B 在圆内72017仙桃
3、如图 K151 所示，坐标平面上有 A(0， a)， B(9，0)， C(10，0)三点，其中 a0，若 BAC100，则 ABC 的外心在( )图 K151A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限二、填空题8在联欢晚会上，有 A， B， C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，则凳子应放在 ABC的三条_线的交点最适当. 9若 AB4 cm，则过点 A， B 且半径为 3 cm 的圆有_个10由正方形的四个顶点和它的中心这五个点能确定_个不同的圆11已知一个等边三角形的外接圆的半径为 1，则圆心到三角形的边的距离
4、为_212如图 K152，在 ABC 中， AB AC， AD 是 BC 边上的中线，分别以点 A， C 为圆心，以大于 AC 长为半径画弧，两弧分别交于点 E， F，直线 EF 与 AD 相交于点 O，若12OA2，则 ABC 的外接圆的面积为_图 K152132017宁夏如图 K153，点 A， B， C 均在 66 的正方形网格格点上，过点 A， B， C的外接圆除经过 A， B， C 三点外还能经过的格点数为_图 K153三、解答题14某市要承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图 K154
5、所示，那么运动员公寓应建立在何处？请你作出图形并加以说明图 K15415如图 K155 所示，等腰三角形 ABC 的顶角 A120， BC12 cm，求它的外接圆的直径图 K155162017临沂如图 K156， BAC 的平分线交 ABC 的外接圆于点 D， ABC 的平分线交 AD 于点 E.3(1)求证： DE DB；(2)若 BAC90， BD4，求 ABC 外接圆的半径图 K15617如图 K157，四边形 ABCD 为圆内接四边形，对角线 AC， BD 交于点 E，延长 DA， CB交于点 F，且 CAD60， DC DE.求证：(1) AB AF；(2)点 A 为 BEF 的外心
6、(即 BEF 外接圆的圆心)图 K157素养提升 4联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心例：已知 PA PB，则点 P 为 ABC 的准外心(如图 K158)(1)如图， CD 为等边三角形 ABC 的边 AB 上的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD AB，求12 APB 的度数；(2)如图，若 ABC 为直角三角形， C90， AB13， BC5，准外心 P 在 AC 边上，试求 PA 的长图 K1581解析 D O 为ABC 的外心，A80，BOC2A160.故选 D.2解析 B 三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所
7、以到三个顶点的距离相等3解析 B 正确，缺少“不在同一直线上的三点”的条件，任意一个圆有无数个内接三角形4 B 5. B6解析 D A，B，C 是平面上的三点，AB2，BC3，AC5，ABBCAC，可以画一个圆，使点 A，C 在圆上，点 B 在圆内7解析 D B(9，0)，C(10，0)，ABC 的外心在直线 x 上12BAC100，ABC 的外心在三角形的外部，ABC 的外心在第四象限8垂直平分59答案 2解析 这样的圆能画 2 个如图，作 AB 的垂直平分线 l，再以点 A 为圆心，3 cm 为半径作圆交 l 于 O1和 O2，然后分别以 O1和 O2为圆心，以 3 cm 为半径作圆，则O
8、 1和O 2为所求圆10511答案 0.5 解析 如图，连接 OC.ABC 是圆的内接正三角形，OCD30.又ODBC，OC1，OD OC0.5.1212答案 4 解析 ABAC，AD 是 BC 边上的中线，AD 垂直平分 BC.分别以点 A，C 为圆心，以大于 AC 长为半径画弧，两弧分别交于点 E，F，12EF 垂直平分 AC.直线 EF 与 AD 相交于点 O，点 O 为ABC 外接圆的圆心，AO 为ABC 外接圆的半径，ABC 的外接圆的面积为 4 .13答案 5解析 如图，分别作 AB，AC 的中垂线，两直线的交点为 O，以 O 为圆心、OA 长为半径作圆，则O 即为过 A，B，C
9、三点的圆由图可知，O 还经过点 D，E，F，G，H 这 5 个格点故答案为 5.14解：连接 AB，AC，分别作 AB，AC 的垂直平分线 MN，FD，交点 G 即为运动员公寓所建立6的位置图略15解：如图，过点 A 作直径 AD，交 BC 于点 E，连接 OC.ABAC， ，AB AC AD 垂直平分 BC，EC BC6 cm.12BAC120，OAC60.又OAOC，OAC 为等边三角形，AOC60.在 RtOEC 中， sinEOC ，ECOCOC 4 (cm)，632 3它的外接圆的直径为 8 cm.316解：(1)证明：BE 平分ABC，AD 平分BAC，ABECBE，BAECAD，
10、 ，BD CD DBCBAE.DBECBEDBC，DEBABEBAE，DBEDEB，DEDB.(2)连接 CD，如图所示由(1)得 ，BD CD CDBD4.BAC90，BC 是直径，7BDC90，BC 4 ，BD2 CD2 2ABC 外接圆的半径 4 2 .12 2 217证明：(1)因为 DCDE，所以DECACD，则ABFADC120ACD120DEC120(60ADE)60ADE，而F60ACF.因为ACFADE，所以ABFF，所以 ABAF.(2)四边形 ABCD 内接于O，所以ABDACD.又 DEDC，所以ACDDECAEB，所以ABDAEB，所以 ABAE.又因为 ABAF，所
11、以 ABAFAE，即点 A 是BEF 的外心素养提升解：(1)若 PBPC，连接 PB，则PCBPBC.CD 为等边三角形 ABC 的高，ADBD，PCB30，PBDPBC30，PD DB AB.33 36与已知 PD AB 矛盾，12PBPC.若 PAPC，连接 PA，则PCAPAC.CD 为等边三角形 ABC 的高，ADBD，PCA30，PADPAC30，PD DA AB.33 36与已知 PD AB 矛盾，12PAPC.若 PAPB，由 PD AB，得 PDBD，12BPD45，故APB90.(2)若 PBPA，设 PAx.C90，AB13，BC5，AC12，则 CP12x，8x 2(12x) 25 2，解得 x ，即 PA .16924 16924若 PAPC，则 PA6.若 PCPB，由图知，在 RtPBC 中，不可能存在此种情况综上所述，PA 或 PA6.16924
